Tìm điều kiện của a, b để \(\frac{a+bi}{b-ai}\) (với \(a^2+b^2\ne0\)) là số thực ? \(\begin{cases}a=0\\b\ne0\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}a\ne0\\b=0\end{cases}\) \(a=0\) hoặc b = 0 Không có giá trị a, b thỏa mãn Mọi a, b thỏa mãn \(a^2+b^2\ne0\) Hướng dẫn giải: \(\frac{a+bi}{b-ai}=\frac{\left(a+bi\right)\left(b+ai\right)}{\left(b-ai\right)\left(b+ai\right)}=\frac{ab+i\left(a^2+b^2\right)-ab}{a^2+b^2}=\frac{i\left(a^2+b^2\right)}{a^2+b^2}=i.\left(a^2+b^2\ne0\right)\)
Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp số phức thỏa mãn: \(\left|z^2-\left(\overline{z}\right)^2\right|=4.\) Hai hypebol \(y=\frac{1}{x}\) và \(y=-\frac{1}{x}\). Hai Parabol \(y=x\) và y = x. Đường tròn \(x^2+y^2=1.\) Đường thẳng \(y=x+1.\) Hướng dẫn giải: Đặt \(z=x+yi\), theo yêu cầu của bài ta có: \(\left|\left(x+yi\right)^2-\left(x-yi\right)^2\right|=4\) \(\Leftrightarrow\left|4xyi\right|=4\) \(\Leftrightarrow\left|xyi\right|=1\) \(\Leftrightarrow\left|xy\right|=1\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}y=\frac{1}{x}\\y=-\frac{1}{x}\end{array}\right.\)
Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp số phức z thỏa mãn: \(\left|\frac{z+i}{z-i}\right|=\sqrt{5}\) Đường tròn tâm \(I\left(0;\frac{3}{2}\right)\), bán kính \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) Đường tròn tâm \(I\left(0;\frac{-3}{2}\right)\), bán kính 2 Parabol \(y=x^2-\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}\) Đường thẳng \(y=\frac{-3}{2}x+\frac{5}{2}\) Hướng dẫn giải: Đặt z = x + yi. Theo đề bài ta có: \(\left|\frac{x+\left(y+1\right)i}{x+\left(y-1\right)i}\right|=\sqrt{5}\) \(\Leftrightarrow x^2+\left(y+1\right)^2=5x^2+5\left(y-1\right)^2\) (chú ý: mô đun của một thương bằng thương của hai mô đun, xem trong phần lý thuyết) \(\Leftrightarrow x^2+y^2-3y+1=0\) \(\Leftrightarrow x^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{5}{4}\) => M(x;y) nằm trên đường tròn tâm \(\left(0;\frac{3}{2}\right)\) bán kính \(\frac{\sqrt{5}}{2}\).
Tìm tập hợp số phức z thỏa mãn: \(\left|\frac{z+3i}{z+4i}\right|=1\) Đường thẳng \(y=\frac{-7}{2}\) Đường thẳng \(y=\frac{7}{2}\) Đường thẳng \(y=\frac{-7}{2}x\) Đường thẳng \(y=\frac{7}{2}x\) Hướng dẫn giải: Đặt z = x + yi. Theo bài ra ta có: \(\left|\frac{x+\left(y+3\right)i}{x+\left(y+4\right)i}\right|=1\) \(\Leftrightarrow\frac{\left|x+\left(y+3\right)i\right|}{\left|x+\left(y+4\right)i\right|}=1\) (Mô đun của một thương hai số phức bằng thương của hai mô đun) \(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+\left(y+3\right)^2}=\sqrt{x^2+\left(y+4\right)^2}\) \(\Leftrightarrow x^2+\left(y+3\right)^2=x^2+\left(y+4\right)^2\) \(\Leftrightarrow y=-\frac{7}{2}\) Vậy tập hợp số phức z là đường thẳng \(y=-\frac{7}{2}\)
