Bài 1 trang 132 sgk toán 8 tập 2. Dựng hình thang ABCD (AB// CD), biết ba cạnh: AD = 2cm, CD = 4 cm, BC = 3cm và đường chéo AC = 5 cm. Hướng dẫn làm bài: Dựng đoạn thẳng CD = 4cm. -Dựng hai đường tròn (C; 5cm) và (D; 2cm) cắt nhau tại A. -Dựng đường tròn (C; 2 cm) và đường tròn (A, 4cm) cắt nhau tại B. Đường thẳng AB kéo dài cắt đường tròn (C, 2cm) tại điểm B’ (ngoài điểm B đã kể trên). Các tứ giác ABCD và AB’CD là những hình thang thỏa mãn đề bài. Chứng minh: Vì B ∈(A, 4cm) nên AB = 4cm. ∆ABC = ∆DAC (AB = CD = 4 cm, AD = BC = 2cm, AC chung) do đó là cặp góc so le trong ta có: AB // CD. Tứ giác ABCD có AB // CD, AD = 2cm, CD = 4 cm, BC = 2 cm là hình thang thỏa mãn yêu cầu, AB’CD cũng là hình thang thỏa mãn yêu cầu vì AB’//CD, AD = 2cm, CD = 4 cm, CB’ = 2 cm). Bài 2 trang 132 sgk toán 8 tập 2. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau ở O và tam giác ABO là tam giác đều. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OD và BC. Chứng minh rằng tam giác EFG là tam giác đều. Hướng dẫn làm bài: Tam giác ABO đều nên tam giác CDO cũng đều, suy ra OD = OC. ∆AOD = ∆BOC (c.g.c) =>AD = BC. EF là đường trung bình của tam giác AOD nên: (1) \(EF = {1 \over 2}AD = {1 \over 2}BC\) (1) CF là đường trung tuyến của tam giác đều CDO nên CF ⊥ DO, nghĩa là .Trong tam giác vuông CFB, FG là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên: (2) \(FG = {1 \over 2}BC\) Chứng minh tương tự ta cũng có: (3) \(EG = {1 \over 2}BC\) Từ (1), (2), (3) suy ra EF = GF = EG nên tam giác EFG là tam giác đều. Bài 3 trang 132 sgk toán 8 tập 2. Tam giác ABC có các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Đường vuông góc với AB tại B và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau ở K. Tam giác ABC phải có điều kiện gì thì tứ giác BHCK là: a) Hình thoi? b) Hình chữ nhật? Hướng dẫn làm bài: Ta có: CE ⊥ AB(gt) KB ⊥ AB (gt) Suy ra BK // CH (1) Tương tự BH // KC (2) Từ (1) và (2) ta được : Tứ giác BHCK là hình bình hành. Gọi M là giao điểm của hai đường chéo BC và HK. a) BHCK là hình thoi HM ⊥ BC Vì HA ⊥ BC nên HM ⊥ BC ⇔A, H, M thẳng hàng. Tam giác ABC cân tại A. b) BHCK là hình chữ nhật ⇔ BH ⊥ HC. Ta lại có BE ⊥ HC, CD ⊥ BH nên BH ⊥ HC ⇔ H, D, E trùng nhau. Khi đó H, D, E cũng trùng với A. Vậy tam giác ABC là tam giác vuông ở A. Bài 4 trang 132 sgk toán 8 tập 2. Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi E là giao điểm của AN và DM, K là giao điểm của BN và CM. Hình bình hành ABCD phải có điều kiện gì để tứ giác MENK là: a) Hình thoi? b) Hình chữ nhật? c) Hình vuông? Hướng dẫn làm bài: Tứ giác MBND là hình bình hành. (MB// = ND) Lại có MN // BC (vì MBCN là hình bình hành). EK // CD (vì EK là đường trung bình của ∆CDM). a) Để MENK là hình thoi thì hình bình hành MENK phải có hai đường chéo vuông góc. Tức là MN ⊥ EK. Suy ra BC ⊥ CD. Vậy ABCD phải là hình chữ nhật. b) Để MENK là hình chữ nhật thì hình bình hành MENK phải có hai đường chéo bằng nhau. Tức là MN = EK. Mà MN = BC, EK = \({1 \over 2}CD\) suy ra: BC = \({1 \over 2}\) CD. c) Để MENK là hình vuông thì MENK phải vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật. Tức là hình bình hành ABCD phải là hình chữ nhật có: BC = \({1 \over 2}DC\) Bài 5 trang 133 sgk toán 8 tập 2. Trong tam giác ABC các đường trung tuyến AA’ và BB’ cắt nhau ở G. Tính diện tích tam giác ABC biết rằng diện tích tam giác ABG bằng S. Hướng dẫn làm bài: Ta có: AC = 2AB’. Nên SABC = 2SABB’ (1) Và \(BB' = {3 \over 2}BG\) Nên \({S_{ABB'}} = {3 \over 2}{s_{ABG}}\) (2) Từ (1), (2) suy ra \({S_{ABC}} = 2.