Hình học 8 - Chương 4 - Ôn tập chương IV. Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Bài 51 trang 127 sgk toán 8 tập 2. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của lăng trụ đứng có chiều cao h và đáy lần lượt là:

    a) Hình vuông cạnh a;

    b) Tam giác đều cạnh a;

    c) Lục giác đều cạnh a;

    d) Hình thang cân, đáy lớn là 2a, các cạnh còn lại bằng a;

    e) Hình thoi có hai đường chéo là 6a và 8a.

    Hướng dẫn làm bài

    [​IMG]

    a)

    Kí hiệu lăng trụ đứng đã cho như hình bên.

    Diện tích xung quanh là:

    $S_{xq} = 2p.h = 4.a. h$

    Diện tích một đáy là :

    $S_{d} = a^2$

    Diện tích toàn phần của lăng trụ đứng là :

    $S_{tp} = S_{xq} + 2S_{d} = 4ah + 2a^2$

    Thể tích lăng trụ :

    $V = S_d.h = a^2.h$

    b)

    [​IMG]

    Chiều cao của tam giác đều là:

    \(AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {{a \over 2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{3{a^2}} \over 4}} = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)

    Diện tích xung quanh:

    $S_{xq}= 2p.h = 3a.h$

    Diện tích một đáy là:

    \({S_đ} = {1 \over 2}a.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\)

    Diện tích toàn phần là:

    Stp = Sxq + 2Sđ = 3ah +2.\({{{a^2}\sqrt 3 } \over 4} = 3ah + {{{a^2}\sqrt 3 } \over 2}\)

    Thể tích: \(V = {S_đ}.h = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.h = {{{a^2}h\sqrt 3 } \over 4}\)

    c)

    [​IMG]

    Diện tích xung quanh là:

    $S_{xq}= 2p. h = 6a.h$

    Diện tích tam giác đều cạnh a (theo câu b) là \({{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\).

    Do đó diện tích một đáy của lăng trụ là :

    \({S_đ} = 6.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4} = {{3{a^2}\sqrt 3 } \over 2}\)

    Diện tích toàn phần : Stp = Sxq + 2Sd

    \({S_{tp}} = 6ah + 2.{{3{a^2}\sqrt 3 } \over 2} = 6ah + 3{a^2}\sqrt 3 = 3a\left( {2h + a\sqrt 3 } \right)\)

    Thể tích lăng trụ :

    \(V = {S_đ}h = 2.{{3{a^2}\sqrt 3 } \over 2} = 6ah + 3{a^2}\sqrt 3 = 3a\left( {2h + a\sqrt 3 } \right)\)

    Thể tích tích lăng trụ :

    \(V = {S_đ}.h = {{3{a^2}\sqrt 3 } \over 2}.h = {{3{a^2}h\sqrt 3 } \over 2}\)

    d)

    [​IMG]

    Diện tích xung quanh :

    $S_{xq} = 2ph = (2a + a +a +a). h = 5ah$

    Chiều cao hình thang cũng chính là chiều cao tam giác đều cạnh a.

    \(AI = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)

    Diện tích một đáy hình lăng trụ là:

    \({S_đ} = {{\left( {2a + a} \right).h} \over 2} = {{3ah} \over 2}\)

    Diện tích toàn phần là:

    \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_đ} = 5ah + 2.{{3ah} \over 2} = 8ah\)

    Thể tích hình lăng trụ:

    \(V = S.h = {{3ah} \over 2}.h = {{3a{h^2}} \over 2}\)

    e)

    [​IMG]

    Cạnh của hình thoi:

    \(BC = \sqrt {O{B^2} + O{C^2}} = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}} = \sqrt {25{a^2}} = 5a\)

    Diện tích xung quang lăng trụ:

    $S_{xq} = 2ph = 4.5a.h = 20ah$

    Diện tích một đáy của lăng trụ:

    \({S_đ} = {1 \over 2}.6a.8a = 24{a^2}\)

    Diện tích toàn phần:

    $S_{tp} = S_{xq} + 2S_{d} = 20ah + 2.24a^2 = 20ah + 48a^2$

    Thể tích lăng trụ:

    $V = Sh = 24a^2.h$





    Bài 52 trang 128 sgk toán 8 tập 2. Tính diện tích toàn phần của thanh gỗ như ở hình 142 (mặt trước, mặt sau của thanh gỗ là những hình thang cân, bốn mặt còn lại đều là những hình chữ nhật, cho biết .

