Hình học 12 Ôn tập chương I Khối đa diện

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Tóm tắt lý thuyết

    1. Sơ đồ nội dung chương khối đa diện
    [​IMG]
    2. Sơ đồ các công thức tính thể tích khối đa diện
    [​IMG]
    3. Sơ đồ phân loại các dạng toán về thể tích
    [​IMG]
    4. Hệ thống hóa kiến thức hình học không gian lớp 11

    a) Quan hệ song song
    [​IMG]
    Hệ thống hóa kiến thức “Đường thẳng và mặt phẳng song song”

    [​IMG]
    Hệ thống hóa kiến thức "Hai mặt phẳng song song"​
    b) Quan hệ vuông góc
    [​IMG]
    Hệ thống hóa kiến thức "Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng"​

    [​IMG]Hệ thống hóa kiến thức "Hai mặt phẳng vuông góc"
    c) Khoảng cách và góc
    [​IMG]
    Hệ thống hóa kiến thức "Khoảng cách và góc"​

    Bài tập minh họa
    Bài tập 1:
    Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh \(2a\sqrt{2}\) và \(AA'=a\sqrt{3}\). Hình chiếu vuông góc của điểm A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABB'A'.

    Lời giải:

    [​IMG]
    • Tính \({V_{ABC.A'B'C'}}\) .
    Ta có \(A'G \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow A'G\) là chiều cao của lăng trụ ABC.A'B'C'.
    Diện tích tam giác đều ABC là: \({S_{ABC}} = A{B^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = 2{a^2}\sqrt 3\).
    Gọi M là trung điểm của BC, ta có: \(AM = BC.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 6\).
    \(AG = \frac{2}{3}AM = \frac{{2a\sqrt 6 }}{3}\).
    Trong \(\Delta A'GA\) vuông tại G, ta có \(A'G = \sqrt {A'{A^2} - A{G^2}} = \sqrt {3{a^2} - \frac{8}{3}{a^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
    Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là:
    \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'G = 2{a^3}\)
    • Tính \(d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right)\)
    Gọi N là trung điểm của AB.
    Trong \(\Delta A'GN\), kẻ \(GH \bot A'N\).
    Chứng minh được \(GH \bot \left( {ABB'A'} \right)\) tại H.
    Suy ra \(d\left( {G,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = GH\).
    Ta có \(CN = AM = a\sqrt 6\), \(GN = \frac{1}{3}CN = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) .
    \(\frac{1}{{G{H^2}}} = \frac{1}{{A'{G^2}}} + \frac{1}{{G{N^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}} + \frac{9}{{6{a^2}}} = \frac{9}{{2{a^2}}}\) \(\Rightarrow GH = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\).
    Do đó \(d\left( {G,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = GH = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\).
    Vậy \(d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = 3d\left( {G,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = a\sqrt 2\).

    Bài tập 2:
    Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, \(AB = a , \widehat{ ACB} = 60^0, SA\perp (ABC)\). Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC), biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng \(\frac{a}{2}\).

    Lời giải:
    [​IMG]
    • Tính thể tích khối chóp S.ABC:
    \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} SA \bot (ABC) \Rightarrow BC \bot SA\\ BC \bot AB \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB)\\ \Rightarrow (SBC) \bot (SAB). \end{array}\)
    Kẻ AH vuông góc SB \((H \in SB)\) suy ra: \(AH \bot (SBC) \Rightarrow AH = \frac{a}{2}.\)
    \(BC = \frac{{AB}}{{\tan {{60}^0}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)
    \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} \Rightarrow SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)
    Diện tích tam giác ABC là: \(S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{6}\).
    Vậy thể tích khối chóp là: \(V_{S.ABC}=\frac{a^3}{18}.\)
    • Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC)
    Kẻ \(BI \bot AC;\,\,IK \bot SC.\)
    Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} BI \bot AC\\ BI \bot SA \end{array} \right. \Rightarrow BI \bot (SAC) \Rightarrow SC \bot BI\) (1)
    Mặt khác: \(IK \bot SC\) (2)
    \(SC \bot (BIK) \Rightarrow BK \bot SC.\)
    Suy ra góc giữa 2 mặt phẳng là \(\widehat{IKB}\).
    Xét các tam giác vuông ABC và SBC ta tính được độ dài các đường cao:\(BI=\frac{a}{2};BK=\frac{2a\sqrt{15}}{15}\).
    Xét tam giác BIK vuông tại I ta có: \(IK=\frac{a\sqrt{15}}{30};cos\widehat{IKB}=\frac{1}{4}\).

    Bài tập 3:
    Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 48 và ABCD là hình thoi. Các điểm M, N, P, Q lần lượt là các điểm trên các đoạn SA, SB, SC, SD thỏa mãn: \(SA = 2SM,SB = 3SN;\) \(SC = 4SP;SD = 5SQ.\) Tính thể tích V của khối chóp S.MNPQ.

    Lời giải:
    [​IMG]
    Ta có: \({V_{SMNPQ}} = {V_{SMQP}} + {V_{SMNP}}\)
    Và: \({V_{SADC}} = {V_{SQBC}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}}\)
    Mặt khác:
    \(\begin{array}{l} \frac{{{V_{S.MQP}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \frac{{SQ}}{{SD}}.\frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SP}}{{SC}} = \frac{1}{5}.\frac{1}{2}.\frac{1}{4} = \frac{1}{{40}}\\ \Rightarrow {V_{S.MQP}} = \frac{1}{{40}}.{V_{S.ADC}} = \frac{1}{{80}}.{V_{S.ABCD}} \end{array}\)
    \(\begin{array}{l} \frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SP}}{{SC}}.\frac{{SN}}{{SP}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{4}.\frac{1}{3} = \frac{1}{{24}}\\ \Rightarrow {V_{S.MNP}} = \frac{1}{{24}}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{{48}}.{V_{S.ABCD}} \end{array}\)
    \(\Rightarrow {V_{SMNPQ}} = \left( {\frac{1}{{80}} + \frac{1}{{48}}} \right){V_{S.ABCD}} = \frac{8}{5}\)

    Theo LTTK Education tổng hợp