Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 1: a) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $abc=1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2}\le \frac{3}{4}$. b) Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x+y+z=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=\frac{x}{x+\sqrt{x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{z+xy}}$. Lời giải: a) Áp dụng bất đẳng thức $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}$ với mọi $x,y>0$, dấu “=” xảy ra khi $x=y$. Ta có $\frac{1}{ab+a+2}=\frac{1}{\left( ab+1 \right)+\left( a+1 \right)}\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{ab+1}+\frac{1}{a+1} \right)$ (1) Ta lại có $\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{a+1}=\frac{abc}{ab+abc}+\frac{1}{a+1}=\frac{c}{c+1}+\frac{1}{a+1}$ (vì $abc=1$) (2) Từ (1) và (2) suy ra $\frac{1}{ab+a+2}\le \frac{1}{4}\left( \frac{c}{c+1}+\frac{1}{a+1} \right)$, dấu “=” xảy ra khi $b=1$. Chứng minh tương tự ta được $\frac{1}{bc+b+2}\le \frac{1}{4}\left( \frac{a}{a+1}+\frac{1}{b+1} \right)$, dấu “=” xảy ra khi $c=1$. $\frac{1}{ca+c+2}\le \frac{1}{4}\left( \frac{b}{b+1}+\frac{1}{c+1} \right)$, dấu “=” xảy ra khi $a=1$. Cộng VTV các bất đẳng thức trên ta được $\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2}\le \frac{3}{4}$, dấu “=” xảy ra khi $a=b=c=1$. b) Vì $x+y+z=1$ nên $x+yz=x\left( x+y+z \right)+yz=\left( x+y \right)\left( x+z \right)$ Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia-côp-xki ta có $\sqrt{\left( x+y \right)\left( x+z \right)}\ge \sqrt{xy}+\sqrt{xz}$, dấu “=” xảy ra khi $y=z$. Do đó $\frac{x}{x+\sqrt{x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{\left( x+y \right)\left( x+z \right)}}\le \frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$ Chứng minh tương tự ta cũng được $\frac{y}{y+\sqrt{y+zx}}\le \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$, dấu “=” xảy ra khi $z=x$. $\frac{z}{z+\sqrt{z+xy}}\le \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$, dấu “=” xảy ra khi $x=y$. Cộng các bất đẳng thức trên VTV ta được $A=\frac{x}{x+\sqrt{x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{z+xy}}\le 1$, dấu “=” xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$. Bài 2: a) Cho $a,b$ là các số thực khác 0. Chứng minh rằng $\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}\ge \frac{a}{b}+\frac{b}{a}$. b) Cho $x,y$ là các số thực khác 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\frac{{{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}}$. Lời giải: a) Đặt $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=k\ne 0$ với $\left| k \right|\ge 2$ $\Rightarrow \frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}={{k}^{2}}-2$ Bất đẳng thức đã cho tương đương với ${{k}^{2}}-2\ge k\Leftrightarrow \left( k+1 \right)\left( k-2 \right)\ge 0$ (*) Nếu $k\ge 2$ thì $k+1\ge 3$ và $k-2\ge 0$ nên (*) đúng. Nếu $k\le -2$ thì $k+1\le -1$ và $k-2\le -4$ nên (*) đúng. Vậy bất đẳng thức $\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}\ge \frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ đúng với mọi $a,b$ là các số thực khác 0. b) Đặt $x=ky$ với $k\ne 0$, ta có $A=\frac{{{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}}=\frac{{{\left( ky \right)}^{2}}-k{{y}^{2}}+{{y}^{2}}}{{{\left( ky \right)}^{2}}+k{{y}^{2}}+{{y}^{2}}}=\frac{{{k}^{2}}-k+1}{{{k}^{2}}+k+1}$. $\Leftrightarrow A{{k}^{2}}+Ak+A={{k}^{2}}-k+1\Leftrightarrow \left( A-1 \right){{k}^{2}}+\left( A+1 \right)k+A-1=0$ (*) · Với $A-1=0\Leftrightarrow A=1$ thì (*) trở thành $2k=0\Leftrightarrow k=0$ vô lí. · Với $A-1\ne 0\Leftrightarrow A\ne 1$ thì (*) là phương trình bậc hai ẩn $k$. Để có giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của $A$ thì (*) phải có nghiệm, tức là $\Delta \ge 0\Leftrightarrow {{\left( A+1 \right)}^{2}}-4{{\left( A-1 \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow \left( 3-A \right)\left( 3A-1 \right)\ge 0\Leftrightarrow \frac{1}{3}\le A\le 3$. Dấu “=” xảy ra khi (*) có nghiệm kép $k=\frac{-\left( A+1 \right)}{2\left( A-1 \right)}=\frac{A+1}{2\left( 1-A \right)}$. · Khi $A=\frac{1}{3}$ thì $k=\frac{A+1}{2\left( 1-A \right)}=\frac{\frac{1}{3}+1}{2\left( 1-\frac{1}{3} \right)}=\frac{4}{3}:\frac{4}{3}=1$. · Khi $A=3$ thì $k=\frac{A+1}{2\left( 1-A \right)}=\frac{3+1}{2\left( 1-3 \right)}=\frac{4}{-4}=-1$. Vậy: $\min A=\frac{1}{3}$ đạt được khi $x=y$; $\max A=3$ đạt được khi $x=-y$. Bài 3: a) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $\frac{1-{{a}^{2}}}{a+bc}+\frac{1-{{b}^{2}}}{b+ca}+\frac{1-{{c}^{2}}}{c+ab}\ge 6$. b) Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn điều kiện ${{x}^{2}}{{y}^{2}}+2y+1=0$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\frac{xy}{3y+1}$. Lời giải: a) Ta có $1-{{a}^{2}}=\left( 1-a \right)\left( 1+a \right)=\left( b+c \right)\left( 2a+b+c \right)$ (vì $a+b+c=1$). Ta lại có $a+bc=a\left( a+b+c \right)+bc=\left( a+b \right)\left( a+c \right)$ (vì $a+b+c=1$). Đặt $a+b=x$, $b+c=y$, $c+a=z$ nên ta có: $\frac{1-{{a}^{2}}}{a+bc}=\frac{\left( b+c \right)\left( 2a+b+c \right)}{\left( a+b \right)\left( a+c \right)}=\frac{y\left( z+x \right)}{zx}=\frac{y}{x}+\frac{y}{z}$ Tương tự $\frac{1-{{b}^{2}}}{b+ca}=\frac{\left( c+a \right)\left( 2b+c+a \right)}{\left( b+c \right)\left( b+a \right)}=\frac{z}{y}+\frac{z}{x}$, $\frac{1-{{c}^{2}}}{c+ab}=\frac{\left( a+b \right)\left( 2c+a+b \right)}{\left( c+a \right)\left( c+b \right)}=\frac{x}{z}+\frac{x}{y}$. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{x}{y}\ge 6\Leftrightarrow \left( \frac{y}{x}+\frac{x}{y} \right)+\left( \frac{y}{z}+\frac{z}{y} \right)+\left( \frac{z}{x}+\frac{x}{z} \right)\ge 6$ đúng với mọi $x,y,z>0$. b) ĐKXĐ: $y\ne -\frac{1}{3}$. Ta có $A=\frac{xy}{3y+1}=\frac{2xy}{6y+2}=\frac{-2xy}{3{{x}^{2}}{{y}^{2}}+1}$ (vì ${{x}^{2}}{{y}^{2}}+2y+1=0$) Đặt $xy=k$, ta có $A=\frac{-2k}{3{{k}^{2}}+1}\Leftrightarrow 3A{{k}^{2}}+A=-2k\Leftrightarrow 3A{{k}^{2}}+2k+A=0$ (*). Nếu $A=0$ thì (*) trở thành $2k=0\Leftrightarrow k=0\Leftrightarrow xy=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $y=0$. Nếu $A\ne 0$ thì (*) là phương trình bậc hai ẩn $k$. Để có giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của $A$ thì (*) phải có nghiệm, tức là $\Delta '\ge 0\Leftrightarrow 1-12{{A}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{A}^{2}}\le \frac{1}{12}\Leftrightarrow -\frac{1}{2\sqrt{3}}\le A\le \frac{1}{2\sqrt{3}}$. Dấu “=” xảy ra khi (*) có nghiệm kép $x=\frac{-1}{3A}$ · Khi $A=-\frac{1}{2\sqrt{3}}$ thì $x=-1:\frac{-3}{2\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$. · Khi $A=\frac{1}{2\sqrt{3}}$ thì $x=-1:\frac{3}{2\sqrt{3}}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$. Vậy $\min A=-\frac{1}{2\sqrt{3}}$ đạt được khi $x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$; $\max A=\frac{1}{2\sqrt{3}}$ đạt được khi $x=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
