Kí hiệu $z_1$, $z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình z2+4=0. Gọi M, N lần lượt là các điểm biểu diễn của $z_1$, $z_2$ trên mặt phẳng tọa độ. Tính $T=OM+ON$ với O là gốc tọa độ. \(T=2\sqrt{2}\) \(T=8\) \(T=2\) \(T=4\) Hướng dẫn giải: Phương trình \(z^2+4=0\) có hai nghiệm thuần ảo là \(z_1=-2i;z_2=2i\). Các điểm biểu diễn của hai nghiệm này là M(0;2) và N(0;-2). Do đó \(T=OM+ON=2+2=4\)
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn điều kiện \(z.\overline{z}=1\) và \(\left|z-\sqrt{3}+i\right|=m\). Tìm số phần tử của S. 4 1 2 3 Hướng dẫn giải: Đặt \(z=x+yi,\left(x,y\in\mathbb{R}\right)\). Các điều kiện về z trở thành \(\left\{{}\begin{matrix}z.\overline{z}=1\\\left|z-\sqrt{3}+i\right|=m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=1\\\left(x-\sqrt{3}\right)^2+\left(y+1\right)^2=m^2\end{matrix}\right.\). Như vậy S là tập hợp các giá trị của tham số m để hai đường tròn (C): \(x^2+y^2=1\) và (C'): \(\left(x-\sqrt{3}\right)^2+\left(y+1\right)^2=m^2\) có một điểm chung duy nhất. Đường tròn (C) có tâm O(0;0) bán kính R=1, đường tròn (C') có tâm I'\(\left(\sqrt{3};-1\right)\), bán kính \(R'=m\) (do \(m=\left|z-\sqrt{3}+i\right|\) suy ra \(m\ge0\)) . Chú ý rằng \(OI'=\sqrt{3+1}=2>R\) nên điểm I' nằm ngoài đường tròn (C), do đó (C) và (C') sẽ có điểm chung duy nhất chỉ trong trường hợp (C), (C') tiếp xúc ngoài hoặc tiếp xúc trong với nhau tức là: + (C) và (C') tiếp xúc ngoài nhau: \(R'+R=OI'\Leftrightarrow m+1=2\Leftrightarrow m=1\). + (C) và (C') tiếp xúc trong: \(R'-R=OI'\) (chú ý rằng OI'=2 > R nên không xảy ra \(R-R'=OI'\)) \(\Leftrightarrow m-1=2\Leftrightarrow m=3\). Vậy \(S=\left\{1;3\right\}\). Số phần tử của S là 2.
Cho số phức \(z=a+bi\left(a,b\in\mathbb{R}\right)\) thỏa mãn \(z+2+i-\left|z\right|\left(1+i\right)=0\) và \(\left|z\right|>1\). Tính \(P=a+b\) \(P=-1.\) \(P=-5.\) \(P=3.\) \(P=7.\) Hướng dẫn giải: Cách 1 (tự luận): \(z+2+i-\left|z\right|\left(1+i\right)=0\) \(\Leftrightarrow a+bi+2+i-\sqrt{a^2+b^2}\left(1+i\right)=0\) \(\Leftrightarrow a+bi+2+i-\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{a^2+b^2}i=0\) \(\Leftrightarrow\left(a+2-\sqrt{a^2+b^2}\right)+\left(b+1-\sqrt{a^2+b^2}\right)i=0\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+2-\sqrt{a^2+b^2}=0\\b+1-\sqrt{a^2+b^2}=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b-1\\b+1-\sqrt{\left(b-1\right)^2+b^2}=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b-1\\b+1=\sqrt{2b^2-2b+1}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=0;a=-1\\b=4;a=3\end{matrix}\right.\) Do \(\left|z\right|>1\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}>1\Rightarrow a=1;b=3\) Vậy P = a + b = 7. Cách 2 (casio): Với các kí hiệu như trên, cần giải hệ \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b-1\\b+1-\sqrt{\left(b-1\right)^2+b^2}=0\end{matrix}\right.\) Dử dụng lệnh CALC trong MODE COMP ta tìm nghiệm của phương trình: nhấn các phím Q)+1ps(Q)p1)d+Q)dqr2= ta được nghiệm \(b=4\) suy ra \(a=3\)(thỏa mãn điều kiện \(\sqrt{a^2+b^2}>1\)). Suy ra \(P=a+b=7\).