    [​IMG]

    Hướng dẫn làm bài:

    [​IMG]

    Thanh gỗ dạng hình lăng trụ đứng, đáy là hình thang cân. Ta tìm chiều cao của hình thang cân. Ta có:

    \(DH = {1 \over 2}\left( {DC - AB} \right) = {1 \over 2}\left( {6 - 3} \right) = 1,5\left( {cm} \right)\)

    Chiều cao:

    \(AH = \sqrt {3,{5^2} - 1,{5^2}} = \sqrt {12,25 - 2,25} = \sqrt {10} \approx 3,16\left( {cm} \right)\)

    Diện tích xung quanh lăng trụ là :

    $S_{xq} = 2ph = (3 + 6 + 3,5 + 3,5).11,5=16.11,5 = 184 (cm^2)$

    Diện tích toàn phần :

    $S_{tp} = S{xq}+ 2S_{d} = 184 + 2.14,22 = 212,44 (cm^2)$




    Bài 53 trang 128 sgk toán 8 tập 2. Thùng chứa của xe ở hình 143 có dạng lăng trụ đứng tam giác, các kích thước cho trên hình. Hỏi dung tích của thùng chứa là bao nhiêu?

    [​IMG]

    Hướng dẫn làm bài:

    Thùng chứa là một lăng trụ đứng tam giác:

    Diện tích đáy là:

    \(S = {1 \over 2}ah = {1 \over 2}.80.50 = 2000\left( {c{m^2}} \right)\)

    Thể tích là :

    $V = sh = 2000.60= 120000 (cm^3)$





    Bài 54 trang 128 sgk toán 8 tập 2. Người ta muốn đổ một tấm bê tông dày 3 cm, bề mặt của tấm bê tông có các kích thước như ở hình 144.

    a) Số bê tông cần phải có là bao nhiêu?

    b) Cần phải có bao nhiêu chuyến xe để chở số bê tông cần thiết đến chỗ đổ bê tông cần thiết đến chỗ đổ bê tông, nếu mỗi xe chứa được 0,06 m3?

    (Không tính số bê tông dư thừa hoặc rơi vãi).

    [​IMG]

    Hướng dẫn làm bài:

    [​IMG]

    Bổ sung hình đã cho thành một hình chữ nhật ABCD.

    Ta có: DE = DA – EA = 4,20 – 2,15 = 2,05 (m)

    DF = DC – FC = 5,10 – 3,60 = 1,50 (m)

    Nên SABCD= 5,10 . 4,20 = 21,42 (m2)

    SDEF =\({1 \over 2}DE.DF = {1 \over 2}2,05.1,50 = 1,54\left( {{m^2}} \right)\)

    Suy ra: SABCFE = SABCD - SDEF = 21,42 – 1,54 = 19,88 ($m^2$)

    a) Số bê tông cần phải có chính là thể tích của lăng trụ đáy là ngũ giác ABCEF, chiều cao là 3cm = 0,03m.

    V = Sh = 19,88. 0,03 = 0,5964 ($m^2$)

    b) Nếu mỗi chuyến xe chở được 0,06 m3 bê tông thì số chuyến xe là:

    \({{0,5964} \over {0,06}} = 9,94\)

    Vì số chuyến xe là số nguyên nên thực tế cần phải có 10 chuyến xe để chở số bê tông nói trên.





    Bài 55 trang 128 sgk toán 8 tập 2. A, B, C, D là các đỉnh của một hình hộp chữ nhật. Hãy quan sát hình 145 rồi điền số thích hợp vào các ô trống ở bảng sau:

    [​IMG]

    Hướng dẫn làm bài:

    Ở ô (I):\(AD = \sqrt {A{B^2} + B{C^2} + C{D^2}}\)

    \( = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} = \sqrt 9 = 3\)

    Ở ô (II):\(BD = \sqrt {A{D^2} - A{B^2}} = \sqrt {{7^2} - {2^2}} = \sqrt {45} \)

    \(CD = \sqrt {B{D^2} - B{C^2}} = \sqrt {45 - {3^2}} = \sqrt {36} = 6\)

    Ở ô (III):\(BD = \sqrt {A{D^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{11}^2} - {2^2}} = \sqrt {117} \)

    \(BC = \sqrt {B{D^2} - D{C^2}}\)

    \( = \sqrt {117 - {9^2}} = \sqrt {117 - 81} = \sqrt {36} = 6\)

    Ở ô (IV):\(BD = \sqrt {D{C^2} + B{C^2}}\)

    \( = \sqrt {{{20}^2} + {{12}^2}} = \sqrt {400 + 144} = \sqrt {544} \)

    \(AB = \sqrt {A{D^2} - B{D^2}} = \sqrt {{{25}^2} - 544} = \sqrt {81} = 9\)

    Vậy ta được kết quả ở bảng sau:

    [​IMG]





    Bài 56 trang 129 sgk toán 8 tập 2. Một cái lều ở trại hè có dạng lăng trụ đứng tam giác (với các kích thước trên hình 146).

    a)Tính thể tích khoảng không ở bên trong lều.

    b)Số vài bạt cần có để dựng lều đó là bao nhiêu?

