KHAI THÁC CÔNG THỨC $\cos ^23x=a$ $\left ( 0 \leq a \leq 1 \right )$ Có nhiều bài toán tưởng chừng như rất khó khăn nhưng nếu chúng ta tìm ra được ra bài toán "gốc" ban đầu thì dễ dàng lột trần được lời giải. Trong bài viết này tôi sẽ khai thác đẳng thức $\cos ^23x=a$ $\left ( 0 \le a \le 1 \right )$ sâu hơn để giải quyết thêm một lớp bài tập khó. Đầu tiên ta xét phương trình: $$\cos ^23x=a \left ( 0 \le a \le 1 \right ),\,\,\ \left ( 1 \right )$$ Dễ thấy nếu $x_o$ là một nghiệm phương trình $\left ( 1 \right )$ thì $\dfrac{\pi}{3} \pm x_o$ cũng là nghiệm của $\left ( 1 \right )$. Phương trinh $\left ( 1 \right )$ được viết lại: $\left ( 4\cos ^3x-3\cos x \right )^2=a$ $\Leftrightarrow 16\cos ^6x-24\cos ^4x+9\cos ^2x-a=0$ $\Leftrightarrow 16t^3-24t^2+9t-a=0$ $\left ( 2 \right )$ \left ( với $t=\cos ^2x$, $0\le t \le 1$ \right ). Với nhận xét như trên thì $t_1=\cos ^2x$ là nghiệm của $\left ( 1 \right )$ thì $t_2=\cos ^2\left ( \dfrac{\pi}{3}-x \right )$;$t_3=\cos ^2\left ( \dfrac{\pi}{3}+x \right )$ cũng là nghiệm của $\left ( 1 \right )$ Theo định lí Viet thì ta có: $$t_1+t_2+t_3=\dfrac{3}{2};$$ $$t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1=\dfrac{9}{16};$$ $$t_1t_2t_3=\dfrac{a}{16};$$ Từ đó, với mọi $x$, ta có kết luận thú vị sau: $1) A=\cos ^2\left ( \dfrac{\pi}{3}-x \right )+\cos ^2x+\cos ^2\left ( \dfrac{\pi}{3}+x \right ) =t_1+t_2+t_3=\dfrac{3}{2}$ $2) B=\cos ^2\left ( \dfrac{\pi}{3}-x \right )\cos ^2x+\cos ^2x\cos ^2\left ( \dfrac{\pi}{3}+x \right )+\cos ^2\left ( \dfrac{\pi}{3}+x \right )\cos ^2\left ( \dfrac{\pi}{3}-x \right )$ $=t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1=\dfrac{9}{16}$ $3) C=\cos ^4\left ( \dfrac{\pi}{3}-x \right )+\cos ^4x+\cos ^2\left ( \dfrac{\pi}{3}+x \right )$ $=t_1^2+t_2^2+t_3^2=\left ( t_1+t_2+t_3 \right )^2-2\left ( t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1 \right )=\dfrac{9}{8}$ Giờ ta sẽ giải một số bài toán: Bài toán 1: Tính tổng: $$S=\cos ^6{\dfrac{\pi}{18}}+\cos ^6{\dfrac{5\pi}{18}}+\cos ^6{\dfrac{7\pi}{18}}$$ Giải: Ta có: $S=t_1^3+t_2^3+t_3^3$ $=\left ( t_1+t_2+t_3 \right )^3-3\left ( t_1+t_2+t_3 \right )\left ( t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1 \right )+3t_1t_2t_3$ $=\dfrac{27}{32}+\dfrac{3a}{16}$ Từ $\cos ^23x=a$, cho $x=\dfrac{\pi}{18}$ ta được: $$\cos ^2\left ( 3.