{3 \over 2}{S_{ABG}} = 3S\) Bài 6 trang 133 sgk toán 8 tập 2. Cho tam giác ABC và đường trung tuyến BM. Trên đoạn thẳng BM lấy điểm D sao cho . Tia AD cắt BC ở K. Tìm tỉ số diện tích của tam giác ABK và tam giác ABC. Hướng dẫn làm bài: Kẻ ME song song với AK (E ∈ BC). Ta có: \({{BK} \over {KE}} = {{BD} \over {DM}} = {1 \over 2} = > KE = 2BK\) ME là đường trung bình của tam giác ACK nên EC = KE = 2BK Ta có : BC = BK + KE + EC = 5BK => \({{BK} \over {BC}} = {1 \over 5}\) \({{{s_{ABK}}} \over {{S_{ABC}}}} = {{BK} \over {BC}} = {1 \over 5}\) (hai tam giác ABK và ABC có chung đường cao hạ từ A). Bài 7 trang 133 sgk toán 8 tập 2. Cho tam giác ABC (AB < AC). Tia phân giác của góc A cắt BC ở K. Qua trung điểm M của BC kẻ một tia song song với KA cắt đường thẳng AB ở D, cắt AC ở E. Chứng minh BD = CE. Hướng dẫn làm bài: AK là đường phân giác của tam giác ABC nên \({{KB} \over {AB}} = {{KC} \over {AC}}\) (1) Vì MD // AK nên: ∆ABK ∽ ∆DBM và ∆ECM ∽ ∆ACK Do đó: \({{KB} \over {AB}} = {{BM} \over {BD}}\) và \( {{CM} \over {CE}} = {{KC} \over {AC}}\) (2) Từ (1) và (2) ta có: \({{BM} \over {BD}} = {{CM} \over {CE}}\) (3) Do BM = CM (giả thiết) nên từ (3) suy ra : BD = CE Bài 8 trang 133 sgk toán 8 tập 2. Trên hình 151 cho thấy ta có thể xác định chiều rộng BB’ của khúc song bằng cách xét hai tam giác đồng dạng ABC và AB’C’. Hãy tính BB’ nếu AC = 100 m, AC’ = 32 m, AB’ = 34m. Hướng dẫn làm bài: Ta có: \({{AB} \over {AB'}} = {{AC} \over {AC'}} = > {{AB' + BB'} \over {AB'}} = {{AC} \over {AC'}}\) => \({{34 + BB'} \over {34}} = {{100} \over {32}} = > BB' = 72,25\left( m \right)\) Bài 9 trang 133 sgk toán 8 tập 2. Cho tam giác ABC có AB < AC, D là một điểm nằm giữa A và C. Chứng minh rằng : \(\widehat {ABD} = \widehat {ACB} \Leftrightarrow A{B^2} = AC.AD\) Hướng dẫn làm bài: a) Chứng minh \(\widehat {ABD} = \widehat {ACB} \Leftrightarrow A{B^2} = AC.AD\) ∆ABD ∽ ∆ACB (g.g) => \({{AB} \over {AC}} = {{AD} \over {AB}} = > A{B^2} = AC.AD\) b) Chứng minh \(A{B^2} = AC.AD = > \widehat {ABD} = \widehat {ACB}\) \(A{B^2} = AC.AD = > {{AB} \over {AC}} = {{AD} \over {AB}}\) Góc A chung nên ∆ABD ∽ ∆ACB (c.g.c) => \(\widehat {ABD} = \widehat {ACB}\) Vậy \(\widehat {ABD} = \widehat {ACB} \Leftrightarrow A{B^2} = AC.AD\) Bài 10 trang 133 sgk toán 8 tập 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 12 cm, AD = 16 cm, AA’ = 25 cm. a)Chứng minh các tứ giác ACC’A’, BDD’B’ là những hình chữ nhật. b)Chứng minh rằng AC’2 = AB2 + AD2 + AA’2. c)Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật. Hướng dẫn làm bài: a) Chứng minh rằng mỗi mặt chéo là một hình bình hành có một góc vuông. b) Trong tam giác vuông ACC’: AC’2 = AC2 + CC’2 = AC2 + AA’2 c) Hình hộp chữ nhật được xem như hình lăng trụ đứng. Diện tích xung quanh: \({S_{xq}} = 2ph = 2\left( {AB + AD} \right).AA'\) =2(12 + 16)25 = 1400 (cm2) Diện tích một đáy: $S_d = AB . AD = 12. 16 = 192 (cm^2)$ Diện tích toàn phần: $S_{tp} = S_{xq} + 2S_d = 1400 + 2.192 = 1784 (cm^2)$ Thể tích: $V= abc = AB.AD.AA’ = 12. 16. 25 = 4800 (cm^2)$ Bài 11 trang 133 sgk toán 8 tập 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = 20 cm, cạnh bên SA = 24cm. a)Tính chiều cao SO rồi tính thể tích của hình chóp. b)Tính diện tích toàn phần của hình chóp. Hướng dẫn làm bài: a) \(S{O^2} = S{D^2} - O{D^2} = {24^2} - {\left( {{{20\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} = 376\) = > \(SO \approx 19,4\left( {cm} \right)\) \(V = {1 \over 3}{.20^2}.19,4 \approx 2586,6\) (cm2) b)Gọi H là trung điểm của CD. \(S{H^2} = S{D^2} - D{H^2} = {24^2} - {\left( {{{20} \over 2}} \right)^2} = 476\) =>SH ≈ 21,8 (cm) \({S_{xq}} \approx {1 \over 2}.80.21,8 \approx 872\) (cm2) \({S_d} = A{B^2} = {20^2} = 400\left( {c{m^2}} \right)\) Nên \({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = 872 + 2.400 = 1672{\left( {cm} \right)^2}\)
