KỸ THUẬT CƠ BẢN GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC Nội dung BĐT là một nội dung quan trọng trong các kì thi CĐ, ĐH, THCN. Nhận xét sơ bộ về các bài toán BĐT trong nhiều năm gần đây ta có thể chia thành hai loại: 1) Chứng minh BĐT bằng cách dựa vào hàm số. 2) Chứng minh BĐT dựa vào Cauchy. Trong bài viết nhỏ này tôi sẽ trình bày nội dung thứ hai. Trước hết ta nhắc lại hai phát biểu đơn giản của Cauchy: $(1)$: Cho $A, B$ không âm: $A + B \geq 2\sqrt {AB}$ $(2)$: Cho $A, B, C$ không âm: $A + B + C \geq 3\sqrt[3]{{ABC}}$ Từ $(1), (2)$ ta có thể thu được các BĐT thức không kém phần quan trọng sau: $\begin{array}{l} (3):\,\,AB \leq \left( {\dfrac{{A + B}}{2}} \right)^2 \\\\ (4):\,\,ABC \leq \left( {\dfrac{{A + B + C}}{3}} \right)^3 \\\\ (5):\,\,\dfrac{1}{A} + \dfrac{1}{B} \geq \dfrac{4}{{A + B}} \\\\ (6):\,\,\dfrac{1}{A} + \dfrac{1}{B} + \dfrac{1}{C} \geq \dfrac{9}{{A + B + C}} \\\\ (7):\,\,\left( {A + B} \right)^2 \leq 2\left( {A^2 + B^2 } \right) \\\\ (8):\,\,\left( {A + B + C} \right)^2 \leq 3\left( {A^2 + B^2 + C^2 } \right)\,... \\ \end{array}$ Học sinh có thể chứng minh các khẳng định trên tương đối đơn giản. Điểm chung từ $(1)$ đến $(8)$ là dấu “$=$” xảy ra khi và chỉ khi $A = B = C $. Bây giờ ta giải một số bài toán cụ thể. Dạng 1: Sử dụng trực tiếp từ (1) đến (10): Bài 1: Cho $a, b, c$ dương và $a + b + c = 3$. Chứng minh: $$\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} \leq 3$$ Hướng dẫn: Ta có: $$\left. \begin{array}{l} a + 1 + 1 \geq 3\sqrt[3]{a} \\ b + 1 + 1 \geq 3\sqrt[3]{b} \\ c + 1 + 1 \geq 3\sqrt[3]{c} \\ \end{array} \right\} \Rightarrow \,3\,VT\, \leq a + b + c + 6 = 9 \Rightarrow \,VT\, \leq 3.$$ Để tiện cho việc trình bày, từ bài tập này về sau nếu không có chú thích gì thêm thì ta xem $a, b, c$ dương. Bài 2: Cho $a + b + c = 1$. Chứng minh: $$\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} > 4$$ Hướng dẫn: (Sử dụng (6)). $$VT \geq \dfrac{9}{a + b + b + c + c + a} = \dfrac{9}{2} > 4.$$ Bài 3: Cho $a + b + c = 1$. Chứng minh: $$\left( a + b \right)\left( b + c \right)\left( c + a \right) \leq \dfrac{8}{27}$$ Hướng dẫn: (Sử dụng (3)). $$VT \leq \left( \dfrac{a + b + b + c + c + a}{3} \right)^3 = \left( \dfrac{2}{3} \right)^3 = \dfrac{8}{27}.$$ Bài 4: Cho $\dfrac{1}{{1 + a}} + \dfrac{1}{{1 + b}} + \dfrac{1}{{1 + c}} = 1.$ Chứng minh: $abc \geq 8.$ Hướng dẫn: Với lưu ý: $$1 - \dfrac{1}{{1 + a}} = \dfrac{a}{{1 + a}};\,1 - \dfrac{1}{{1 + b}} = \dfrac{b}{{1 + b}};\,1 - \dfrac{1}{{1 + c}} = \dfrac{c}{{1 + c}}$$ nên: $$\dfrac{a}{{1 + a}} = \dfrac{1}{{1 + b}} + \dfrac{1}{{1 + c}} \geq \dfrac{2}{{\sqrt {\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)} }}$$ $$\dfrac{b}{{1 + b}} = \dfrac{1}{{1 + c}} + \dfrac{1}{{1 + a}} \geq \dfrac{2}{{\sqrt {\left( {1 + c} \right)\left( {1 + a} \right)} }}$$ $$\dfrac{c}{{1 + c}} = \dfrac{1}{{1 + a}} + \dfrac{1}{{1 + b}} \geq \dfrac{2}{{\sqrt {\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)} }}$$ Suy ra $$\dfrac{{abc}}{{\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)}} \geq \dfrac{8}{{\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)}}$$ Từ đó, ta có đpcm. Bài 5: Cho $\dfrac{1}{{1 + a}} + \dfrac{1}{{1 + b}} + \dfrac{1}{{1 + c}} \geq 2$. Chứng minh: $abc \leq \dfrac{1}{8}.$ Hướng dẫn: Với lưu ý: $$\dfrac{1}{{1 + a}} \geq 1 - \dfrac{1}{{1 + b}} + 1 - \dfrac{1}{{1 + c}} = \dfrac{b}{{1 + b}} + \dfrac{c}{{1 + c}}$$ nên: $$\dfrac{1}{{1 + a}} \geq \dfrac{b}{{1 + b}} + \dfrac{c}{{1 + c}} \geq \dfrac{{2\sqrt {bc} }}{{\sqrt {\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)} }}$$ $$\dfrac{1}{{1 + b}} \geq \dfrac{{2\sqrt {ca} }}{{\sqrt {\left( {1 + c} \right)\left( {1 + a} \right)} }}$$ $$\dfrac{1}{{1 + c}} \geq \dfrac{{2\sqrt {ab} }}{{\sqrt {\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)} }}$$ Từ đó $$\dfrac{1}{{1 + a}}.