Tóm tắt lý thuyết 1. Bài toán quỹ tích "Cung chứa góc" Với đoạn thẳng \(AB\) và góc \(\alpha(0^0<\alpha<180^0)\) cho trước thì quỹ tích các điểm \(M\) thỏa mãn \(\widehat{AMB}=\alpha\) là hai cung chứa góc \(\alpha\) dựng trên đoạn \(AB\) Chú ý: - Hai cung chứa góc \(\alpha\) nói trên là hai cung đối xứng với nhau qua \(AB\) - Hai điểm \(A,B\) được coi là thuộc quỹ tích - Trường hợp \(\alpha=90^0\) thì quỹ tích trên là hai nửa đường tròn đường kính \(AB\) Áp dụng cung chứa góc vào chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn: Nếu một tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc \(\alpha\) thì bốn đỉnh của tứ giác ấy cùng thuộc một đường tròn. 2. Cách giải bài toán quỹ tích Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất \(\tau\) là một hình \(H\) nào đó, ta phải chứng minh hai phần: Phần thuận: Mọi điểm có tính chất \(\tau\) đều thuộc hình \(H\). Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình \(H\) đều có tính chất \(\tau\). Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M có tính chất \(\tau\) là hình \(H\) Nhận xét: Một bài toán quỹ tích sẽ dễ có hướng xử lí hơn khi ta dự đoán được hình \(H\) trước khi bắt đầu chứng minh Bài tập minh họa 1. Bài tập cơ bản Bài 1: Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến MAB đi qua O và các tiếp tuyến MC,MD. Gọi K là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng: bốn điểm B,C,M,K thuộc cùng một đường tròn Hướng dẫn: Ta đã biết MO là đường trung trực của CD nên AB là đường trung trực của CD, suy ra \(\widehat{MBK}=\widehat{MBC}\) Mặt khác \(\widehat{MBC}=\widehat{MCK}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung CA) Do đó \(\widehat{MBK}=\widehat{MCK}\) Tứ giác MCBK có \(\widehat{MBK}=\widehat{MCK}\) nên M,C,B,K cùng thuộc một đường tròn. Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm hai đường chéo. Trên tia OA lấy điểm M sao cho OM=OB. Trên tia OB lấy điểm M sao cho ON=OA. Chứng minh rằng: bốn điểm D,M,N,C cùng thuộc một đường tròn. Hướng dẫn: Xét hai tam giác \(\bigtriangleup AOB\) và \(\bigtriangleup NOM\) có \(\widehat{AOB}\) chung và OA=ON; OM=OB nên \(\bigtriangleup AOB=\bigtriangleup NOM\)(c.g.c) suy ra \(\widehat{BAO}=\widehat{MNO}\) Mặt khác do AB//CD (hình thang) nên \(\widehat{BAO}=\widehat{DCO}\), từ đó suy ra \(\widehat{MNO}=\widehat{DCO}\) Xét tứ giác DMNC có \(\widehat{MNO}=\widehat{DCO}\) mà hai góc này cùng nhìn cạnh MD nên bốn điểm D,M,N,C cùng thuộc một đường tròn. Bài 3: Dựng tam giác ABC, biết BC=3cm, \(\widehat{A}=45^0\) và trung tuyến AM=2,5cm Hướng dẫn: Trình tự dựng gồm các bước sau: - Dựng đoạn thằng BC=3cm. - Dựng cung chứa góc \(45^0\) trên đoạn thẳng BC (cung BmC) - Gọi M là trung điểm BC. - Dựng đường tròn tâm M, bán kính 2,5cm, đường tròn này cắt cung BmC tại A và A' Lúc đó tam giác ABC (hoặc A'BC) là tam giác thỏa yêu cầu bài toán (BC=3cm, \(\widehat{A}=45^0\) và trung tuyến AM=2,5cm) 2. Bài tập nâng cao Bài 1: Cho cung AB cố định tạo bởi các bán kính OA,OB vuông góc với nhau, điểm I chuyển động trên cung AB. Trên tia OI lấy điểm M sao cho OM bằng tổng các khoảng cách từ I đến OA và OB. Tìm quỹ tích các điểm M. Hướng dẫn: Phần thuận: Kẻ \(IH\perp OA,IK\perp OB\), điểm M thuộc OI có tính chất OM=IH+IK (1) Kẻ \(BE\perp OI\). Ta có \(\bigtriangleup OBE=\bigtriangleup OIK\) (cạnh huyền -góc nhọn) nên OE=OK=IH, BE=IK (2) Từ (1) và (2) suy ra OM=IH+IK=OE+BE và do đó EM=EB Suy ra tam giác EMB vuông cân tại E nên \(\widehat{EMB}=45^0\). Điểm M nhìn OB cố định dới góc \(45^0\) nên M di chuyển trên cung chứa góc \(45^0\) dựng trên OB. Mặt khác, vì điểm M chỉ nằm bên trong góc vuông AOB nên M chỉ di chuyển trên cung AmB, một phần của cung chứa góc \(45^0\) dựng trên OB. Phần đảo: Lấy điểm M bất kì trên cung AmB. Kẻ \(BE\perp OM,IH\perp OA, IK\perp OB\) ta sẽ chứng minh OM=IH+IK Thật vậy, ta làm ngược lại với phần thuận Do \(\widehat{OMB}=45^0\) nên tam giác EMB vuông cân tại E, suy ra EM=EB \(\bigtriangleup OBE=\bigtriangleup OIK\) (cạnh huyền -góc nhọn) nên OE=OK=IH, BE=IK. Do đó EM=IK Vậy OM=OE+EM=IH+IK Kết luận: Quỹ tích (tập hợp) các điểm M là cung AmB, một phần của cung chứa góc \(45^0\) dựng trên đoạn OB nằm bên trong góc vuông AOB. Bài 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. C là một điểm trên nửa đường tròn. Trên bán kính OC lấy điểm D sao cho OD bằng khoảng cách từ C đến AB. Hướng dẫn: Phần thuận: Vẽ \(OP\perp AB\) với P thuộc (O) Xét \(\bigtriangleup OPD\) và \(\bigtriangleup COH\) có OD=OH (giả thiết) OP=OC (cùng bằng bán kính nửa đường tròn) \(\widehat{POD}=\widehat{OCH}\) (so le trong) Nên \(\bigtriangleup OPD=\bigtriangleup {COH}\) (c.g.c) suy ra \(\widehat{ODP}=90^0\) Mặt khác ta có O,P cố định nên D nằm trên đường tròn đường kính OP Phần đảo: Lấy điểm D' bất kì nằm trên đường tròn đường kính OP, tia OD' cắt (O) tại C'. Hạ đường vuông góc C'H' xuống AB. Ta sẽ chứng minh OD'=C'H' Thật vậy, xét hai tam giác vuông OD'P và C'H'O có cạnh huyền OP=OC' và một góc nhọn \(\widehat{POD'}=\widehat{OC'H'}\)(so le trong) Nên \(\bigtriangleup OD'P=\bigtriangleup C'H'O\) (cạnh huyền - góc nhọn) suy ra OD'=CH' Kết luận: Quỹ tích (tập hợp) các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đường kính AB là đường tròn đường kính OP với P là điểm chính giữa cung AB.
