Bài 58 trang 99 sgk toán 8 tập 1. Điền vào chỗ trống, biết rằng \(a, b\) là độ dài các cạnh, \(d\) là độ dài đường chéo của một hình chữ nhật. Bài giải: Cột thứ hai: Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(ABC\) ta có: \({d^{2}} = {\rm{ }}{a^2} + {\rm{ }}{b^2} = {\rm{ }}{5^2} + {\rm{ }}{12^2} = {\rm{ }}25{\rm{ }} + {\rm{ }}144{\rm{ }} = {\rm{ }}169\) Nên \(d =\sqrt{169}= 13\) Cột thứ ba: Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(ABC\) ta có: \({a^2} + {\rm{ }}{b^{2}} = {d^2} \Rightarrow {a^2} = {\rm{ }}{d^2} - {b^2} = (\sqrt{10}\))2 - (\(\sqrt{6}\))2 \(= 10 – 6 = 4\Rightarrow a = \sqrt 4=2\) Cột thứ tư: Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(ABC\) ta có: \({a^2} + {\rm{ }}{b^{2}} = {\rm{ }}{d^2} \Rightarrow {b^2} = {\rm{ }}{d^2} - {\rm{ }}{a^2} = {\rm{ }}{7^2} - (\sqrt{13}\))2 \(= 49 – 13 = 36\)\(\Rightarrow b=\sqrt {36}= 6\) Bài 59 trang 99 sgk toán 8 tập 1. Chứng minh rằng: a) Giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật là tâm đối xứng của hình chữ nhật đó. b) Hai đường thẳng đi qua trung điểm hai cặp cạnh đối của hình chữ nhật là hai trục đối xứng của hình chữ nhật đó. Bài giải: a) Vì hình bình hành nhận giao điểm hai đường chéo làm tâm đối xứng, mà hình chữ nhật là một hình bình hành nên giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật là tâm đối xứng của hình. b) Vì hình thang cân nhận đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy làm trục đối xứng, mà hình chữ nhật là một hình thang cân có hai đáy là hai cạnh đối xứng của hình chữ nhật nên hai đường thẳng đi qua trung điểm hai cặp cạnh đối của hình chữ nhật là hai trục đối xứng của hình chữ nhật đó Bài 60 trang 99 sgk toán 8 tập 1. Tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng \(7cm\) và \(24cm\). Bài giải: Gọi \(b\) là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông \(ABC\). Theo định lí Pitago ta có: \(\eqalign{ & {b^2} = {7^2} + {24^2} = 49 + 576 = 625 \cr & b = \sqrt {625} = 25 \cr} \) Trung tuyến ứng với cạnh huyền có độ dài bằng nửa độ dài cạnh huyền. Nên trung tuyến ứng với cạnh huyền có độ dài là \(12,5cm\). Bài 61 trang 99 sgk Toán 8 tập 1. Cho tam giác \(ABC\), đường cao \(AH\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC, E\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(I\). Tứ giác \(AHCE\) là hình gì ? Vì sao ? Bài giải: Theo giả thiết \(I\) là trung điểm của \(AC\) nên \(IA = IC\) \(E\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(I\) nên \(I\) là trung điểm của \(HE\) hay \(IE = IH\) Tứ giác \(AHCE\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường do đó là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết 5) Mặt khác \(AH\) là đường cao nên \(\widehat{AHC}=90^0\) Do đó \(AHCE\) là hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết 3) Bài 62 trang 99 sgk toán 8 tập 1. Các câu sau đúng hay sai ? a) Nếu tam giác ABC vuông tại C thì điểm C thuộc đường tròn có đường kính là AB (h.88) b) Nếu điểm C thuộc đường tròn có đường kính là AB ( C khác A và B) thì tam giác ABC vuông tại C(h.89). Bài giải a) Đúng. Gọi O là trung điểm của AB. Ta có CO là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(OC = \frac{1}{2}AB\) hay \(OC = OA = OB\). Nên A, B, C cùng thuộc đường tròn bán kình OA. Vậy C thuộc đường tròn đường kính AB. b) Đúng. Gọi O là tâm đường tròn. Tam giác ABC có trung tuyến CO bằng nửa cạnh AB (do \(CO = AO = OB\) ) nên tam giác ABC vuông tại C. Bài 63 trang 100 sgk toán 8 tập 1. Tìm \(x\) trên hình 90. Bài giải: Kẻ \(BH ⊥ CD\) Tứ giác \(ABHD\) có \(3\) góc vuông nên là hình chữ nhật. Suy ra \(DH =AB= 10\) Nên \(HC = 15-10=5\). Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(BHC\) \(\eqalign{ & B{H^2} = B{C^2} - H{C^2} = {13^2} - {5^2} = 169 - 25 = 144 \cr & BH = x = \sqrt {144} = 12 \cr} \) Vậy \(x = 12\). Bài 64 trang 100 sgk toán 8 tập 1. Cho hình bình hành \(ABCD\). Các tia phân giác của các góc \(A, B, C, D\) cắt nhau như trên hình 91. Chứng minh rằng \(EFGH\) là hình chữ nhật. Bài giải: Theo giả thiết \(ABCD\) là hình bình hành nên theo tính chất của hình bình hành ta có: \(\widehat A = \widehat C,\widehat B = \widehat D\) (1) Theo định lí tổng các góc trong một tứ giác ta có: \(\widehat A + \widehat C + \widehat B + \widehat D = {360^0}\) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat A + \widehat B = {{{{360}^0}} \over 2} = {180^0}\) \(AG\) là tia phân giác góc \(\widehat A\) nên ta có: \(\widehat {BAG} = {1 \over 2}\widehat A\) \(BG\) là tia phân giác góc \(\widehat B\) nên ta có: \(\widehat {ABG} = {1 \over 2}\widehat B\) Do đó: \(\widehat {BAG} + \widehat {ABG} = {1 \over 2}\left( {\widehat A + \widehat B} \right) = {1 \over 2}{.180^0} = {90^0}\) Xét tam giác \(AGB\) có: \(\widehat {BAG} + \widehat {ABG} = {90^0}\) (3) Theo định lí tổng ba góc trong một tam giác ta có: \(\widehat {BAG} + \widehat {ABG} + \widehat {AGB} = {180^0}\) (4) Từ (3) và (4) suy ra: \(\widehat {AGB} = {90^0}\) Chứng minh tương tự ta được: \(\widehat {DEC} = \widehat {EHG} = {90^0}\) Tứ giác \(EFGH\) có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. Bài 65 trang 100 sgk toán 8 tập 1. Tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi \(E, F, G, H\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DA\). Tứ giác \(EFGH\) là hình gì ? Vì sao ? Bài giải: Ta có \(EB = EA, FB = FC\) (do \(E,F\) là trung điểm của \(AB,BC\)) \(EF\) là đường trung bình của \(∆ABC\) Do đó \(EF // AC\) (1) Do \(G,H\) là trung điểm của \(CD,DA) nên \( HG\) là đường trung bình của \(∆ADC\) Do đó \(HG // AC\) (2) Từ (1) và (2) suy ra \(EF // HG\) Chứng minh tương tự \(EH // FG\) Do đó \(EFGH\) là hình bình hành. Ta có: \(EF // AC\) và \(EH//BD\) mà \(AC\bot BD\) nên \(EF\bot EH\) Hay \(\widehat{FEH} = 90^0\) Hình bình hành \(EFGH\) có \(\widehat{E} = 90^0\) nên là hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật). Bài 66 trang 100 sgk toán 8 tập 1. Đố. Một đội công nhân đang trồng cây trên đoạn đường \(AB\) thì gặp chướng ngại vật che lấp tầm nhìn (h.92). Đội đã dựng các điểm \(C, D, E\) như trên hình vẽ rồi trồng cây tiếp trên đoạn thẳng \(EF\) vuông góc với \(DE\). Vì sao \(AB\) và \(EF\) cùng nằm trên một đường thẳng ? Bài giải: Tứ giác \(BCDE\) có: \(BC // DE\) (vì cùng vuông góc với \(CD\)) \(BC = DE\) (giả thiết) \(\widehat {BCD} = \widehat {EDC} = {90^0}\) do đó \(BCDE\) là hình chữ nhật Suy ra: \(\widehat {CBE} = \widehat {BED} = {90^0}\) Mặt khác: \(\widehat {CBA} = \widehat {FED} = {90^0}\) (giả thiết) Ta có: \(\widehat {CBA} + \widehat {CBE} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) Suy ra \(A,B,E\) thẳng hàng \(\widehat {FED} + \widehat {BED} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) Suy ra \(B,E,F\) thẳng hàng Vậy \(AB\) và \(EF\) cùng nằm trên một đường thẳng.