Xét các số phức \(z=a+bi\left(a,b\in\mathbb{R}\right)\) thỏa mãn \(\left|z-4-3i\right|=\sqrt{5}\) . Tính \(P=a+b\) khi \(\left|z+1-3i\right|+\left|z-1+i\right|\) đạt giá trị lớn nhất. P = 10 P = 4 P = 6 P = 8 Hướng dẫn giải: Cách 1 (tự luận): +) \(\left|z-4-3i\right|=\sqrt{5}\) \(\Leftrightarrow\left|a+bi-4-3i\right|=\sqrt{5}\) \(\Leftrightarrow\left|a-4+\left(b-3\right)i\right|=\sqrt{5}\) \(\Rightarrow\sqrt{\left(a-4\right)^2+\left(b-3\right)^2}=\sqrt{5}\Rightarrow\left(a-4\right)^2+\left(b-3\right)^2=5\Rightarrow a^2+b^2=8a+6b-20\) +) Đặt T = \(\left|z+1-3i\right|+\left|z-1+i\right|=\left|\left(a+1\right)+\left(b-3\right)i\right|+\left|\left(a-1\right)+\left(b+1\right)i\right|\) \(=\sqrt{\left(a+1\right)^2+\left(b-3\right)^2}+\sqrt{\left(a-1\right)^2+\left(b+1\right)^2}\) \(\Rightarrow T^2\le\left(a+1\right)^2+\left(b-3\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b+1\right)^2\) \(\le2\left[2\left(a^2+b^2\right)-4b+12\right]\) \(=2\left[2\left(8a+6b-20\right)-4b+12\right]\) \(=8\left(4a+2b+7\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{T^2}{8}\le4a+2b+7\Rightarrow\dfrac{T^2}{8}-7\le4a+2b\) Ta có \(4a+2b=4\left(a-4\right)+2\left(b-3\right)+22\) \(\Rightarrow4a+2b-22=4\left(a-4\right)+2\left(b-3\right)\le\sqrt{\left(4^2+2^2\right)\left[\left(a-4\right)^2+\left(b-3\right)^2\right]}\) \(\Rightarrow4a+2b-22\le10\Rightarrow4a+2b\le32\Rightarrow\dfrac{T^2}{8}\le25\Rightarrow T\le10\sqrt{2}\) \(T_{max}=10\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+2b=32\\2a-4b=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=6\\b=4\end{matrix}\right.\) Vậy \(P=a+b=10.\) Cách 2 (casio): Đặt \(z=a+bi\left(a,b\in\mathbb{R}\right)\). Điều kiện mà z phải thỏa mãn là \(\left|z-4-3i\right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow\left|\left(a-4\right)+\left(b-3\right)i\right|=\sqrt{5}\) hay \(\left(a-4\right)^2+\left(b-3\right)^2=5\Leftrightarrow b=3\pm\sqrt{5-\left(a-4\right)^2}\) - Với \(b=3+\sqrt{5-\left(a-4\right)^2}\) thì điều kiện xác định là \(4-\sqrt{5}\le a\le4+\sqrt{5}\). Mặt khác, biểu thức cần đạt giá trị lớn nhất là \(\left|z+1-3i\right|+\left|z-1+i\right|=\left|\left(a+1\right)+\left(b-3\right)i\right|+\left|\left(a-1\right)+\left(b+1\right)i\right|\) \(=\sqrt{\left(a+1\right)^2+\left(b-3\right)^2}+\sqrt{\left(a-1\right)^2+\left(b+1\right)^2}\) \(=\sqrt{\left(a+1\right)^2+5-\left(a-4\right)^2}+\sqrt{\left(a-1\right)^2+\left(4+\sqrt{5-\left(a-4\right)^2}\right)^2}\) Trong MODE TABLE lập bảng giá trị của biểu thức trên (biến X thay cho a), Start = \(4-\sqrt{5}\), End = \(4+\sqrt{5}\), Step = ết quả ta trhaays giá trị tại \(X=6,0006\) lớn nhất. Để chính xác hơn, ta lại lập bảng giá trị biểu thức trên với đoạn thu hẹp hơn: Start = 5,5; End = 6,5 ; Step =0,1 ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất khi \(X=6\), tức là cần lấy \(a=6\Rightarrow b=3+\sqrt{5-\left(6-4\right)^2}=4\), khi đó \(P=a+b=10.\) Đáp số đúng: \(P=10\).