Kết quả của biểu thức sau: \(\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{33}+\left(1-i\right)^{10}+\left(2+3i\right)\left(2-3i\right)+\frac{1}{i}\) bằng: \(15-34i\) \(10+20i\) \(14-36i\) \(13-32i\) Hướng dẫn giải: Ta chú ý: \(\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{33}=\left[\frac{\left(1+i\right)\left(1+i\right)}{\left(1-i\right)\left(1+i\right)}\right]^{33}=\left[\frac{1+2i+i^2}{1-i^2}\right]^{33}=\left[\frac{2i}{2}\right]^{33}=i^{33}=\left(i^2\right)^{16}.i=i\) \(\left(1-i\right)^{10}=\left[\left(1-i\right)^2\right]^5=\left[1-2i+i^2\right]^5=\left(-2i\right)^5=-32.\left(i^2\right)^2.i=-32i\) \(\left(2+3i\right)\left(2-3i\right)=4-9i^2=4+9=13\) \(\frac{1}{i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i\) Thay vào biểu thức đã cho ta có biểu thức cần tính bằng: \(i-32i+13-i=13-32i\)
Trong mặt phẳng phức , cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức \(z_1,z_2,z_3\) . Hỏi trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào ? \(\frac{z_1+z_2+z_3}{3}\) \(z_1.z_2.z_3\) \(z_1+z_2+z_3\) \(z_1:z_2:z_3\) Hướng dẫn giải: Gọi \(\overrightarrow{u_1,}\overrightarrow{u_2},\overrightarrow{u_3}\) lần lượt biểu diễn các số phức \(z_1,z_2,z_3\). Áp dụng tính chất : \(3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\) ta có véc tơ biểu diễn trọng tâm G của tam giác ABC là: \(\frac{\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2}+\overrightarrow{u_3}}{3}\). Từ đó suy ra trọng tâm G của tam giác ABC biểu diễn số phức \(\frac{z_1+z_2+z_3}{3}.\)
Chọn câu đúng : Trong tập hợp số phức, mọi số đều so sánh được. Tích của hai số ảo luôn là một số ảo. Trong tập hợp số phức , mọi phương trình đều có nghiệm. Tổng của hai số ảo luôn là một số ảo.
Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: \(3+2i+\frac{2-3i}{1+i}-\left(\overline{2+3i}\right)\) Phần thực là \(\frac{1}{2}\) , phần ảo là \(\frac{5}{2}.\) Phần thực là \(\frac{1}{2}\), phần ảo là \(\frac{-5}{2}.\) Phần thực là \(3\), phần ảo là 1. Phần thực là -1, phần ảo là 1. Hướng dẫn giải: \(3+2i+\frac{2-3i}{1+i}-\overline{2+3i}=3+2i+\frac{\left(2-3i\right)\left(1-i\right)}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)}-\left(2-3i\right)\) \(=3+2i+\frac{-1-5i}{2}-2+3i\) \(=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i.\)
Tìm nghiệm phức của phương trình sau: \(\frac{2+i}{1-i}.z=\frac{-1+3i}{2+i}\) \(\frac{22}{25}-\frac{4}{25}i\) \(\frac{22}{25}+\frac{4}{25}i\) \(\frac{21}{25}+\frac{4}{25}i\) \(\frac{21}{25}+\frac{4}{25}i\) Hướng dẫn giải: \(\frac{2+i}{1-i}.z=\frac{-1+3i}{2+i}\) \(\Leftrightarrow z=\frac{-1+3i}{2+i}:\frac{2+i}{1-i}\) \(\Leftrightarrow z=\frac{\left(-1+3i\right)\left(1-i\right)}{\left(2+i\right)^2}\) \(\Leftrightarrow z=\frac{2+4i}{3+4i}\) \(\Leftrightarrow z=\frac{\left(2+4i\right)\left(3-4i\right)}{\left(3+4i\right)\left(3-4i\right)}=\frac{22}{25}+\frac{4}{25}i.\)
Cho số phức \(z=2+2i\), \(z'=3+i\). Tính và biểu diễn hình học số phức \(w=\frac{z}{z'}\) \(w=\frac{4+2i}{5}\) , điểm biểu diễn số phức w là \(D\left(\frac{4}{5},\frac{2}{5}\right)\) \(w=\frac{3+4i}{5}\). điểm biểu diễn số phức w là: \(D\left(\frac{3}{5};\frac{2}{5}\right)\) \(w=1+\frac{3}{4}i\), điểmbiểu diễn số phức w là: \(D\left(1;\frac{3}{4}\right)\) \(w=\frac{2+4i}{5}\), điểm biểu diễn số phức w là: \(D\left(\frac{2}{5};\frac{4}{5}\right)\) Hướng dẫn giải: \(w=\frac{2+2i}{3+i}=\frac{\left(2+2i\right)\left(3-i\right)}{\left(3+i\right)\left(3-i\right)}=\frac{6+4i+2}{10}=\frac{8+4i}{10}=\frac{4+2i}{5}\) Điểm biểu diễn số phức w là: \(D\left(\frac{4}{5},\frac{2}{5}\right)\)
