Bài 56 trang 92 sgk toán 8 tập 2. Xác định tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD trong các trường hợp sau: a)AB = 5cm, CD = 15 cm; b)AB = 45 dm, CD = 150 cm; c)AB = 5CD. Giải a)AB = 5cm và CD = 15cm =>\({{AB} \over {CD}} = {5 \over {15}} = {1 \over 3}\) b)AB = 45dm = 450cm và CD = 150 cm =>\({{AB} \over {CD}} = {{450} \over {150}} = 3\) c)AB = 5CD =>\({{AB} \over {CD}} = 5\) Bài 57 trang 92 sgk toán 8 tập 2. Cho tam giác ABC (AB < AC). Vẽ đường cao AH, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM. Có nhận xét gì về vị trí của ba điểm H, D, M. Giải +Nhận xét: D luôn nằm giữa H và M. +Chứng minh: AD là đường phân giác của ∆ABC. =>\({{AB} \over {AC}} = {{DB} \over {DC}}\) AB < AC =>DB < DC => DB + DC < DC + DC =>BD + DC < 2DC hay BC < 2DC => DC >\({{BC} \over 2}\) Mà \(MC = {{BC} \over 2}\) (M là trung điểm của BC) =>DC > MC =>M nằm giữa D và C (1) +Mặt khác: \(\widehat {CAH} = {90^0} - \hat C\) (∆CAH vuông tại H) \(\hat A + \hat B + \hat C = {180^0}\) (tổng 3 góc ∆ABC) =>\(\widehat {CAH} = {{\hat A + \hat B + \hat C} \over 2} - \hat C\) =>\(\widehat {CAH} = {{\hat A} \over 2} + {{\hat B} \over 2} - {{\hat C} \over 2} = {{\hat A} \over 2} + {{\hat B - \hat C} \over 2}\) Vì AB < AC =>\(\widehat C < \widehat B \Rightarrow \widehat B - \widehat C > 0\) Do đó: \(\widehat {CAH} > {{\hat A} \over 2}\) hay \(\widehat {CAH} > \widehat {CAD}\) =>Tia AD nằm giữa hai tia AH và AC =>D nằm giữa hai điểm H và C (2) Từ (1) và (2) => D nằm giữa H và M. Bài 58 trang 92 sgk toán 8 tập 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), vẽ các đường cao BH, CK (H.66). a) Chứng minh BK = CH. b) Chứng minh KH//BC. c) Cho biết BC = a, AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng HK. Hướng dẫn câu c): -Vẽ thêm đường cao AI, xét hai tam giác đồng dạng IAC và HBC rồi tính CH. -Tiếp theo, xét hai tam giác đồng dạng AKH và ABC rồi tính HK. Giải a) Xét hai tam giác vuông BKC và CHB có: \(\widehat {KBC} = \widehat {HCB}\) (∆ABC cân tại A) BC là cạnh chung =>∆BKC = ∆CHB =>BK = CH b) Ta có : AB = AC (∆ABC cân tại A) BK = CH (∆BKC = ∆CHB) => AK = AH Do đó : \({{AK} \over {AB}} = {{AH} \over {AC}}\) =>KH // BC (định lí Ta lét đảo) c)BH cắt CK tại M =>M là trực tâm của ∆ABC =>AM ⊥ BC tại I. Ta có : ∆AIC ∽ ∆BHC vì \(\left\{ {\matrix{{\hat I = \hat H = {{90}^0}} \cr {\hat Cchung} \cr} } \right.\) =>\({{IC} \over {HC}} = {{AC} \over {BC}}hay{{{a \over 2}} \over {HC}} = {b \over a} = > HC = {{{a^2}} \over {2b}}\) =>\(AH = b - {{{a^2}} \over {2b}} = {{2{b^2} - {a^2}} \over {2b}}\) Mà HK // BC => \({{HK} \over {BC}} = {{AH} \over {AC}} = > HK = {{BC.AH} \over {AC}}\) =>\(HK = {a \over b}\left( {{{2{b^2} - {a^2}} \over {2b}}} \right) = {{2a{b^2} - {a^2}} \over {2{b^2}}}\) Bài 59 trang 92 sgk toán 8 tập 2. Hình thang ABCD (AB//CD) có AC và BD cắt nhau tại O, AD và BC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng OK đi qua trung điểm của các cạnh AB và CD. Giải Qua O kẻ đường thẳng song song với AB, CD cắt AD, BC lần lượt tại E, F. Ta có: OE = OF (xem cách chứng minh ở bài tập 20) Do đó: \({{AN} \over {EO}} = {{KN} \over {KO}}\) (AN // EO) Mà \({{BN} \over {OF}} = {{KN} \over {KO}}\) (BN // OF) =>\({{AN} \over {EO}} = {{BN} \over {FO}}\) Mà OE = OF =>AN = BN hay N là trung điểm của AB. Chứng minh tương tự: \({{DM} \over {OE}} = {{CM} \over {OF}} = > MD = MC\) =>M là trung điểm của CD. Bài 60 trang 92 sgk toán 8 tập 2. Cho tam giác vuông ABC, và đường phân giác BD (D thuộc cạnh AC). a) Tính tỉ số . b) Cho biết độ dài AB = 12,5 cm, hãy tính chu vi và diện tích của tam giác ABC. Giải a) Tam giác BCA vuông tại A có nên là một nửa tam giác đều =>\({{AB} \over {BC}} = {1 \over 2}\) Vì BD là đường phân giác của ∆ABC nên: \({{DA} \over {DC}} = {{BA} \over {BC}}\) b) ∆ABC vuông tại A nên AC2 = BC2 – AB2, BC = 2AB =>AC2 = 4AB2 – AB2 = 3AB2 =>AC=\(\sqrt {3A{B^2}} = AB\sqrt 3 = 12,5\sqrt 3 \approx 21,65\left( {cm} \right)\) Gọi p là chu vi ∆ABC =>p = AB + BC + CA =>p = 3AB + AC = 3.12,5 + 12,5\(\sqrt 3 \) =>p = 12,5 (3+\(\sqrt 3 ) \approx 59,15\left( {cm} \right)\) Và \({S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC \approx 135,31(c{m^2})\) Bài 61 trang 92 sgk toán 8 tập 2. Tứ giác ABCD có AB = 4cm, BC = 20 cm, CD = 25 cm, DA = 8cm, đường chéo BD = 10cm. a) Nêu cách vẽ tứ giác ABCD có kích thước đã cho ở trên. b) Các tam giác ABD và BDC có đồng dạng với nhau không? Vì sao? c) Chứng minh rằng AB // CD. Giải a) Vẽ ∆DBC biết BD = 10 cm, BC = 20 cm, DC = 25 cm. Trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa C vẽ hai cung tròn tâm B và tâm D bán kính lần lượt là 4 cm và 8 cm. Hai cung này cắt nhau tại A. Vẽ các đoạn BA, DA được tứ giác ABCD. b) Ta có: \({{AB} \over {BD}} = {4 \over {10}} = {2 \over 5};{{BD} \over {DC}} = {{10} \over {25}} = {2 \over 5};{{AD} \over {BC}} = {8 \over {20}} = {2 \over 5}\) =>\({{AB} \over {BD}} = {{BD} \over {DC}} = {{AD} \over {BC}} = > \Delta ABD\Delta BDC\) c) ∆ABD∽ ∆BDC =>\(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) lại so le trong. =>AB // DC hay ABCD là hình thang.
