Bài 1 - Trang 80 - SGK Hình học 12. Viết phương trình mặt phẳng: a) Đi qua điểm \(M(1; -2; 4)\) và nhận \(\overrightarrow{n}= (2; 3; 5)\) làm vectơ pháp tuyến. b) Đi qua điểm \(A(0 ; -1 ; 2)\) và song song với giá của các vectơ \(\overrightarrow{u}(3; 2; 1)\) và \(\overrightarrow{v}(-3; 0; 1)\). c) Đi qua ba điểm \(A(-3 ; 0 ; 0), B(0 ; -2 ; 0) và C(0 ; 0 ; -1)\). Giải: a) Măt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M(1; -2; 4)\) và nhận \(\overrightarrow{n}= (2; 3; 5)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình: \(2(x - 1) + 3(x +2) + 5(z - 4) = 0\) \(⇔ (P) : 2x + 3y + 5z -16 = 0\). b) Xét \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} \right ] = (2 ; -6 ; 6)\), khi đó \(\overrightarrow{n} \bot (Q)\) là mặt phẳng qua \(A (0 ; -1 ; 2)\) và song song với \(\overrightarrow{u}\),\(\overrightarrow{v}\) (nhận \(\overrightarrow{u}\),\(\overrightarrow{v}\) làm vectơ chỉ phương). Phương trình mặt phẳng \((Q)\) có dạng: \(2(x - 0) - 6(y + 1) + 6(z - 2) = 0\) \( ⇔ (Q) :x - 3y + 3z - 9 = 0\) c) Gọi \(R)\) là mặt phẳng qua \(A, B, C\) khi đó \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) là cặp vectơ chỉ phương của \((R)\). \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ]=\begin{vmatrix} -2 &0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 0 & 3\\ -1& 3 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 3 & -2\\ 3& 0 \end{vmatrix}\) \(= (2 ; 3 ; 6)\) Vậy phương trình mặt phẳng \((R)\) có dạng: \(2x + 3y + 6z + 6 = 0\) Bài tập 2 - Trang 80 - SGK Hình học 12. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) với \(A(2 ; 3 ; 7)\) và \(B(4 ; 1 ; 3)\). Giải: Mặt phẳng trung trực \((P)\) của đoạn thẳng \(AB\) chính là mặt phẳng qua trung điểm \(I\) của \(AB\) và vuông góc với vectơ \(\overrightarrow{AB}\). Ta có \(\overrightarrow{AB}(2 ; -2; -4)\) và \(I(3 ; 2 ; 5)\) nên phương trình mặ phẳng \((P)\) là: \(2(x - 3) - 2(y - 2) - 4(z - 5) = 0\) hay \(x -y -2z + 9 = 0\). Bài tập 3 - Trang 80 - SGK Hình học 12. a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ \((Oxy), (Oyz), (Ozx)\). b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm \(M(2 ; 6 ; -3)\) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ. Giải: a) Mặt phẳng \((Oxy)\) qua điểm \(O(0 ; 0 ; 0)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{k}(0 ; 0 ; 1)\) và là vectơ chỉ phương của trục \(Oz\). Phương trình mặt phẳng \((Oxy)\) có dạng: \( 0.(x - 0) +0.(y - 0) +1.(z - 0) = 0\) hay \(z = 0\). Tương tự phương trình mặt phẳng \((Oyz)\) là : \(x = 0\) và phương trình mặt phẳng \((Ozx)\) là: \(y = 0\). b) Mặt phẳng \((P)\) qua điểm \(M(2; 6; -3)\) song song với mặt phẳng \(Oxy\) nhận \(\overrightarrow{k}(0 ; 0 ; 1)\) làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng: \(z +3 = 0\). Tương tự mặt phẳng \((Q)\) qua \(M\) và song song với mặt phẳng \(Oyz\) có phương trình \(x - 2 = 0\). Mặt phẳng qua \(M\) song song với mặt phẳng \(Oxz\) có phương trình \(y - 6 = 0\). Bài tập 4 - Trang 80 - SGK Hình học 12. Lập phương trình mặt phẳng : a) Chứa trục \(Ox\) và điểm \(P(4 ; -1 ; 2)\); b) Chứa trục \(Oy\) và điểm \(Q(1 ; 4 ;-3)\); c) Chứa trục \(Oz\) và điểm \(R(3 ; -4 ; 7)\); Giải: a) Gọi \((α)\) là mặt phẳng qua \(P\) và chứa trục \(Ox\), thì \((α)\) qua điểm \(O(0 ; 0 ; 0)\) và chứa giá của các vectơ \(\overrightarrow{OP} (4 ; -1 ; 2)\) và \(\overrightarrow{i}( 1 ; 0 ;0)\). Khi đó \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{OP},\overrightarrow{i} \right ] =(0 ; 2 ; 1)\) là vectơ pháp tuyến của \((α)\). Phương