\dfrac{1}{{1 + b}}.\dfrac{1}{{1 + c}} \geq \dfrac{{8abc}}{{\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)\left( {1 + c} \right)}}$$ Suy ra đpcm. Bài 6: Cho $a + b + c \leq 1$. Chứng minh: $$\left( {1 + \dfrac{1}{a}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{b}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{c}} \right) \geq 64.$$ Hướng dẫn: Chú ý: $$1 \geq a + b + c \geq 3\sqrt[3]{{abc}}\, \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt[3]{{abc}}}} \geq 3 $$. Ta có: $$\begin{matrix} VT&= & 1 + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ca}} + \dfrac{1}{{abc}}\\ \\ & \geq &1 + \dfrac{3}{{\sqrt[3]{{abc}}}} + \dfrac{3}{{\left( {\sqrt[3]{{abc}}} \right)^2 }} + \dfrac{1}{{\left( {\sqrt[3]{{abc}}} \right)^3 }} \\ \\ & \geq & \left( {1 + \dfrac{1}{{\sqrt[3]{{abc}}}}} \right)^3 \geq (1 + 3) ^4=64\\ \end{matrix}$$ Bài 7: Cho $a + b + c \leq 1$. Chứng minh: $$\dfrac{1}{{a^2 + 2bc}} + \dfrac{1}{{b^2 + 2ca}} + \dfrac{1}{{c^2 + 2ab}} \geq 9$.$ Hướng dẫn: (Sử dụng (6)). $$VT\, \geq \dfrac{9}{{a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca}} = \dfrac{9}{{\left( {a + b + c} \right)^2 }} \geq 9$$. Bài 8: Chứng minh: $$\left( {a + \dfrac{1}{b}} \right)^2 + \left( {b + \dfrac{1}{c}} \right)^2 + \left( {c + \dfrac{1}{a}} \right)^2 \geq 12.$$ Hướng dẫn: (Sử dụng (8)). $$VT\, \geq \dfrac{1}{3}\left( {a + \dfrac{1}{b} + b + \dfrac{1}{c} + c + \dfrac{1}{a}} \right)^2 \geq \dfrac{1}{3}.6^2 = 12.$$ Bài 9: Cho $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 1$. Chứng minh: $$\dfrac{1}{{2a + b + c}} + \dfrac{1}{{a + 2b + c}} + \dfrac{1}{{a + b + 2c}} \leq \dfrac{1}{4}$$. Hướng dẫn: (Sử dụng (5) hai lần): $$\dfrac{4}{{2a + b + c}} \leq \dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{a + c}} \leq \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{c}} \right)$$ $$\dfrac{4}{{a + 2b + c}} \leq \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)$$ $$\dfrac{4}{{a + b + 2c}} \leq \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)$$ $$4\,VT\, \leq \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{4}{a} + \dfrac{4}{b} + \dfrac{4}{c}} \right) = 1$$ Ta có đpcm. Bài 10: Cho $0 \leq a,b,c \leq 1$. Chứng minh: $$\dfrac{a}{{b + c + 1}} + \dfrac{b}{{a + c + 1}} + \dfrac{c}{{a + b + 1}} + \left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right) \leq 1.$$ Hướng dẫn: Giả sử $a \leq b \leq c$. (Sử dụng (4)). Ta có: $$\left( {a + b + 1} \right)\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right) \leq \left( {\dfrac{{a + b + 1 + 1 - a + 1 - b}}{3}} \right)^3 = 1 $$ Suy ra $$\Rightarrow \left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right) \leq \dfrac{{1 - c}}{{a + b + 1}}.$$ Nên: $$VT\, \leq \dfrac{a}{{b + a + 1}} + \dfrac{b}{{a + b + 1}} + \dfrac{c}{{a + b + 1}} + \dfrac{{1 - c}}{{a + b + 1}} = 1.$$ Bài 11: Cho $a + b + c =1$. Chứng minh: $$\dfrac{a}{{1 + a}} + \dfrac{b}{{1 + b}} + \dfrac{c}{{1 + c}} \leq \dfrac{3}{4}.$$ Hướng dẫn: Ta có: $$1 - \dfrac{a}{{1 + a}} + 1 - \dfrac{b}{{1 + b}} + 1 - \dfrac{c}{{1 + c}} = \dfrac{1}{{1 + a}} + \dfrac{1}{{1 + b}} + \dfrac{1}{{1 + c}} \geq \dfrac{9}{{3 + a + b + c}} = \dfrac{9}{4}.$$ Suy ra: $$VT\, \leq 3 - \dfrac{9}{4} = \dfrac{3}{4}.$$ Bài 12: Cho $a^2 + b^2 + c^2 = 1.$ Chứng minh: $$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} - \left( {a + b + c} \right) \geq 2\sqrt 3 .$$ Hướng dẫn: (Sử dụng (8)), suy ra: $$a + b + c \leq \sqrt 3 \Rightarrow - \left( {a + b + c} \right) \geq - \sqrt 3$$ (Sử dụng (6)), ta có: $$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geq \dfrac{9}{{a + b + c}} \geq \dfrac{9}{{\sqrt 3 }} = 3\sqrt 3$$. Cộng hai BĐT cùng chiều trên ta có điều phải chứng minh.
