Tóm tắt lý thuyết 1. Nửa mặt phẳng Một đường thẳng a nằm trong mặt phẳng chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng đối nhau, bờ là đường thẳng a. 2. Ba tia chung gốc - Tia nằm giữa hai tia Trong ba tia chung gốc, có một tia nằm giữa hai tia còn lại. Ví dụ 1: Cho đường thẳng xy và ba điểm A, B, C không nằm trên xy. Biết đoạn thẳng AB không cắt đường thẳng xy còn đoạn thẳng AC cắt xy tại một điểm P. a) Chứng tỏ hai điểm B, C nằm trong hai mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng xy. b) Đoạn thẳng BC có cắt đường thẳng xy không? Giải a) A và B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ xy mà A và C lại nằm trong hai nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy. b) Có Ví dụ 2: Cho đường thẳng xy và ba điểm A, B, C không thuộc xy. Biết đường thẳng xy cắt hai đoạn thẳng BA, BC. a) Giải thích tại sao điểm A và điểm C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy. b) Đường thẳng xy có cắt đoạn thẳng AC không, tại sao? Giải a) A và C cùng khác phía đối với B đối với xy. b) Không, vì A và C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là xy. Ví dụ 3: Cho ba điểm phân biệt A, B, C và một đường thẳng xy không đi qua bất kì điểm nào trong ba điểm ấy. Biết xy cắt đoạn thẳng AB. a) A và B có cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy không? b) Vì sao hai trong ba điểm A, B, C phải thuộc cùng một nửa mặt phẳng? c) Vì sao đường thẳng xy phải cắt một trong hai đoạn thẳng còn lại AC hoặc BC? Giải a) Không b) Nếu B không cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ xy thì A và C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là xy c) Nếu A và C không cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ xy thì C và B cùng thuộc nửa mặt phẳng đối của nửa mặt phẳng chứa A, bờ là đường thẳng xy. Bài tập minh họa Bài 1: Cho bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA và một điểm O như hình vẽ. a) Chứng tỏ rằng một đường thẳng \(\Delta \) đi qua O và cắt một trong bốn đoạn thẳng đã cho thì phải cắt đoạn thẳng thứ hai. b) Liệu có đường thẳng nào cắt của bốn đoạn thẳng đã cho hay không? Nếu có thì bao nhiêu đường thẳng? c) Xác định vị trí điểm O để qua O ta có thể vẽ được hai đường thẳng, mỗi đường cắt cả bốn đoạn thẳng đã cho. Giải a) Giả sử \(\Delta \) cắt AD tại một điểm, suy ra A và D thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau, bờ \(\Delta \). - Nếu B thuộc cùng nửa mặt phẳng với D thì \(\Delta \) cắt AB. - Nếu C cùng thuộc nửa mặt phẳng với D thì \(\Delta \) cắt DC. - Nếu B và C không cùng thuộc nửa mặt phẳng với D thì \(\Delta \) cắt BC. b) Có 2 đường thẳng cắt cả 4 đoạn thẳng đó là đường thẳng AC và đường thẳng BD. c) O là giao điểm của AC và BD. Bài 2: Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt và không có ba điểm nào thẳng hàng. Một đường thẳng \(\Delta \) không đi qua bất kì điểm nào trong bốn điểm ấy. a) Có bao nhiêu đoạn thẳng có đầu mút là 2 trong bốn điểm đã cho? b) Tuỳ theo các vị trí của các điểm, cho biết \(\Delta \) cắt bao nhiêu đoạn thẳng trong các đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong bốn điểm ấy. Giải a) 6 đoạn thẳng AB, AC, AD, BD, CD. b) Xét các trường hợp: - Có 3 điểm nằm trong cùng một nửa mặt phẳng, chẳng hạn B, C, D. Thế thì \(\Delta \) cắt AB, AC, AD. - Có 2 điểm nằm trong cùng một nửa mặt phẳng, chẳng hạn A, B và C, D. Thế thì \(\Delta \) cắt AD, AC, BD, BC.