trình mặt phẳng \((α)\) có dạng: \(2y + z = 0\). b) Tương tự phần a) mặt phẳng \((β)\) qua điểm \(Q(1 ; 4 ; -3)\) và chứa trục \(Oy\) thì ((β)\) qua điểm \(O( 0 ; 0 ; 0)\) có \(\overrightarrow{OQ} (1 ; 4 ; -3)\) và \(\overrightarrow{j}(0 ; 1 ; 0)\) là cặp vectơ chỉ phương. Phương trình mặt phẳng \((β)\) có dạng : \(3x + z = 0\). c) Mặt phẳng \((ɣ)\) qua điểm \(R(3 ; -4 ; 7)\) và chứa trục \(Oz\) chứa giá của các vectơ \(\overrightarrow{OR}(3 ; -4 ; 7)\) và \(\overrightarrow{k}(0 ; 0 ; 1)\) nhận \(2\) vectơ này làm vectơ chỉ phương. Phương trình mặt phẳng \((ɣ)\) có dạng: \(4x + 3y = 0\). Bài 5 - Trang 80 - SGK Hình học 12. Cho tứ diện có các đỉnh là \(A(5 ; 1 ; 3), B(1 ; 6 ; 2), C(5 ; 0 ; 4), D(4 ; 0 ; 6)\). a) Hãy viết các phương trình mặt phẳng \((ACD)\) và \((BCD)\) b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \((α)\) đi qua cạnh \(AB\) và song song với cạnh \(CD\). Giải: a) Mặt phẳng \((ADC)\) đi qua \(A(5 ; 1 ; 3)\) và chứa giá của các vectơ \(\overrightarrow{AC}(0 ; -1 ; 1)\) và \(\overrightarrow{AD}(-1 ; -1 ; 3)\). Vectơ \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right ] = (-2 ; -1 ; -1)\) vuông góc với mặt phẳng \((ACD)\). Phương trình \((ACD)\) có dạng: \(2(x - 5) + (y - 1) + (z - 3) = 0\). hay \(2x + y + z - 14 = 0\). Tương tự: Mặt phẳng \((BCD)\) qua điểm \(B(1 ; 6 ; 2)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow{m}=\left [\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right ]\) làm vectơ pháp tuyến. Ta có :\(\overrightarrow{BC}(4 ; -6 ; 2)\), \(\overrightarrow{BD}(3 ; -6 ; 4)\) và \(\overrightarrow{m}=\left (\begin{vmatrix} -6 & 2\\ -6 & 4 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 &4 \\ 4& 3 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 4 & -6\\ 3& -6 \end{vmatrix} \right )\) \(= (-12 ; -10 ; -6)\) Xét \(\overrightarrow{m_{1}} (6 ; 5 ; 3)\) thì \(\overrightarrow{m}=-2\overrightarrow{m_{1}}\) nên \(\overrightarrow{m_{1}}\) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((BCD)\). Phương trình mặt phẳng \((BCD)\) có dạng: \(6(x - 1) + 5(y - 6) +3(z - 2) = 0\) hay \(6x + 5y + 3z - 42 = 0\). b) Mặt phẳng \(( α )\) qua cạnh \(AB\) và song song với \(CD\) thì \(( α )\) qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow{AB} (-4 ; 5 ; 1)\) , \(\overrightarrow{CD}(-1 ; 0 ; 2)\) làm vectơ chỉ phương. Vectơ \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right ] = (10 ; 9 ; 5)\) là vectơ pháp tuyến của \(( α )\). Phương trình mặt phẳng \(( α )\) có dạng : \(10x + 9y + 5z - 74 = 0\). Bài tập 6 - Trang 80 - SGK Hình học 12. Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) đi qua điểm \(M(2 ; -1 ; 2)\) và song song với mặt phẳng \(( β)\) có phương trình: \(2x - y + 3z + 4 = 0\). Giải: Vectơ \(\overrightarrow{n}(2 ; -1 ; 3)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((β)\) . Vì \((α) // ( β)\) nên \(\overrightarrow{n}\) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((α)\) . Phương trình mặt phẳng \((α)\) có dạng: \(2(x - 2) - (y + 1) + 3(z - 2) = 0\) hay \(2x - y + 3z -11 = 0\). Bài tập 7 - Trang 80 - SGK Hình học 12. Lập phương trình mặt phẳng \(( α)\) đi qua hai điểm \(A( 1; 0 ; 1), B(5 ; 2 ; 3)\) và vuông góc với mặt phẳng: \(2x - y + z - 7 = 0\). Giải: Xét \(\overrightarrow{n} = (2 ; 2 ; 1) \bot (β)\). Do mặt phẳng \(( α) ⊥ (β)\) nên \(\overrightarrow{n}\) là vectơ song song hay nằm trên \(( α)\). Vectơ \(\overrightarrow{AB}\) có giá nằm trên \(( α)\). Vì \(\overrightarrow{n}\) và \(\overrightarrow{AB}\) không cùng phương nên \(\overrightarrow{m}=\left [\overrightarrow{n},\overrightarrow{AB} \right ]= (4 ; 0 ; -8)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(( α)\). Mặt phẳng \(( α)\) qua \(A(1 ; 0 ; 1)\) và vuông góc với \(\overrightarrow{m}\) có phương trình : \(4(x - 1) + 0.