\dfrac{\pi}{18} \right )=a \Rightarrow a=\dfrac{3}{4}$$ Vậy $S=\dfrac{63}{64}$ Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $$y=\dfrac{\cos ^6\left ( \dfrac{\pi}{3}-x \right )+ \cos ^6x+ \cos ^6\left ( \dfrac{\pi}{3}+x \right )}{\cos ^4\left ( \dfrac{\pi}{3}-x \right )+ \cos ^4x+ \cos ^4\left ( \dfrac{\pi}{3}+x \right )}$$ Giải: Theo nhận xét trên thì ta có: $$\cos ^4\left ( \dfrac{\pi}{3}-x \right )+ \cos ^4x+ \cos ^4\left ( \dfrac{\pi}{3}+x \right )=\dfrac{9}{8}$$ $$ \cos ^6\left ( \dfrac{\pi}{3}-x \right )+ \cos ^6x+ \cos ^6\left ( \dfrac{\pi}{3}+x \right )=\dfrac{27}{32}+\dfrac{3a}{16}$$ Do đó: $$y =\dfrac{\dfrac{27}{32}+\dfrac{3a}{16}}{\dfrac{9}{8}}\ge \dfrac{\dfrac{27}{32}}{\dfrac{9}{8}}$$ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $$a=0 \Leftrightarrow \cos ^23x=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3}$$ Lại có: $$y=\dfrac{\dfrac{27}{32}+\dfrac{3a}{16}}{\dfrac{9}{8}}\le \dfrac{\dfrac{27}{32}+\dfrac{3}{16}}{\dfrac{9}{8}}=\dfrac{11}{12}$$ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $$a=1\Leftrightarrow \cos ^23x=1 \Leftrightarrow x=k\dfrac{\pi}{3}$$ Từ đó ta có thể kết luận được GTLN, GTNN. Bài toán 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$P=\dfrac{1}{\cos ^6a}+\dfrac{1}{\cos ^6b}+\dfrac{1}{\cos ^6c}$$ Trong đó ba số $a,b,c$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai bằng $\dfrac{\pi}{3}$ Giải: Ta có thể xem $t_1=\cos ^6a=\cos ^6\left ( \dfrac{\pi}{3}-b \right )$ $ t_2=\cos ^6b$ $ t_3=\cos ^6c=\cos ^6\left ( \dfrac{\pi}{3}+b \right )$ Khi đó $P=\dfrac{1}{t_1^3}+\dfrac{1}{t_2^3}+\dfrac{1}{t_3^3}$ $=\left ( \dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}+\dfrac{1}{t_3} \right )^3-3\left ( \dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}+\dfrac{1}{t_3} \right )\left ( \dfrac{1}{t_1}\dfrac{1}{t_2}+\dfrac{1}{t_2}\dfrac{1}{t_3}+\dfrac{1}{t_3}\dfrac{1}{t_1} \right )+3\dfrac{1}{t_1t_2t_3}$ $=\left ( \dfrac{9}{a} \right )^3-3\dfrac{9}{a} \dfrac{24}{a}+\dfrac{48}{a}$ $=\dfrac{729}{a^3}-\dfrac{648}{a^2}+\dfrac{48}{a}$ Khảo sát hàm số $$f\left ( a \right )=\dfrac{729}{a^3}-\dfrac{648}{a^2}+\dfrac{48}{a}; a\in ( 0;1]$$ Dễ thấy $f\left ( a \right )$ nghịch biến trong $(0;1]$ nên $f\left ( a \right )$ đạt GTNN là $f\left ( 1 \right )=129$. Vậy $$minP=129 \Leftrightarrow cos ^23b=1 \Leftrightarrow b=k\dfrac{\pi}{3}$$. Từ đó: $$a=\left ( k-1 \right )\dfrac{\pi}{3}; b=k\dfrac{\pi}{3}; c=\left ( k+1 \right )\dfrac{\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$$ Do khuôn khổ có hạn nên tôi xin dừng bài viết này tại đây, hy vọng các bạn tìm thấy được điều hữu ích từ những vấn đề trên. Hẹn gặp lại các bạn trong bài viết: PHÍA SAU ĐẲNG THỨC $\cos mx=\cos nx$ Bài tập đề nghị: Bài toán 4: Cho cấp số cộng có 2012 số hạng. Cấp số cộng có công sai là $\dfrac{\pi}{3}$ và thỏa mãn: $$\sum\limits_{i=1}^{2012}\cos ^6u_i=\dfrac{2515}{4}$$. Tính $u_{2012}$ biết rằng số hạng đầu tiên $u_1$ là một số dương nhỏ nhất. Bài toán 5: Tính tổng: $S=\sqrt{1+\cos 5^o}+\sqrt{1+\cos 55^o}+\sqrt{1+\cos 65^o}$
