Tóm tắt lý thuyết 1. So sánh độ dài của đường kính Định lý 1: Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính 2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây Định lý 2: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó Định lý 3: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy Bài tập minh họa 1. Bài tập cơ bản Bài 1: Cho tam giác ABC có BD, CE là các đường cao. CMR: B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn và ED Hướng dẫn: Ta có: các tam giác EBC và DBC là các tam giác vuông có chung cạnh huyền BC nên đường tròn ngoại tiếp hai tam giác này có tâm tại F (F là trung điểm BC) bán kính FB suy ra: E,B,C,D cùng thuộc một đường tròn Trong đường tròn đường kính BC thì ED là dây nên ED Bài 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD không cắt AB. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,B lên CD. CM: CH=DK Hướng dẫn: Dựng OE vuông góc với CD (E thuộc CD) theo định lý 2 thì E là trung điểm CD. (1) Xét hình thang ABKH có O là trung điểm AB và \(OE\parallel AH\parallel BK\) nên E là trung điểm HK. (2) Từ (1) và (2) thì ta có CH=DK Bài 3: Cho đường tròn (O;R) các dây cung AB, AC, AD. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên AC, AD. CMR: \(MN\leq 2R\) Hướng dẫn: Ta cso: hai tam giác AMB và ANB lần lượt vuông tại M, N có AB là đường kính nên A, M, N, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB. Khi đó MN là dây cung \(\Rightarrow MN\leq AB\) mà do AB là dây cung của đường tròn (O;R) nên \(\Rightarrow MN\leq AB\leq 2R\) 2. Bài tập nâng cao Bài 1: Cho (O;R) đường kính AB, H là trung điểm OB. Vẽ dây CD vuông góc với AB tai H, K là trung điểm của AC và I là trung điểm đối xứng của A qua H a) CMR: 4 điểm C, H, O, K cùng thuộc một đường tròn b) CM ADIC là hình thoi. Tính diện tích theo R Hướng dẫn: a) Kẻ OK, vì K là trung điểm AC nên OK vuông góc AC khi đó 4 điểm K, O, H, C sẽ cùng thuộc đường tròn đường kính OC b) Xét tứ giác ADIC có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên ADIC là hình bình hành. Xét tam giác ADC có AH là đường cao vừa là trung tuyến ( OH vuông góc với CD thì đi qua trung điểm CD) nên Tam giác ACD cân tại A nên AC=AD Khi đó ADIC là hình thoi. \(S_{ADIC}=S_{\Delta ADC}+S_{\Delta DIC}=2.S_{\Delta ADC}=AH.CD\) Mà \(AH=\frac{3R}{2}\) ; \(CD=2.CH=2.\sqrt{OC^2-OH^2}=2\sqrt{R^2-\frac{R^2}{4}}=R\sqrt{3}\) \(\Rightarrow S_{ADIC}=\frac{3R}{2}.R\sqrt{3}=\frac{3R^2\sqrt{3}}{2}\) Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn (AB a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hanh b) Chứng minh \(OM=\frac{1}{2}.AH\) Hướng dẫn: a) Tam giác ABD có OA=OB=OD với O là trung điểm AD nên ABD vuông tại B \(\Rightarrow BD\perp AB\Rightarrow BD\parallel CH\) tương tự cho tam giác ADC vuông tại C \(\Rightarrow CD\perp AC\Rightarrow BH\parallel CD\) Tứ giác BHCD có các cặp cạnh đối song song nên BHCD là hình bình hành b) ta có OM vuông góc BC nên M là trung điểm BC. Mà BHCD là hình bình hành nên đường chéo HD đi qua trung điểm BC là M Xét tam giác AHD có O là trung điểm AD, M là trung điểm HD nên OM là đường trung bình tam giác AHD \(\Rightarrow OM=\frac{1}{2}.AH\)
