Bài 11 trang 53 SGK Hình học 12 Nâng cao. Chứng ming rằng hình tròn xoay có vô số mặt phẳng đối xứng. Giải Xét mặt tròn xoay (H) có trục là \(\Delta \). Mọi mặt phẳng \((P)\) đi qua \(\Delta \) đều là mặt phẳng đối xứng của (H). Thật vậy, nếu \(M \in \left( H \right)\) và \(M’\) là điểm đối xứng với \(M\) qua mp \((P)\) thì \(M’\) cũng nằm trên đường tròn \(\left( {{C_M}} \right)\) nên \(M' \in \left( H \right)\). Bài 12 trang 53 SGK Hình học 12 Nâng cao. Trong mỗi trường hợp sau, gọi tên hình tròn xoay: a) Sinh bởi ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư. b) Sinh bởi một hình chữ nhật (kể cả điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh. Giải a) Hình trụ. b) Khối trụ. Bài 13 trang 53 SGK Hình học 12 Nâng cao. Cho đường tròn \((O;R)\) nằm trong mặt phẳng \((P)\). Tìm tập hợp các điểm \(M\) trong không gian sao cho hình chiếu của chúng trên \((P)\) luôn nằm trên đường tròn đã cho. Giải Gọi \(\Delta \) là trục của đường tròn \((O;R)\). Hình chiếu \(M’\) của \(M\) nằm trên \((O;R)\) thì \(MM’ // \Delta \) và khoảng cách từ \(M\) tới \(\Delta \) bằng \(MO’ = R\). Vậy tập hợp các điểm \(M\) là hình trụ có trục là \(\Delta \) và có bán kính bằng \(R\). Bài 14 trang 53 SGK Hình học 12 Nâng cao. Chứng minh rằng các tiếp tuyến của mặt cầu song song với một đường thẳng cố định luôn nằm trên một mặt trụ xác định. Giải Cho mặt cầu \(S(O;R)\) và đường thẳng \(d\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(O\) và song song với \(d\). Nếu \(d'\) là tiếp tuyến của mặt cầu và \(d' // d\) thì \(d'\) cách \(\Delta \) một khoảng không đổi \(R\). Vậy \(d'\) nằm trên mặt trụ có trục \(\Delta \) và có bán kính bằng \(R\). Bài 15 trang 53 SGK Hình học 12 Nâng cao. Mặt phẳng đi qua trục của một hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh \(2R\). a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính thể tích của khối trụ. c) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ. Giải Mặt phẳng đi qua \(OO’\) của hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông \(ABCD\) cạnh \(2R\), do đó bán kính đáy bằng \(R\) và đường sinh \(AD = 2R\). a) Ta có: \(\eqalign{ & {S_{xq}} = 2\pi .R.2R = 4\pi {R^2} \cr & {S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_{day}} = 4\pi {R^2} + 2\pi {R^2} = 6\pi {R^2} \cr} \) b) Thể tích của khối trụ là \(V = \pi {R^2}.2R = 2\pi {R^3}\). c) Hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ là hình lăng trụ đứng có cạnh bên bằng \(2R\) và có đáy là hình vuông cạnh \(R\sqrt 2 \) nên có thể tích \({V_{LT}} = 2{R^2}.2R = 4{R^3}\). Bài 16 trang 54 SGK Hình học 12 Nâng cao. Một hình trụ có bán kính đáy bằng \(R\) và chiều cao \(R\sqrt 3 \). a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tình thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình trụ. c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng \({30^0}\). Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ. Giải a) Diện tích xung quanh của hình trụ \({S_{xq}} = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2}\) Diện tích toàn phần của hình trụ là: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_{day}} = 2\sqrt 3 \pi {R^2} + 2\pi {R^2} = 2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\pi {R^2}\) b) Thể tích của khối trụ \(V = \pi {R^2}.R\sqrt 3 = \sqrt 3 \pi {R^3}\). c) Gọi \(O\) và \(O’\) là tâm của hao đường tròn đáy. Kẻ \(AA’ // OO’\) (A’ nằm trên đáy dưới hình trụ) Ta có: \(O'A' = R\,\,,\,\,AA' = R\sqrt 3 \) và \(\widehat {BAA'} = {30^0}\). Vì \(OO’ // (ABA’)\) nên khoảng cách giữa \(OO’\) và \(AB\) bằng khoảng cách giữa \(OO’\) và \((ABA’)\). Kẻ \(OH \bot A'B\) thì \(H\) là trung điểm của \(A’B\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung) và \(O'H \bot \left( {ABA'} \right)\). Trong tam giác vuông \(AA’B\) ta có: \(\tan {30^0} = {{AB'} \over {AA'}} \Rightarrow AB' = AA'.tan{30^0} = R\sqrt 3 .{1 \over {\sqrt 3 }} = R\) Vậy tam giác \(BA’O’\) là tam giác đều cạnh \(R\) nên \(O'H = {{R\sqrt 3 } \over 2}\).
