Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: \(3\left|z+1-i\right|=\left|4i-3-3\overline{z}\right|\) . Đường thẳng \(6y+1=0\) Đường thẳng \(6x+7=0\) Đường thẳng \(3x+4y+5=0\) Đường thẳng \(3x-4y-5=0\) Hướng dẫn giải: Gọi z = x + yi, ta có: \(3\left|z+1-i\right|=\left|4i-3-3\overline{z}\right|\) \(\Leftrightarrow3\left|x+yi+1-i\right|=\left|4i-3-3\left(x-yi\right)\right|\) \(\Leftrightarrow3\left|\left(x+1\right)+\left(y-1\right)i\right|=\left|\left(-3-3x\right)+\left(3y+4\right)i\right|\) \(\Leftrightarrow3\sqrt{\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2}=\sqrt{\left(-3-3x\right)^2+\left(3y+4\right)^2}\) \(\Leftrightarrow9\left[\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2\right]=\left(-3-3x\right)^2+\left(3y+4\right)^2\) \(\Leftrightarrow6y+1=0\)
Tìm tập các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: số phức \(w=z\left(1+i\right)+\left(2-i\right)\) là số thuần ảo. Đường tròn \(x^2+y^2=2\) Đường thẳng \(y=x+2\) Đường thẳng \(y=x\) Đường parabol \(2x=y^2\) Hướng dẫn giải: Đặt z = x + yi (với x và y là các số thực), khi đó: \(w=z\left(1+i\right)+\left(2-i\right)\) \(=\left(x+yi\right)\left(1+i\right)+\left(2-i\right)\) \(=x+xi+yi+yi^2+2-i\) \(=x-y+2+\left(x+y-1\right)i\) Để \(w\) là số thuần ảo thì phần thực \(x-y+2=0\) \(\Leftrightarrow y=x+2\)
Tìm giá trị lớn nhất của |z| biết rằng z thỏa mãn điều kiện: \(\left|\frac{-2-3i}{3-2i}z+1\right|=1\) \(1\) \(2\) \(\sqrt{2}\) \(3\) Hướng dẫn giải: \(\left|\frac{-2-3i}{3-2i}z+1\right|=1\) \(\Leftrightarrow\left|\frac{\left(-2-3i\right)\left(3+2i\right)}{\left(3-2i\right)\left(3+2i\right)}z+1\right|=1\) \(\Leftrightarrow\left|\frac{-6-4i-9i-6i^2}{9-4i^2}z+1\right|=1\) \(\Leftrightarrow\left|\frac{-13i}{13}z+1\right|=1\) \(\Leftrightarrow\left|-iz+1\right|=1\) Gọi z = x + yi => \(\left|-i\left(x+yi\right)+1\right|=1\) \(\Leftrightarrow\left|-xi-yi^2+1\right|=1\) \(\Leftrightarrow\left|y+1-xi\right|=1\) \(\Leftrightarrow\left(y+1\right)^2+\left(-x\right)^2=1\) \(\Leftrightarrow\left(y+1\right)^2+x^2=1\) => M(x; y) nằm trên đường tròn tâm (-1; 0) bán kính 1. Ta chọn M trên đường tròn này sao cho OM là lớn nhất (chú ý \(\left|z\right|=OM\)). OM lớn nhất bằng 2.
