Hình học 9 Bài 3: Góc nội tiếp

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Tóm tắt lý thuyết
    1. Định nghĩa
    Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.

    [​IMG]

    Góc \(\widehat{BAC}\) được gọi là góc nội tiếp, cung bị chắn là cung \(BC\)

    2. Định lí
    Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

    VD: Ở hình trên, góc nội tiếp \(\widehat{BAC}\) bằng nửa số đo cung bị chắn \(BC\), tức là \(\widehat{BAC}=\frac {1}{2}\)sđ\(\stackrel\frown{BC}\)

    3. Hệ quả
    Trong một đường tròn:

    a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau

    b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau

    c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung

    d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông


    Bài tập minh họa
    1. Bài tập cơ bản
    Bài 1: Dựa vào hình vẽ, hãy tính số đo cung \(BD\) nhỏ

    [​IMG]

    Hướng dẫn: \(\bigtriangleup OAD\) cân tại \(O\) nên \(\widehat{OAD}=\frac{180^0-150^0}{2}=15^0\), suy ra \(\widehat{BAD}=30^0+15^0=45^0\)

    Mà \(\widehat{BAD}\) là góc nội tiếp nên sđ\(\stackrel\frown{BD}=2.\widehat{BAD}=2.45^0=90^0\)

    Bài 2: Tính \(\widehat{MON}\) biết số đo cung nhỏ XY của đường tròn tâm B là 700

    [​IMG]

    Hướng dẫn: Trong đường tròn \((B)\) ta có sđ\(\stackrel\frown{XY}=70^0\Rightarrow \widehat{XBY}=70^0\)

    Trong đường tròn \((O)\) thì \(\widehat{MON}=2.\widehat{MBN}=2.70^0=140^0\)

    Bài 3: Cho đường tròn \((O)\) và dây \(AB\). Vẽ \(OH\perp AB(H\in AB)\), \(OH\) cắt cung nhỏ \(AB\) tại \(N\). Biết rằng \(HN=5,AB=10\sqrt{5}\). Tính bán kính của đường tròn \((O)\)

    [​IMG]

    Hướng dẫn: Vẽ đường kính \(NOM\). Dễ chứng minh \(H\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AH=\frac{1}{2}.AB=\frac{1}{2}.10\sqrt{5}=5\sqrt{5}\)

    Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông MAN với đường cao AH ta có \(MH.HN=AH^2\Rightarrow MH=\frac{AH^2}{NH}=\frac{(5\sqrt{5})^2}{5}=25\)

    Khi đó \(MN=MH+HN=25+5=30\)

    Bán kính của đường tròn \((O)\) là \(ON=\frac{MN}{2}=15\)

    2. Bài tập nâng cao
    Bài 1: Cho đường tròn \((O;R)\) đường kính \(BC\) cố định. Điểm \(A\) di động trên đường tròn khác \(B\) và \(C\). Vẽ đường kính \(AOD\). Xác định vị trí điểm \(A\) để diện tích \(\bigtriangleup ABC\) đạt giá trị lớn nhất, khi đó \(\widehat{ADC}=?\)

    [​IMG]

    Hướng dẫn: Vẽ đường cao \(AH\) của \(\bigtriangleup ABC\).

    \(\bigtriangleup AHO\) vuông tại \(H\) nên \(AH\leq AO\) (dấu bằng xảy ra khi \(H\equiv O\))

    \(S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC\leq \frac{1}{2}.AO.BC=\frac{1}{2}R.2R=R^2\)(dấu bằng xảy ra khi \(H\equiv O\))

    Vậy diện tính tam giác \(ABC\) đạt giá trị lớn nhất khi \(H\equiv O\), khi đó \(A\) là điểm chính giữa \(\stackrel\frown{BC}\)

    Suy ra \(\widehat{ADC}=45^0\)

    Bài 2: Cho nửa đường tròn đường kính \(AB=2cm\), dây \(CD//AB (C\in\stackrel\frown{AD})\). Tính độ dài các cạnh của hình thang \(ABCD\) biết chu vi hình thang bằng \(5cm\)

    [​IMG]

    Hướng dẫn: Ta có \(CD//AB\Rightarrow \stackrel\frown{AC}=\stackrel\frown{BD}\Rightarrow AC=BD\). Dễ chứng minh \(ABDC\) là hình thang cân (vì \(\widehat{CAB}=\widehat{DBA}\))

    Đặt \(AC=BD=x\) \((x>0)\), chu vi hình thang bằng \(5cm\) nên \(AB+BD+CD+AC=5\Rightarrow CD=3-2x\)

    Kẻ \(DN,CM\) vuông góc với \(AB\). Ta có \(NB=MA=\frac{AB-CD}{2}=\frac{2-(3-2x)}{2}=\frac{2x-1}{2}\)

    \(\bigtriangleup DAB\) vuông tại \(D\) có \(DN\perp AB\) nên \(BD^2=BN.BA\Rightarrow x^2=\frac{2x-1}{2}.2\Rightarrow x^2-2x-1=0\Rightarrow x=1\)

    Vậy \(AC=BD=1cm\) , do đó \(CD=3-2x=1 (cm)\)