    (Không tính các mép và nếp gấp của lều).

    [​IMG]

    Hướng dẫn làm bài:

    a) Lều là lăng trụ đứng tam giác.

    Diện tích đáy (tam giác):

    \(S = {1 \over 2}.3,2.1,2 = 1,92\left( {{m^2}} \right)\)

    Thể tích khoảng không bên trong lều là:

    V = Sh = 1,92. 5 = 9,6 (m3)

    b) Số vải bạt cần có để dựng lều chính là diện tích toàn phần của lăng trụ trừ đi diện tích mặt bên có kích thước là 5m và 3,2m.

    Diện tích xung quanh lăng trụ là:

    Sxq = 2ph = (2 + 2+ 3,2) .5 = 36 (m2)

    Diện tích toàn phần:

    Stp = Sxq + 2Sđ = 36 + 2.1,92 = 39,84 (m2)

    Diện tích mặt bên kích thước 5m và 3,2m là:

    S = 5.3,2 = 16 (m2)

    Vậy số vải bạt cần có để dựng lều là:

    39,84 – 16 = 23,84 (m2)

    Chú ý: Có thể tính bằng cách khác là tổng diện tích hai mặt bên và hai đáy.




    Bài 57 trang 129 sgk toán 8 tập 2. Tính thể tích của hình chóp đều, hình chóp cụt đều sau đây (h.147 và h.148), (.

    Hướng dẫn: Hình chóp L.EFGH cũng là hình chóp đều

    [​IMG]

    Hướng dẫn làm bài:

    a) Hình 147

    Chiều cao của tam giác đều BCD cạnh 10 cm là:

    \(DH = {{10\sqrt 3 } \over 2} = 5\sqrt 3 \approx 8,65\left( {cm} \right)\)

    Diện tích đáy của hình chóp:

    \(S = {1 \over 2}.BC.DH = {1 \over 2}.10.8,65 = 43,25\left( {c{m^2}} \right)\)

    Thể tích hình chóp đều:

    \(V = {1 \over 3}.S.h = {1 \over 3}.43,25.20 = 288,33(c{m^3})\)

    b) Hình 148

    Thể tích của hình chóp cụt đều chính là hiệu của thể tích hình chóp đều L.ABCD với thể tích của hình chóp đều L.EFGH. Do có LO = LM + MO = 15 + 15 = 30 (cm)

    +Tính thể tích hình chóp đều L.ABCD:

    -Diện tích đáy: S = AB2 = 202 = 400 (cm2)

    -Thể tích : \(V = {1 \over 3}Sh = {1 \over 3}.400.30 = 4000\left( {c{m^3}} \right)\)

    +Thể tích hình chóp đều L.EFGH:

    -Diện tích đáy: S = EF2 = 102 = 100 (cm2)

    -Thể tích:\(V = {1 \over 3}Sh = {1 \over 3}.100.15 = 500\left( {c{m^3}} \right)\)

    Vậy thể tích hình chóp cụt đều là:

    V = 4000 – 500 = 3500 (cm3)




    Bài 58 trang 129 sgk toán 8 tập 2. Tính thể tích của hình cho trên hình 150 với các kích thước kèm theo.

    [​IMG]

    Hướng dẫn làm bài:

    Thể tích cần tính bao gồm một hình hộp chữ nhật và một hình chóp cụt.

    Vhộp = 3.3.6 = 54 (m3)

    Thể tích hình chóp với đường cao:

    BA = BO + OA = 3,0 + 4,5 = 7,5

    \({V_1} = {1 \over 3}Sh = {1 \over 3}.7,5.7,5.7,5 = 140,625\left( {{m^3}} \right)\)

    Thể tích hình chóp với đường cao BO = 3,0 m

    \({V_2} = {1 \over 3}.S.h = {1 \over 3}.3.3.3 = 9\left( {{m^3}} \right)\)

    Thể tích hình chóp cụt:

    Vc = V1 – V2 = 140,625 – 9 = 131,625 (m2)

    Thể tích cần tính là:

    V = Vhộp + Vc = 54 + 131,625 = 185,62 (m2)