Khẳng định nào sai? Mọi số phức z, \(z+\overline{z}\) luôn là số thực \(\sqrt{15}i>\sqrt{3}i\) Mọi số phức z, \(z-\overline{z}\) luôn là số thuần ảo Mọi số phức z, \(z.\overline{z}\) luôn là số thực không âm Hướng dẫn giải: Trong tập số phức không có quan hệ thứ tự.
Khẳng định nào sai ? \(\left(2-3i\right)+\left(5+i\right)=7-2i\) \(\left(3-4i\right)-\left(1-6i\right)=2\left(1+i\right)\) \(\left(4-3i\right)\left(2+5i\right)=23+14i\) \(\left(2-\sqrt{3}i\right)\left(\overline{1+i}+\sqrt{3}i\right)=5-\sqrt{3}+\left(2+\sqrt{3}\right)i\) Hướng dẫn giải: Ta có: \(\left(2-3i\right)+\left(5+i\right)=\left(2+5\right)+\left(-3+1\right)i=7-2i\) \(\left(3-4i\right)-\left(1-6i\right)=\left(3-1\right)+\left(-4+6\right)i=2+2i=2\left(1+i\right)\) \(\left(4-3i\right)\left(2+5i\right)=8-15i^2-6i+20i=23+14i\) ( chú ý \(i^2=-1\)) \(\left(2-\sqrt{3}i\right)\left(\overline{1+i}+\sqrt{3}i\right)=\left(2-\sqrt{2}i\right)\left(1-i+\sqrt{3}i\right)=\left(2-\sqrt{2}i\right)\left[1+\left(\sqrt{3}-1\right)i\right]\) \(=2-\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-1\right)i^2+\left(2\sqrt{3}-2-\sqrt{2}\right)i\) \(=2+\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-1\right)+\left(2\sqrt{3}-2-\sqrt{2}\right)i\) \(\ne5-\sqrt{3}+\left(2+\sqrt{3}\right)i\)
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện \(z^2\) có điểm biểu diễn nằm trên trục tung. Trục tung Trục hoành Đường phân giác góc phần tư (I) và góc phần tư (III) Đường phân giác góc phần tư (I), (III) và đường phân giác góc phần tư (II), (IV) Hướng dẫn giải: Giả sử z = x + yi => \(z^2=x^2+2xyi+y^2i=\left(x^2-y^2\right)+2xyi\) Để \(z^2\) nằm trên trục tung thì phần thực của \(z^2\) bằng 0, hay là: \(x^2-y^2=0\) \(\Leftrightarrow y=x\) hoặc \(y=-x\) \(\Leftrightarrow\) z nằm trên đường phân giác góc phần tư (I), (III) và đường phân giác góc phần tư (II), (IV)
Tính \(\left(12-\sqrt{3}i\right)\left(\overline{4+i}+\sqrt{3}i\right)\) . \(31-\sqrt{3}+\left(-12+8\sqrt{3}\right)i\) \(51-\sqrt{3}+\left(-12+8\sqrt{3}\right)i\) \(51-\sqrt{3}+\left(12+8\sqrt{3}\right)i\) \(51+\sqrt{3}+\left(-12+8\sqrt{3}\right)i\) Hướng dẫn giải: \(\left(12-\sqrt{3}i\right)\left(\overline{4+i}+\sqrt{3}i\right)\) \(=\left(12-\sqrt{3}i\right)\left(4-i+\sqrt{3}i\right)\) \(=\left(12-\sqrt{3}i\right)\left[4+\left(\sqrt{3}-1\right)i\right]\) \(=48+12\left(\sqrt{3}-1\right)i-4\sqrt{3}i-\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right)i^2\) \(=48+\left[12\left(\sqrt{3}-1\right)-4\sqrt{3}\right]i-\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right)\left(-1\right)\) \(=48+\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right)+\left[12\left(\sqrt{3}-1\right)-4\sqrt{3}\right]i\) \(=51-\sqrt{3}+\left(-12+8\sqrt{3}\right)i\)
Tính mô đun của số phức: \(z=\left(1-i\right)^2\left(3+2i\right)+\left|\cos\gamma+i\sin\gamma\right|\) \(\sqrt{51}\) \(\sqrt{61}\) \(-\sqrt{2}\) \(\pi\) Hướng dẫn giải: \(z=\left(1-i\right)^2\left(3+2i\right)+\left|\cos\gamma+i\sin\gamma\right|\) \(=\left(1-2i+i^2\right)\left(3+2i\right)+\sqrt{\cos^2\gamma+\sin^2\gamma}\) \(=\left(1-2i-1\right)\left(3+2i\right)+1\) \(=-2i\left(3+2i\right)+1\) \(=-6i-4i^2+1\) \(=-6i-4.\left(-1\right)+1\) \(=5-6i\) \(\Rightarrow\left|z\right|=\sqrt{\left(3\right)^2+\left(-6\right)^2}=\sqrt{61}\)
