Tóm tắt lý thuyết 1. Hình cầu Khi quay nửa đường tròn tâm O, bán kính R một vòng quanh đường kính AB cố định, ta được một hình cầu. 2. Cắt hình cầu bởi một mặt phẳng Chúng ta có 1 số tính chất sau Bất cứ một mặt phẳng nào cắt qua mặt cầu, ta đều nhận được mặt cắt là hình tròn Bất cứ một mặt phẳng nào cắt qua tâm mặt cầu, ta đều nhận được mặt cắt là hình tròn có diện tích lớn nhất (vì bán kính lớn nhất) 3. Diện tích mặt cầu Nhắc lại kiến thức đã học ở lớp dưới, ta có công thức sau: \(S=4\pi R^2=\pi d^2\) (với R là bán kính, d là đường kính của mặt cầu) 4. Thể tích mặt cầu Công thức tính thể tích mặt cầu: \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\) Bài tập minh họa 1. Bài tập cơ bản Bài 1: Tính diện tích của một mặt cầu có bán kính bằng \(4cm\) Hướng dẫn: Theo công thức, ta có diện tích của mặt cầu là: \(S=4R^2 \pi=4.4^2\pi=64\pi(cm^2)\) Bài 2: Khi bán kính của một mặt cầu tăng lên \(\frac{3}{2}\) lần thì diện tích và thể tích của nó thay đổi như thế nào? Hướng dẫn: Theo công thức tính diện tích, ta có \(S=4R^2 \pi\) Dựa vào công thức trên, khi R tăng lên \(\frac{3}{2}\) thì diện tích tăng lên \(R^2\) lần tức là \(\frac{9}{4}\) lần. Tương tự đối với thể tích: \(V= \frac{4}{3}\pi R^3\) khi R tăng lên \(\frac{3}{2}\) thì thể tích tăng lên \(R^3\) lần tức là \(\frac{27}{8}\) lần. Bài 3: Giả sử trái cam có hình tương tự mặt cầu, bạn Lan cắt trái cam làm đôi và tiến hành đo đường kính của nửa cam vừa cắt, bạn đo được bán kính tính cả vỏ cam là \(2,5cm\), biết vỏ cam dày \(3mm\). Hãy tính thể tích thực của cam mà Lan đã ăn. Hướng dẫn: Xem như phần cam mà Lan đã ăn cũng là một dạng mặt cầu, vậy bán kính của mặt cầu ấy chính là bán kính Lan đo được trừ đi vỏ Tức là: \(R=25-3=22mm\) Vậy, thể tích cam mà bạn Lan đã ăn là: \(V= \frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi. 22^3=\frac{42592\pi}{3}(mm^3)\) 2. Bài tập nâng cao Bài 1: Tính bán kính của một mặt cầu, biết rằng mặt cầu đó có số đo đại số diện tích bằng số đo đại số thể tích. Hướng dẫn: Theo đề bài, ta có: \(\frac{4}{3}\pi R^3=4R^2.\pi\Leftrightarrow \frac{R}{3}=1\Leftrightarrow R=3(dvdd)\) Bài 2: Tính thể tích của một mặt cầu có bán kính (cm) thỏa mãn phương trình: \(x^2-3x-4=0\) Hướng dẫn: Giải phương trình trên, ta có được hai nghiệm trái dấu, chỉ chọn nghiệm \(x=4(cm)\) Vậy, thể tích của mặt cầu đó là \(V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}.4^3.\pi=\frac{256\pi}{3}(cm^3)\)