(y - 0) - 8(z - 1) = 0\). hay \(x - 2z + 1 = 0\). Bài tập 8 - Trang 81 - SGK Hình học 12. Xác định giá trị của \(m\) và \(n\) để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau: a) \(2x + my + 3z - 5 = 0\) và \(nx - 8y - 6z + 2 = 0\); b) \(3x - 5y + mz - 3 = 0\) và \(2x + ny - 3z + 1 = 0\); Giải: Hai mặt phẳng \(2x + my + 3z - 5 = 0\) và \(nx - 8y - 6z + 2 = 0\) song song với nhau khi và chỉ khi: \(\frac{2}{n}=\frac{m}{-8}=\frac{3}{6}\neq \frac{-5}{2}\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} n= -4 & \\ m=4& \end{matrix}\right.\). b) Hai mặt phẳng \(3x - 5y + mz - 3 = 0\) và \(2x + ny - 3z + 1 = 0\) khi và chỉ khi : \(\frac{3}{2}=-\frac{5}{n}=\frac{m}{3}\neq -\frac{3}{1}\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} n=-\frac{10}{3} & \\ m=-\frac{9}{2} & \end{matrix}\right.\). Bài tập 9 - Trang 81 - SGK Hình học 12. Tính khoảng cách từ điểm \(A(2 ; 4 ; -3)\) lần lượt đến các mặt phẳng sau: a) \(2x - y + 2z - 9 = 0\) ; b) \(12x - 5z + 5 = 0\) ; c) \(x = 0\). Giải: a) \(d(A,(P))=\frac{|2.2-4+2.(-3)-9)}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{15}{3}=5\). b) \(d(A,(Q))=\frac{|12.2-5.(-3)+5)}{\sqrt{144+25}}=\frac{44}{13}.\) c) \(d(A,(R)) = 2\). Bài tập 10 - Trang 81 - SGK Hình học 12. Giải các bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ. Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh bằng \(1\). a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng \((AB'D')\) và \((BC'D)\) song song với nhau. b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên. Giải. Xét hệ trục tọa độ \(Oxyz\) trong không gian sao cho \(A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1 ; 0)\),\((A'(0 ; 0 ; 1)\). Khi đó \(B'(1 ; 0 ; 1), D'(0 ; 1 ; 1), C'(1 ; 1 ; 1)\). a) Mặt phẳng \((AB'D')\) qua điểm \(A\) và nhận vevtơ \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AB'},\overrightarrow{AD'} \right ]\) làm vectơ pháp tuyến. Ta có \(\overrightarrow{AB'} = (1 ; 0 ; 1)\), \(\overrightarrow{AD'} = (0 ; 1 ; 1)\) và \(\overrightarrow{n} = (-1 ; -1 ; 1)\). Phương trình mặt phẳng \((AB'D')\) có dạng: \(x + y - z = 0\). (1) Tương tự, mặt phẳng \((BC'D)\) qua điểm \(B\) nhận vectơ \(\overrightarrow{m}=\left [\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BC'} \right ]\) làm vectơ pháp tuyến. Ta có \(\overrightarrow{BD} = (-1 ; 1 ; 0)\), \(\overrightarrow{BC'} = (0 ; 1 ; 1)\) và \(\overrightarrow{m} = (1 ; 1 ; -1)\). Phương trình mặt phẳng \((BC'D)\) có dạng: \( x + y - z - 1 = 0\). (2) So sánh hai phương trình (1) và (2), ta thấy hai mặt phẳng \((AB'D')\) và \((BC'D)\) song song với nhau. Chú ý : Bài này có thể làm không cần phương pháp tọa độ như sau: Xét hai mặt phẳng \((AB'D')\) và \((BC'D)\), ta có \(BD // B'D'\) vì \(BB'D'D\) là hình chữ nhật, \(AD' // BC'\) vì \(ABC'D'\) là hình chữ nhật. Do đó mặt phẳng \((AB'D')\) có hai đường thẳng cắt nhau \(B'D'\) và \(AD'\) lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau \(BD\) và \(BC'\) của mặt phẳng \((BC'D)\). Vì vậy \((AB'D') // (BC'D)\) b) Vì \((AB'D') // (BC'D)\) nên khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((BC'D)\) chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng. Ta có: \(h=d(A,(BC'D))=\frac{|-1|}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\).
