Bài 6 trang 118 sgk toán lớp 8 tập 1. Diện tích hình chữ nhật thay đổi như thế nào nếu: a) Chiều dài tăng 2 lần, chiều rộng không đổi? b) Chiều dài và chiều rộng tăng 3 lần? c) Chiều dài tăng 4 lần, chiều rộng giảm 4 lần ? Hướng dẫn giải: Công thức tính diện tích hình chữ nhật là S = a.b, như vậy diện tích S của hình chữ nhật vừa tỉ lệ thuận với chiều dài a, vừa tỉ lệ thuận với chiều rộng b của nó. a) Nếu a' = 2a, b' = b thì S' = 2a.b = 2ab = 2S Vậy diện tích tăng 2 lần. b) Nếu a' = 3a, b'= 3b thì S' = 3a.3b = 9ab = 9S Vậy diện tích tăng 9 lần. c) Nếu a' = 4a, b'= \(\frac{b}{4}\) thì S' = 4a\(\frac{b}{4}\) = ab = S. Vậy diện tích không đổi. Bài 7 trang 118 sgk toán lớp 8 tập 1. Một gian phòng có nền hình chữ nhật với kích thước là 4,2m và 5,4m có một cửa sổ hình chữ nhật kích thước là 1m và 1,6m và một cửa ra vào hình chữ nhật kích thước là 1,2m và 2m. Ta coi một gian phòng đạt mức chuẩn về ánh sáng nếu diện tích các cửa bằng 20% diện tích nền nhà. Hỏi gian phòng trên có đạt mức chuẩn về ánh sáng hay không? Hướng dẫn giải: Diện tích nền nhà: S = 4,2.5,4 = 22,68 (m2) Diện tích cửa sổ: S1= 1. 1,6 = 1,6 (m2). Diện tích cửa ra vào: S2 = 1,2.2 = 2,4 (m2). Diện tích các cửa: S' = S1+ S2 = 1,6 + 2,4 = 4 (m2). Ta có \(\frac{S^{'}}{S}\) = \(\frac{4}{22,68}\) ≈ 17,64% < 20% Vậy gian phòng không đạt múc chuẩn về ánh sáng. Bài 8. Đo cạnh (đơn vị mm) rồi tính diện tích tam giác vuông dưới đây (h.122): Hướng dẫn giải: Đo hai cạnh góc vuông, ta được AB= 30mm, AC= 25mm. Áp dụng công thức tính diện tích tam giác vuông, ta được: $S= \frac{1}{2} AB. AC = \frac{1}{2}. 30.25$ Vậy $S= 375mm^2$ Bài 9. ABCD là một hình vuông cạnh $12cm$. $AE = x(cm)$ (h.123). Tính x sao cho diện tích tam giác $ABE$ bằng $\frac{1}{3}$ diện tích hình vuông $ABCD$. Hướng dẫn giải: Diện tích tam giác vuông $ABE$ là $S' = \frac{1}{2} AB.AE = \frac{1}{2} .12.x = 6x$ Diện tích hình vuông là $S= 12.12 = 144$ Theo đề bài ta có $S' = \frac{S}{3}$ hay $6x = \frac{144}{3}$ Suy ra $x= 8$ (cm) Bài 10 trang 119 sgk toán lớp 8 tập 1. Cho một tam giác vuông. Hãy so sánh tổng diện tích của hai hình vuông dựng trên hai góc vuông với diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền. Hướng dẫn giải: Giả sử tam giác vuông ABC có cạnh huyền là a và hai cạnh góc vuông là b, c (hình a). Diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền a là $a^2$ Diện tích các hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông b, c lần lượt là $b^2 + c^2$ Theo định lí Pitago, tam giác vuông ABC có: $a^2 = b^2 + c^2$ Vậy: Trong một tam giác vuông, tổng diện tích của hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông bằng diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền. Chú ý: Ta có một cách chứng minh khác đinh lyd Pitago bằng diện tích. Trên hình b, hai hình vuông $ABDE$ và GHIK cùng có cạnh bằng $b + c$. Do đó $S_{ABDE} = (b+c)^2= S_b+ S_c + 4.\frac{bc}{2} $(1) $S_{GHIK}= (b+c)^2 = S_a + 4.\frac{bc}{2} $(2) Từ (1) và (2) suy ra $S_b+ S_c = S_a $ Bài 11 trang 119 sgk toán lớp 8 tập 1. Cắt hai tam giác vuông bằng nhau từ một tấm bìa. Hãy ghép hai tam giác đó để tạo thành: a) Một tam giác cân; b) Một hình chữ nhật; c) một hình bình hành. Diện tích các hình này có bằng nhau không? Vì sao? Hướng dẫn giải: Cắt hai tam giác vuông bằng nhau từ một tấm bìa, chẳng hạn ta được hai hình sau: Ghép hai tam giác trên để tạo thành: Bài 12 trang 119 sgk toán lớp 8 tập 1. Tính diện tích các hình dưới đây (h.124)( mỗi ô vuông là 1 đơn vị diện tích) Hướng dẫn giải: Diện tích hình a là 6 ô vuông Diện tích hình b ∆ADH = ∆ BCI nên diện tích hình b sẽ bằng diện tích hình a (ABIH). Vậy diện tích hình b là 6 ô vuông Diện tích hình c: ∆ KLN = ∆ NMO nên diện tích hình c sẽ bằng diện tích hình a (KMCB). Vậy diện