Tóm tắt lý thuyết Kiến thức cần nhớ: 1. Định lý Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó. \({\rm{S = }}\frac{1}{2}{ah}\) 2. Hệ quả Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông. \({\rm{S = }}\frac{1}{2}{bc}\) Bài tập minh họa Bài 1: Cho tam giác đều ABC có cạnh là a, I là một điểm di động thuộc miền trong của tam giác. gọi M;N;P lần lượt là hình chiếu của I lên AB,BC,AC. CHứng minh rằng khi I di chuyển trOng tam giác thì tổng IM+IN+IP không đổi. Hướng dẫn: Ta có: \(\begin{array}{l} {S_{ABC}} = {S_{AIB}} + {S_{BIC}} + {S_{AIC}}\\ = \frac{1}{2}a.IM + \frac{1}{2}a.IN + \frac{1}{2}a.IP\\ = \frac{1}{2}a.\left( {IM + IN + IP} \right)\\ \Rightarrow IM + IN + IP = \frac{{2{S_{ABC}}}}{a} \end{array}\) Mà tam giác ABC cố định và a cố định nên tổng IM+IN+IP không đổi khi I thay đổi. Bài 2: Cho tam giác ABC trung tuyến AM. Qua B kẻ đường thẳng song song với AM cắt CA tại E. Gọi I là giao điểm của EM với AB. Chứng minh rằng các cặp tam giác sau có cùng diện tích: ABC và MEC; IEA và IMB Hướng dẫn: AM song song với BE \( \Rightarrow {d_{\left( {A,BE} \right)}} = {d_{\left( {M,BE} \right)}}\) \( \Rightarrow \frac{1}{2}BE.{d_{\left( {A,BE} \right)}} = \frac{1}{2}BE.{d_{\left( {M,BE} \right)}}\) (nhân cả hai vế cho \(\frac{1}{2}BE\)) \( \Rightarrow {S_{ABE}} = {S_{MBE}}\) \( \Rightarrow {S_{BEC}} - {S_{ABE}} = {S_{BEC}} - {S_{MBE}}\) \( \Rightarrow {S_{ABC}} = {S_{MEC}}\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{ABM}} + {S_{AMC}} = {S_{MEA}} + {S_{AMC}}\\ \Rightarrow {S_{ABM}} = {S_{MEA}}\\ \Rightarrow {S_{IBM}} + {S_{IAM}} = {S_{IE{\rm{A}}}} + {S_{IAM}}\\ \Rightarrow {S_{IBM}} = {S_{IE{\rm{A}}}} \end{array}\) Bài 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh AB=6cm, trên đoạn AB, AC lần lượt lấy M và N sao cho AM=CN. Tính AM sao cho diện tích tam giác AMN lớn nhất Hướng dẫn: Gọi độ dài AM là x (0 Diện tích tam giác AMN là : \(\begin{array}{l} {S_{AMN}} = \frac{1}{2}AM.AN\\ = \frac{1}{2}x.\left( {6 - x} \right) = \frac{1}{2}\left( { - {x^2} + 6{\rm{x}}} \right) \end{array}\) diện tích AMN lớn nhất khi \( - {x^2} + 6{\rm{x}}\) lớn nhất. Ta có: \(\begin{array}{l} - {x^2} + 6{\rm{x = }} - {x^2} + 6{\rm{x}} - 9 + 9\\ = - {\left( {x - 3} \right)^2} + 9 \le 9 \end{array}\) dấu "=" xảy ra khi \({x - 3}\)=0 tức là x=3. Vậy tam giác AMN có diện tích lớn nhất khi AM=3 cm.