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện: \(\left|z.\overline{z}+z\right|=2,\left|z\right|=2\) 1 2 3 4 Hướng dẫn giải: Giả sử z = x + yi, ta có: \(\left|z.\overline{z}+z\right|=2\) \(\Leftrightarrow\left|\left(x+yi\right).\left(x-yi\right)+x+yi\right|=2\) \(\Leftrightarrow\left|x^2-y^2i^2+x+yi\right|=2\) \(\Leftrightarrow\left|x^2-y^2.\left(-1\right)+x+yi\right|=2\) \(\Leftrightarrow\left|x^2+y^2+x+yi\right|=2\) \(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+x\right)^2+y^2=4\) Thêm nữa, từ \(\left|z\right|=2\) suy ra \(\left|x+yi\right|=2\) \(\Leftrightarrow x^2+y^2=4\) Vậy điều kiện của đề bài là: \(\begin{cases}\left(x^2+y^2+x\right)^2+y^2=4\\x^2+y^2=4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(4+x\right)^2+y^2=4\\x^2+y^2=4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}16+8x+x^2+y^2=4\\x^2+y^2=4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}16+8x+4=4\\x^2+y^2=4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=-2\\x^2+y^2=4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=-2\\y=0\end{cases}\) Vậy chỉ có 1 số phức z = -2 thỏa mãn điều kiện đầu bài
Tính phần thực của số phức z biết: \(\overline{z}=\left(\sqrt{3}+i\right)^2\left(1-\sqrt{3}i\right)\) 8 4 2 1 Hướng dẫn giải: \(\overline{z}=\left(\sqrt{3}+i\right)^2\left(1-\sqrt{3}i\right)\) \(=\left(3+2\sqrt{3}i+i^2\right)\left(1-\sqrt{3}i\right)\) \(=\left(3+2\sqrt{3}i-1\right)\left(1-\sqrt{3}i\right)\) \(=\left(2+2\sqrt{3}i\right)\left(1-\sqrt{3}i\right)\) \(=2\left(1+\sqrt{3}i\right)\left(1-\sqrt{3}i\right)\) \(=2\left(1^2-3i^2\right)\) \(=2\left[1-3.\left(-1\right)\right]\) \(=8\) => \(z=8\)
Tính biểu thức sau: \(\left(2-\sqrt{3}i\right)\left(1+2\sqrt{3}i\right)-\left(2+\sqrt{5}i\right)\left|3-4i\right|\) . \(-2+\left(-5\sqrt{5}+3\sqrt{3}\right)i\) \(-2+\sqrt{3}+\left(-5\sqrt{5}+3\sqrt{3}\right)i\) \(-12+\left(-5\sqrt{5}+3\sqrt{3}\right)i\) \(\left(-5\sqrt{5}+3\sqrt{3}\right)i\) Hướng dẫn giải: \(\left(2-\sqrt{3}i\right)\left(1+2\sqrt{3}i\right)-\left(2+\sqrt{5}i\right)\left|3-4i\right|\) \(=\left[2+4\sqrt{3}i-\sqrt{3}i-2.3.i^2\right]-\left(2+\sqrt{5}i\right).5\) \(=\left[\left(2-6i^2\right)+\left(4\sqrt{3}-\sqrt{3}\right)i\right]-10-5\sqrt{5}i\) \(=\left[8+3\sqrt{3}i\right]-10-5\sqrt{5}i\) \(=-2+\left(-5\sqrt{5}+3\sqrt{3}\right)i\)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy M là điểm biểu diễn số phức \(z=\left(2-i\right)\left(-1+i\right)\) và gọi \(\phi\) là góc tạo bởi chiều dương trục hoành với vectơ \(\overrightarrow{OM}\). Tính \(\sin\left(2\phi\right)\). \(0.8\) \(0.6\) \(-0.8\) \(-0.6\) Hướng dẫn giải: \(z=\left(2-i\right)\left(-1+i\right)\) \(=-2+2i+i-i^2\) \(=\left(-2-i^2\right)+3i\) \(=-1+3i\) (chú ý \(i^2=-1\)) => M(-1 ; 3) => \(\begin{cases}\sin\phi=\frac{3}{\sqrt{\left(-1\right)^2+3^2}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\\\cos\phi=\frac{-1}{\sqrt{\left(-1\right)^2+3^2}}=\frac{-1}{\sqrt{10}}\end{cases}\) => \(\sin\left(2\phi\right)=2\sin\phi.\cos\phi=2.\frac{3}{\sqrt{10}}.\frac{-1}{\sqrt{10}}=-0,6\)
Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: \(\left|z-i+2\right|=2\) . Đường thẳng \(2x-3y+1=0\) Đường tròn \(\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=4\) Đường thẳng \(y=x\) Đường tròn \(x^2+\left(y-2\right)^2=2\) Hướng dẫn giải: Gọi \(z=x+yi\), khi đó: \(\left|z-i+2\right|=2\) \(\Leftrightarrow\left|x+yi-i+2\right|=2\) \(\Leftrightarrow\left|x+2+\left(y-1\right)i\right|=2\) \(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2}=2\) \(\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2=4\) Vậy M(x; y) biểu diễn số z nằm trên đường tròn \(\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2=4\).