tích hình c là 6 ô vuông Bài 13 trang 119 sgk toán lớp 8 tập 1. Cho hình 125, trong đó \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(E\) là một điểm bất kì nằm trên đường chéo \(AC, FG // AD\), và \(HK // AB\). Chứng minh rằng hai hình chữ nhật \(EFBK\) và \(EGDH\) có cùng diện tích. Giải \(FG// AD\) nên suy ra \(EG//KC\) \(HK//DC\) nên suy ra \(EK//GC\) Tứ giác \(EKCG\) là hình bình hành có \(GCK=90^0\) do đó \(EKCG\) là hình chữ nhật Tương tự ta cũng chứng minh được \(AHEF\) là hình chữ nhật Xét \(\Delta ECG\) và \(\Delta CEK\) có: +) \(EG=KC\) (vì \(EKCG\) là hình chữ nhật) +) \(EC\) chung +) \(EK=CG\) (vì \(EKCG\) là hình chữ nhật) \(\Rightarrow \Delta ECG = \Delta CEK\) Do đó: \({S_{ECG}} = {S_{CEK}}\) Tương tự: \(ABCD\) là hình chữ nhật ta có: \({S_{ ADC}} = {S_{CBA}}\) \(AHEF\) là hình chữ nhật ta có: \({S_{AHE}} = {S_{ EFA}}\) \(\eqalign{ & {S_{ADC}} = {S_{AHE}} + {S_{EGDH}} + {S_{ECG}} \cr & {S_{CBA}} = {S_{EFA}} + {S_{EFBK}} + {S_{CEK}} \cr & \Rightarrow {S_{AHE}} + {S_{EGDH}} + {S_{ECG}} = {S_{EFA}} + {S_{EFBK}} + {S_{CEK}} \cr & \Rightarrow {S_{EGDH}} = {S_{EFBK}} \cr} \) Bài 14 trang 119 sgk toán lớp 8 tập 1. Một đám đất hình chữ nhật dài 700m, rộng 400m. Hãy tính diện tích đám đất đó theo đơn vị m2, km2, a, ha. Hướng dẫn giải: Diện tích đám đất theo đơn vị m2 là: $S = 700.400 = 280000$ ( $m^2$) Ta có $1km^2 = 1000000$ ( $m^2$) 1a = 100 (m2) 1ha = 10000 (m2) Nên diện tích đám đất tính theo các đơn vị trên là: S = 0,28 km2 = 2800a = 28ha Bài 15 trang 119 sgk toán lớp 8 tập 1. Đố. Vẽ hình chữ nhật ABCD có AB = 5cm, BC = 3cm. a) Hãy vẽ một hình chữ nhật có diện tích nhỏ hơn nhưng có chu vi lớn hơn hình chữ nhật ABCD. Vẽ được mấy hình như vậy. b) Hãy vẽ hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật ABCD. Vẽ được mấy hình vuông như vậy? So sánh diện tích hình chữ nhật với diện tích hình vuông có cùng chu vi vừa vẽ. Tại sao trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất. Hướng dẫn giải: a) Hình chữ nhật ABCD đã cho có diện tích là SACBD = 3.5 = 15 (cm2). - Hình chữ nhật có kích thước 1cm x 12cm có diện tích là 12cm2 và chu vi là ( 1+12).2 = 26(cm) (có 26>15). - Hình chữ nhật có kích thước 2cmx7cm co diện tích là 14cm2 và chu vi là (2+7).2 = 18(cm) (có 18 > 15). Như vậy, vẽ được nhiều hình chữ nhật có diện tích bé hơn nhưng có chu vi lớn hơn hình chữ nhật ABCD cho trước. b) Chu vi hình chữ nhật ABCD đã cho là: (5+3).2 = 16 (cm) Cạnh hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật ABCD là: 16:4 = 4(cm). Diện tích hình vuông này là 4.4 = 16 (m2) Vậy $S_{hcn} < S_{hv}$ Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tich lớn nhất. Ta luôn có $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$, suy ra $ab \leq \left ( \frac{a+b}{2} \right )^2$ Hình trên là hình vẽ chứng tỏ hình chữ nhật cạnh $a,b (a>b) $có diện tích nhỏ hơn diện tích hình vuông cạnh $\frac{a+b}{2}$. Trên hình $a= 5cm, b = 3cm, \frac{a+b}{2} = 4cm$ Suy ra: $a - \frac{a+b}{2} = 1$ và $\frac{a+b}{2} - b = 1$ Do đó $S_{EBCG} = b. ( a- \frac{a+b}{2}) = 3.1 = 3 (cm^2).$ $S_{DGHI} = \frac{a+b}{2}. (\frac{a+b}{2} - b) = 4.1 = 4 (cm^2).$ $S_{AEGD} = b. \frac{a+b}{2} = 3.4 = 12 (cm^2).$ Nên $S_{ABCD} = S_{EBCG} + S_{AEGD} = 3 + 12 = 15(cm^2)$. $S_{AEHI} = S_{DGHI} + S_{AEGD} = 4 + 12 = 16 (cm^2)$. Vậy $S_{ABCD} < S_{AEHI}$ Tổng quát: Hình chữ nhật $EBCG$ có một cạnh bằng $a - \frac{a+b}{2}$, cạnh kia bằng $b$. Hình chữ nhật $DGHI$ có một cạnh bằng $\frac{a+b}{2} - b$, cạnh kia bằng \frac{a+b}{2}. Mà $a - \frac{a+b}{2}$ bằng $\frac{a+b}{2} - b$ và $b < \frac{a+b}{2}$ ( theo giả thiết $a> b$) nên $S_{EBCG} < S_{DGHI}$ Cộng thêm $S_{AEGD}$ vào mỗi vế bất đẳng thức ta được $S_{EBCG} + S_{AEGD} < S_{DGHI} + S_{AEGD}$ Vậy $S_{ABCD} < S_{AEHI}$
