Tóm tắt lý thuyết 1. Đa giác - Đa giác n cạnh (cũng gọi là hình n giác) là hình gồm n đoạn thẳng trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào có một điểm chung cũng không cùng nằm trên một đường thẳng. Một đa giác n – cạnh thì có n đỉnh, n góc. - Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó. 2. Đa giác đều Đa giác đều là đa giác có: - Tất cả các cạnh đều bằng nhau - Tất cả các góc đều bằng nhau. Ví dụ 1: 1, Tính tổng số đo các góc trong của một hình n giác. Áp dụng tính tổng số đo các góc trong của hình tứ giác, ngũ giác, lục giác. 2. Tính tổng số đo các góc ngoài của một đa giác. Có nhận xét gì về kết quả nhận được? Giải 1. Từ một điểm O thuộc miền trong của đa giác, ta nối với n đỉnh, tạo ra n tam giác. Tổng số các góc trong của n tam giác này là: \(n{.180^0}\) Tổng số các góc có đỉnh là điểm O, rõ ràng là bằng 2 góc bẹt: \({2.180^0}.\) Vậy tổng số góc trong của n giác là: \(n{.180^0} - {2.180^0} = (n - 2){.180^0}\) Với tứ giác: n = 4 \( \Rightarrow \) Tổng số đo các góc là \({2.180^0} = {360^0}.\) Với ngũ giác: n = 5 \( \Rightarrow N = {3.180^0} = {540^0}\) Với lục giác: n = 6 \( \Rightarrow N = {4.180^0} = {720^0}\) 2. Góc ngoài tại đỉnh A của đa giác có số đo là: \({180^0} - \widehat A\) Đối với các góc ở các đỉnh khác cũng tương tự. Như vậy tổng số góc ngoài của đa giác n cạnh là: \(n{.180^0} - (\widehat A + \widehat B + \widehat C + ....)\) Theo kết quả câu 1 thì \(\widehat A + \widehat B + \widehat C + ... = (n - 2){.180^0}\) Vậy tổng số góc ngoài của n giác là: \(n{.180^0} - (n - 2){.180^0} = {2.180^0} = {360^0}\) Vậy tổng số các góc của một đa giác là \({360^0}\). Số này không phụ thuộc vào số cạnh của đa giác. Ví dụ 2: Tính số đo mỗi góc của đa giác đều n cạnh. Áp dụng tính số đo mỗi góc của ngũ giác đều, lục giác đều, bát giác đều, thập giác đều. Giải Tổng số đo góc trong của đa giác là: \((n - 2){.180^0}.\) Đa giác đều có các góc đều bằng nhau. Vậy mỗi góc có số đo là: \({\alpha ^0} = \frac{{(n - 2){{.180}^0}}}{n}\) Áp dụng: \(\begin{array}{l}n = 5 \Rightarrow \alpha = {108^0}\\n = 6 \Rightarrow \alpha = {120^0}\\n = 8 \Rightarrow \alpha = {135^0}\\n = 10 \Rightarrow \alpha = {144^0}\end{array}\) Ví dụ 3: Cho một đa giác n cạnh. Tính tổng số các đường chéo của đa giác. Áp dụng tính số đường chéo của hình 8 cạnh (bát giác) hình 10 cạnh (thập giác). Giải Từ mỗi đỉnh, ta nối với n-1 đỉnh còn lại để được n – 1 đoạn thẳng, trong đó có hai đoạn thẳng nối đỉnh ấy với hai đỉnh kề nó, là hai cạnh. Vậy ta chỉ còn (n – 1) – 2 = n – 3 đường chéo. Có n đỉnh. Vậy nối dược n(n-3) đường chéo. Tuy vậy, theo cách tính này thì mỗi đường chéo được kể làm 2 lần. Vậy số đường chéo của đa giác n cạnh là: \(N = \frac{{n(n - 3)}}{2},n \in \mathbb{N}^*\) Với n = 8 \( \Rightarrow {N_8} = 20\) (đường chéo) Với n =10 \( \Rightarrow {N_{10}} = 35\)(đường chéo) Bài tập minh họa Bài 1: Cho biết một đa giác có 14 đường chéo. 1. Đa giác này có bao nhiêu cạnh? 2. Tính tổng số góc trong của đa giác. Giải 1. Ta gọi n là số đường chéo của đa giác, \(n \in \mathbb{N}^*\) thì \(\frac{{n(n - 3)}}{2} = 14 \Rightarrow {n^2} - 3n = 28\) Vế trái chia hết cho n. Vậy nếu có một số n thoả mãn đẳng thức trên thì n phải chia hết 28, tức là n phải là một ước tự nhiên của 28. Số 28 có các ước tự nhiên 1; 2; 4; 7; 14; 28. Sau khi thử, ta thấy với \(n = 1 \Rightarrow {7^2} - 3.7 = 49 - 21 = 28.\) Vậy n = 7 là thích hợp. Đa giác đã cho là đa giác có 7 cạnh. 2. Tổng số góc của đa giác là \((7 - 2){.180^0} = {900^0}\) Bài 2: Cho tam giác đều ABC. Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua A; C’ là điểm đối xứng của C qua A. Trên đường thẳng qua A và song song với BC, ta lấy hai điểm D, E sao cho DA = AE = BC. Chứng minh lục giác BCEB’C’D là lục giác đều. Giải Các tam giác ABC, CAE, EAB’, B’AC’, C’AD, DAB là các tam giác đều bằng nhau cho ta BC = CE = E’B = B’C’ = C’D = DB và \(\widehat {DBC} = \widehat {BCE} = \widehat {CEB'} = \widehat {EB'C'} = \widehat {B'C'D} = \widehat {C'DB} = {120^0}\) \( \Rightarrow \) BCEB’C’D là lục giác đều. Bài 3: Tính tổng số góc trong của hình sao ABCDE. Giải Góc R là góc ngoài của \(\Delta RDB\) nên \(\widehat R = \widehat D + \widehat B\) Tương tự \(\widehat M = \widehat C + \widehat E\) \( \Rightarrow \widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D + \widehat E = \widehat A + \widehat R + \widehat M = {180^0}\) Bài 4: Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi M, N, P, Q,R theo thứ tự là trung điểm của các cạnh DC, CB, BA, AE và ED. Chứng minh: 1. \(AM \bot DC\) và \(BE \bot CD.\) 2. Các đường thẳng AM, BR, CQ, DP và EN cùng đi qua một điểm O. 3. Các đường thẳng AD, BE, CQ cắt nhau tại một điểm. Giải 1. \(\Delta ABC = \Delta AED\) \( \Rightarrow AC = AD\) \( \Rightarrow \Delta ACD\) cân đỉnh A; AM là trung tuyến cũng là đường cao nên \(AM \bot CD\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\) AM cũng là phân giác của góc CAD. Suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {EAM}\) Tam giác BAE cân nên AM cũng là đường cao, suy ra: \(AM \bot BE\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\) Từ (1) và (2) suy ra BE // CD. 2. Dễ thấy AM là đường trung trực của các đoạn thẳng CD, BE. Tương tự, ta có CQ là trung trực của AE và BR là trung trực của AC. Giả sử CQ và AM cắt nhau tại điểm O, thế thì OE = OA và OE = OC \( \Rightarrow \) OA = OC Điều này chứng tỏ điểm O nằm trên đường trung trực BR của AC hay BR đi qua O. Đối với các đường thẳng khác, lí luận tương tự. 3. Ta có \(AD \bot OE,CQ \bot AE\) và\(BE \bot OA\) \( \Rightarrow \) đpcm (dựa vào tính chất của đường cao trong tam giác)
