Tóm tắt lý thuyết 1. Nhắc lại về đường tròn Đường tròn tâm O bán kính R (R>0) là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng bằng R kí hiệu là (O;R). M nằm trên đường tròn (0;R) Khi và chỉ khi OM=R M nằm bên ngoài đường tròn khi và chỉ khi OM>R M nằm bên trong đường tròn khi và chỉ khi OM 2. Cách xác định đường tròn Ta đã biết: Một đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kính của đường tròn đó, hoặc khi biết 1 đoạn thẳng là đường kính của đường tròn đó Qua 3 điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn. Chú ý: Không vẽ được đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng Đường tròn đi qua 3 đỉnh của một tâm giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác 3. Tâm đối xứng Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xưng của đường tròn đó 4. Trục đối xứng Đường tròn là hình có trục đối xứng, Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn Bài tập minh họa 1. Bài tập cơ bản Bài 1: Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm chính là trung điểm cạnh huyền. Hướng dẫn: Xét tam giác ABC vuông tại A Gọi M là trung điểm BC nên MB=MC. Dễ dàng chứng minh được MA=MB=MC từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp ABC có tâm là trung điểm cạnh huyền ( Ví dụ gọi N là trung điểm AB. theo tính chất đường trung bình thì \(MN\parallel AC\Rightarrow MN\perp AB\) MN vừa là đường cao vừa là trung tuyến của tam giác ABM nên ABM cân tại M) Bài 2: Cho Hình chữ nhật ABCD có AB=10, BC=8. Chứng minh rằng A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn và tính bán kính của đường tròn đó Hướng dẫn: Áp dụng chứng minh như bài 1 ta có: Đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABC có tâm là E và bán kính là EA. Tương tự cho tam giác ADC cũng có đường tròn ngoại tiếp tại E bán kính là EA từ đó ta có A, B, C, D cùng thuộc đường tròn tâm E bán kính là AE. \(AE=\frac{1}{2}.AC=\frac{1}{2}.\sqrt{AB^2+BC^2}=\frac{1}{2}.\sqrt{10^2+8^2}=\sqrt{41}\) Bài 3: Cho hình thoi ABCD có góc A 60 độ, Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng mình rằng E,F,G,H,B,D cùng thuộc 1 đường tròn Hướng dẫn: ABCD là hình thoi nên O là trung điểm AC và BD. Vì OE là đường trung bình tam giác ABD nên \(OE\parallel AD\Rightarrow \widehat{OEB}=\widehat{DAB}=60^{\circ}\) Tam giác ABD cân có \(\widehat{A}=60^{\circ}\) nên ABD đều nên \(\widehat{ABD}=60^{\circ}\Rightarrow \Delta EOB\) đều. Tương tự cho Tam giác HOD, DOG, FOB Kết hợp OB=OD suy ra 6 điểm trên cùng nằm trên đường tròn tâm O bán kính là OB. 2. Bài tập nâng cao Bài 1: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB. Vẽ đường tròn tâm (I) đường kính OA. bán kính OC của (O) cắt đường tròn (I) tại D. vẽ CH vuông góc với AB. Chứng minh tứ giác ACHD là hình thang cân Hướng dẫn: Dễ dàng chứng minh được tam giác ADO vuông tại D. Xét 2 tam giác vuông ADO và CHO có AO=OC; \(\widehat{AOD}=\widehat{COH}\) \(\Rightarrow \Delta ADO=\Delta CHO\Rightarrow OD=OH; AD=CH\) \(\Delta DOH\sim \Delta COA\Rightarrow \widehat{OHD}=\widehat{CAO}\Rightarrow DH\parallel AC\) \(\Rightarrow ADHC\) là hình thang cân Bài 2: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB. H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên CD. CM: CH=DK Hướng dẫn: Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt CD tại F, HB tại G. Xét tam giác ABH có O là trung điểm AB, \(OG\parallel AH\) \(\Rightarrow G\) là trung điểm BH Xét tam giác HKB có \(FG\parallel KB\) và G là trung điểm BH nên F là trung điểm HK. mà F là trung điểm CD nên ta có điều phải chứng minh