Tìm số phức liên hợp của số phức \(z=i\left(3i+1\right)\) ? \(\overline{z}=3-i\) \(\overline{z}=-3+i\) \(\overline{z}=3+i\) \(\overline{z}=-3-i\) Hướng dẫn giải: \(z=i\left(3i+1\right)=3i^2+i=3.\left(-1\right)+i=-3+i\) \(\Rightarrow\overline{z}=-3-i\)
Tính môđun của số phức \(z\) thỏa mãn \(z\left(2-i\right)+13i=1\) . \(\left|z\right|=\sqrt{34}\) \(\left|z\right|=34\) \(\left|z\right|=\frac{5\sqrt{34}}{3}\) \(\left|z\right|=\frac{\sqrt{34}}{3}\) Hướng dẫn giải: \(z\left(2-i\right)+13i=1\) \(\Leftrightarrow z=\frac{1-13i}{2-i}=\frac{\left(1-13i\right)\left(2+i\right)}{\left(2-i\right)\left(2+i\right)}=\frac{2-13i^2-25i}{4-i^2}\) \(=\frac{15-25i}{4+1}=3-5i\) \(\Rightarrow\left|z\right|=\sqrt{3^2+\left(-5\right)^2}=\sqrt{34}\)
Cho số phức \(z=a+bi,\left(a,b\in\mathbb{R}\right)\) thỏa mãn \(\left(1+i\right)z+2\overline{z}=3+2i\). Tính \(P=a+b\). \(P=\frac{1}{2}\) \(P=1\) \(P=-1\) \(P=-\frac{1}{2}\) Hướng dẫn giải: \(\left(1+i\right)z+2\overline{z}=3+2i\) \(\Leftrightarrow\left(1+i\right)\left(a+bi\right)+2\left(a-bi\right)=3+2i\) \(\Leftrightarrow a-b+\left(a+b\right)i+2a-2bi=3+2i\) \(\Leftrightarrow3a-b+\left(a-b\right)i=3+2i\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}3a-b=3\\a-b=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}a=\frac{1}{2}\\b=-\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\) Vậy \(a+b=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-1\)
Cho hai số phức \(z_1=3-\sqrt{2}i;z_2=\sqrt{2}+3i\). Tìm phần thực của số phức liên hợp: \(v=z_1\overline{z_2}+\overline{z_1}z_2+z_1z_2\). \(6\sqrt{2}\) 7 6 \(\sqrt{2}\) Hướng dẫn giải: Sử dụng định nghĩa số phức liên hợp và từ giả thiết ta có: \(\overline{z_1}=3+\sqrt{2}i;\overline{z_2}=\sqrt{2}-3i\). Áp dụng quy tắc cộng và nhân số phức ta có: \(z_1\overline{z_2}=\left(3\sqrt{2}-3\sqrt{2}\right)+\left(-9-2\right)i=-11i\) \(\overline{z_1}z_2=\left(3\sqrt{2}-3\sqrt{2}\right)+\left(9+2\right)i=11i\) Và \(z_1z_2=\left(3\sqrt{2}+3\sqrt{2}\right)+\left(9-2\right)i=6\sqrt{2}+7i\) Từ đó ta có: \(v=6\sqrt{2}+7i\). Phần thực của v là \(6\sqrt{2}\).
Cho số phức z thỏa mãn: \(2+\left(2+i\right)z=\left(3-2i\right)\overline{z}+i\). Tìm tọa độ của điểm biểu diễn số phức liên hợp với z. \(M\left(\dfrac{11}{8};-\dfrac{5}{8}\right)\) \(M\left(\dfrac{11}{8};\dfrac{5}{8}\right)\) \(M\left(-\dfrac{11}{8};\dfrac{5}{8}\right)\) \(M\left(-\dfrac{11}{8};-\dfrac{5}{8}\right)\) Đáp án khác Hướng dẫn giải: Đặt \(z=x+yi\)\(\left(x;y\in R\right)\). Điều kiện đã cho trở thành: \(2+\left(2+i\right)\left(x+yi\right)=\left(3-2i\right)\left(x-yi\right)+i\) Hay \(\left(2+2x-y\right)+\left(2y+x\right)i=\left(3x-2y\right)+\left(-2x-3y+1\right)i\) Từ đó: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=2\\3x+5y=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{11}{8}\\y=-\dfrac{5}{8}\end{matrix}\right.\) Vậy \(z=\dfrac{11}{8}-\dfrac{5}{8}i\) và \(\overline{z}=\dfrac{11}{8}+\dfrac{5}{8}i\). Điểm biểu diễn \(\overline{z}\) là \(M\left(\dfrac{11}{8};\dfrac{5}{8}\right)\)
Tìm tất cả cặp số thực \(\left(x;y\right)\) thỏa mãn: \(\left(3x+yi\right)=2y+1+\left(2-x\right)i\) \(\left(1;1\right)\) \(\left(1;1\right)\); \(\left(0;-1\right)\) \(\left(1;0\right);\left(-1;-1\right)\) \(\left(-1;-1\right)\) Hướng dẫn giải: Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau và \(\left(3x+yi\right)=2y+1+\left(2-x\right)i\) ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}3x=2y+1\\y=2-x\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)
Tìm tất cả cặp số thực \(\left(x;y\right)\) thỏa mãn: \(\left(3x+yi\right)=2y+1+\left(2-x\right)i\) \(\left(1;1\right)\) \(\left(1;1\right)\); \(\left(0;-1\right)\) \(\left(1;0\right);\left(-1;-1\right)\) \(\left(-1;-1\right)\) Hướng dẫn giải: Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau và \(\left(3x+yi\right)=2y+1+\left(2-x\right)i\) ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}3x=2y+1\\y=2-x\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)
