Cho số phức z = 2 + 5i. Tìm số phức \(w=iz+\overline{z}\) \(w=7-3i\) \(w=-3-3i\) \(w=3+7i\) \(w=-7-7i\) Hướng dẫn giải: \(w=iz+\overline{z}=i\left(2+5i\right)+\left(2-5i\right)=2i+5i^2+2-5i\) \(=2i-5+2-5i\) (chú ý: \(i^2=-1\)) \(=-3-3i\)
Cho các số phức z thoả mãn |z| = 4. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = (3 + 4i)z + i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. r = 4 r = 5 r = 20 r = 22 Hướng dẫn giải: Giả sử w = x + yi. Khi đó: \(z=\frac{w-i}{3+4i}=\frac{x+\left(y-1\right)i}{3+4i}=\frac{\left[x+\left(y-1\right)i\right]\left(3-4i\right)}{3^2-\left(4i\right)^2}\) \(=\frac{3x-4\left(y-1\right)i^2+\left[3\left(y-1\right)-4x\right]i}{9+16}\) \(=\frac{3x+4\left(y-1\right)+\left[3\left(y-1\right)-4x\right]i}{25}=\frac{3x+4\left(y-1\right)}{25}+\frac{3\left(y-1\right)-4x}{25}i\) Vì |z| = 4 nên ta có: \(\left(\frac{3x+4\left(y-1\right)}{25}\right)^2+\left(\frac{3\left(y-1\right)-4x}{25}\right)^2=16\) <=> \(9x^2+16\left(y-1\right)^2+12x\left(y-1\right)+9\left(y-1\right)^2+16x^2-12x\left(y-1\right)=16.25^2\) <=> \(25x^2+25\left(y-1\right)^2=16.25^2\) <=> \(x^2+\left(y-1\right)^2=16.25=400\) Vậy w(x,y) nằm trên đường tròn bán kính 20.
Nếu \(\left|z\right|=2\) . Tìm tập hợp số phức \(w=2z\). Là đường tròn tâm O, bán kính bằng 8. Là đường tròn tâm O, bán kính bằng 4. Là đường tròn tâm I (2;2), bán kính bằng 4. Là đường tròn tâm O, bán kính \(\frac{1}{2}.\) Hướng dẫn giải: Đặt z = a + bi, theo giả thiết đề bài ta có: \(a^2+b^2=4\), \(w=2a+2bi\) \(\left|w\right|=\sqrt{4a^2+4b^2}=\sqrt{4.4}=4\) => w là tập các điểm thuộc đường tròn tâm O bán kính 4.
Tìm tập hợp số phức z thỏa mãn \(\left|\frac{z+3}{z+5}\right|=1\). Đường thẳng x = -4. Đường thẳng y = -4. Đường thẳng y = -4x. Đường thẳng y = 4x. Hướng dẫn giải: Đặt z = a + bi. Theo giả thiết đề bài ta có: \(\left|\frac{z+3}{z+5}\right|=1\Leftrightarrow\left|\frac{a+3+bi}{a+5+bi}\right|=1\Leftrightarrow\left|a+3+bi\right|=\left|a+5+bi\right|\) \(\Leftrightarrow\left(a+3\right)^2+b^2=\left(a+5\right)^2+b^2\) \(\Leftrightarrow-4a=16\Leftrightarrow a=-4.\) Vậy tập hợp số phức z là đường thẳng x = -4.
Phần thực của số phức \(\frac{1}{1+i}\) bằng \(1\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{-1}{2}\) \(\frac{-1}{2}i\) Hướng dẫn giải: \(\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)}=\frac{1-i}{1-i^2}=\frac{1-i}{1-\left(-1\right)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\) Vậy phần thực là 1/2
Phần ảo của số \(z+\overline{z}\) là 0 1 Không xác định 2a Hướng dẫn giải: \(z=a+bi\) ; \(\overline{z}=a-bi\) (với \(a,b\in\mathbb{R}\)) => \(z+\overline{z}=\left(a+bi\right)+\left(a-bi\right)=\left(a+a\right)+\left(b-b\right)i=2a\) => Phần ảo của \(z+\overline{z}\) bằng 0, phần thực bằng 2a
Thực hiện phép tính: \(\frac{2+3i}{3-2i}\). \(\frac{13i}{5}\) \(\frac{12+13i}{5}\) \(i\) \(\frac{12+13i}{13}\) Hướng dẫn giải: \(\frac{2+3i}{3-2i}=\frac{\left(2+3i\right)\left(3+2i\right)}{\left(3-2i\right)\left(3+2i\right)}=\frac{13i}{13}=i.\)
Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \(z^2\) là số ảo ? Hai đường thẳng x - y = 0 và x + y = 0 Hai đường thẳng \(y=\sqrt{2}x\) và \(y=-\sqrt{2}x\) Đường tròn \(x^2+y^2=1\) Tất cả các số có dạng \(k.i\) Hướng dẫn giải: Đặt z = x + yi. Ta có: \(z^2=x^2-y^2+2xyi.\) \(z^2\) là số ảo khi \(x^2-y^2=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x+y=0\\x-y=0\end{array}\right.\) Vậy tập hợp điểm M là hai đường thẳng x + y = 0 và x - y =0.
Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp số phức z thỏa mãn: \(2\left|z-i\right|=\left|z-\overline{z}+2i\right|\) Parabol \(y=\frac{x^2}{4}\) Đường thẳng \(y=\frac{x}{4}\) Đường tròn \(\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=4\) Parabol \(y=4x^2+4x+2\) Hướng dẫn giải: Đặt z = x + yi . Từ giả thiết đề bài ta có: \(2\left|x+\left(y-1\right)i\right|=\left|x+yi-\left(x-yi\right)+2i\right|\) \(\Leftrightarrow2\left|x+\left(y-1\right)i\right|=\left|2\left(y+1\right)i\right|\) \(\Leftrightarrow\left|x+\left(y-1\right)i\right|=\left|\left(y+1\right)i\right|\) \(\Leftrightarrow x^2+\left(y-1\right)^2=\left(y+1\right)^2\) \(\Leftrightarrow y=\frac{x^2}{4}.\) Vậy tập hợp số phức z là parabol \(\Leftrightarrow y=\frac{x^2}{4}.\)
Tính \(\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{10}+2\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^3\) \(-1-2i\) \(1+2i\) \(1-2i\) \(-1+2i\) Hướng dẫn giải: \(\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{10}+2\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^3=\left[\frac{\left(1+i\right)^2}{\left(1-i\right)\left(1+i\right)}\right]^{10}+2\left[\frac{\left(1+i\right)^2}{\left(1-i\right)\left(1+i\right)}\right]^3\) \(=\left[\frac{1+2i+i^2}{2}\right]^{10}+2\left[\frac{1+2i+i^2}{2}\right]^3\) \(=\left(\frac{2i}{2}\right)^{10}+2\left(\frac{2i}{2}\right)^3\) \(=i^{10}+2i^3\) \(=-1-2i.\)
