Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 31: a) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+zx=5$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6\left( {{x}^{2}}+5 \right)}+\sqrt{6\left( {{y}^{2}}+5 \right)}+\sqrt{{{z}^{2}}+5}}$. b) Cho m, k là các hằng số dương và x, y, z là các số thực dương sao cho $x+y+z\le \sqrt{3k}$. Tìm gía trị lớn nhất của biểu thức $Q=\frac{mx}{\sqrt{{{x}^{2}}+k}}+\frac{my}{\sqrt{{{y}^{2}}+k}}+\frac{mz}{\sqrt{{{z}^{2}}+k}}$. Giải: a) Ta có $xy+yz+zx=5$ Suy ra ${{x}^{2}}+5={{x}^{2}}+xy+yz+zx=\left( x+y \right)\left( x+z \right)$. Tương tự ${{y}^{2}}+5=\left( y+z \right)\left( y+x \right)\,\,;\,\,{{z}^{2}}+5=\left( z+x \right)\left( z+y \right)$. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: $\sqrt{6\left( {{x}^{2}}+5 \right)}=\sqrt{6\left( x+y \right)\left( x+z \right)}=\sqrt{\left( 3x+3y \right)\left( 2x+2z \right)}\le \frac{5x+3y+2z}{2}$. $\sqrt{6\left( {{y}^{2}}+5 \right)}=\sqrt{6\left( y+z \right)\left( y+x \right)}=\sqrt{\left( 2y+2z \right)\left( 3y+3x \right)}\le \frac{3x+5y+2z}{2}$. $\sqrt{{{z}^{2}}+5}=\sqrt{\left( z+x \right)\left( z+y \right)}\le \frac{x+y+2z}{2}$. Cộng các bất đẳng thức trên VTV ta được: $\sqrt{6\left( {{x}^{2}}+5 \right)}+\sqrt{6\left( {{y}^{2}}+5 \right)}+\sqrt{{{z}^{2}}+5}\le \frac{9x+9y+6z}{2}=\frac{3\left( 3x+3y+2z \right)}{2}$ $\Leftrightarrow \frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6\left( {{x}^{2}}+5 \right)}+\sqrt{6\left( {{y}^{2}}+5 \right)}+\sqrt{{{z}^{2}}+5}}\ge \frac{2}{3}$ hay $P\ge \frac{2}{3}$. Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{align} & x,y,z>0 \\ & 3x+3y=2x+2z \\ & 3y+3x=2y+2z \\ & z+x=z+y \\ & xy+yz+zx=5 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x,y,z>0 \\ & x=y=\frac{z}{2} \\ & 5{{x}^{2}}=5 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=y=1 \\ & z=2 \\ \end{align} \right.$. Vậy $\min P=\frac{2}{3}$ đạt được tại $x=y=1$ và $z=2$. b) Áp dụng bất đẳng thức $3\left( ab+bc+ca \right)\le {{\left( a+b+c \right)}^{2}}$, dấu “=” xảy ra khi a = b = c. Ta có $xy+yz+zx\le \frac{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}{3}\le \frac{3k}{3}=k$ (vì $x+y+z\le \sqrt{3k}$) Do đó $\sqrt{{{x}^{2}}+k}\ge \sqrt{{{x}^{2}}+xy+yz+zx}=\sqrt{\left( x+y \right)\left( x+z \right)}$ Kết hợp với bất đẳng thức Cô-si ta được: $\frac{mx}{\sqrt{{{x}^{2}}+k}}\le \frac{mx}{\sqrt{\left( x+y \right)\left( x+z \right)}}\le \frac{m}{2}\left( \frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z} \right)$, dấu “=” xảy ra khi $x=y=z=\frac{\sqrt{3k}}{3}$. Chứng minh hoàn toàn tương tự ta được: $\frac{my}{\sqrt{{{y}^{2}}+k}}\le \frac{m}{2}\left( \frac{y}{y+x}+\frac{y}{y+z} \right)$ ; $\frac{mz}{\sqrt{{{z}^{2}}+k}}\le \frac{m}{2}\left( \frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y} \right)$. Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được: $Q=\frac{mx}{\sqrt{{{x}^{2}}+k}}+\frac{my}{\sqrt{{{y}^{2}}+k}}+\frac{mz}{\sqrt{{{z}^{2}}+k}}\le \frac{3m}{2}$, dấu “=” xảy ra khi $x=y=z=\frac{\sqrt{3k}}{3}$. Vậy $\max Q=\frac{3m}{2}$, đạt được tại $x=y=z=\frac{\sqrt{3k}}{3}$. Bài 32: a) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2016$. Chứng tỏ rằng: $\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\le 1008$. Ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\Leftrightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 4ab\Leftrightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}\ge 0$ đúng với mọi x, y dương. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b. Áp dụng kết quả trên ta được: $\frac{1}{x+y}\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)$ ; $\frac{1}{y+z}\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)$ ; $\frac{1}{z+x}\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{z}+\frac{1}{x} \right)$ Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được: $\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\le \frac{1}{2}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)$ Mà $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2016$ nên $\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\le 1008$. b) Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+...+\frac{1}{1+2+...+2017}<\frac{2016}{2017}$. Ta có 1 + 2 + 3 + … + n = $\frac{n\left( n+1 \right)}{2}$ với mọi số nguyên dương n. Do đó $\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+...+\frac{1}{1+2+...+2017}$ $\begin{align} & =\frac{2}{2.3}+\frac{2}{3.4}+\frac{2}{4.5}+...+\frac{2}{2017.2018} \\ & =2\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018} \right) \\ & =2\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{2018} \right)=\frac{2016}{2018}<\frac{2016}{2017} \\ \end{align}$ Bài 33: a) Tìm GTLN & GTNN của biểu thức P = $\frac{8x+3}{4{{x}^{2}}+1}$. Biểu thức P xác định với mọi x thuộc R. Ta có $P=\frac{8x+3}{4{{x}^{2}}+1}\Leftrightarrow 4P{{x}^{2}}-8x+P-3=0\,\,\,\,(*)$ · Nếu P = 0 thì (*) trở thành $-8x-3=0\Leftrightarrow x=-\frac{3}{8}$. · Nếu $P\ne 0$ thì (*) là phương trình bậc hai ẩn x. Khi đó (*) có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta '=0\Leftrightarrow 16-4P\left( P-3 \right)\ge 0\Leftrightarrow \left( P+1 \right)\left( P-4 \right)\le 0\Leftrightarrow -1\le P\le 4$. + Với $P=-1$ thì (*) trở thành 4x2 + 8x + 4 = 0 $\Leftrightarrow x=-1$. + Với $P=4$ thì (*) trở thành 16x2 – 8x + 1 = 0 $\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$. Tóm lại: $\min P=-1$ đạt được tại $x=-1$ ; $\max P=4$ đạt được tại $x=\frac{1}{4}$. Trên cơ sở đó ta có thể trình bày lời giải khác (hơi mất tự nhiên) như sau: Ta có $P=\frac{8x+3}{4{{x}^{2}}+1}=\frac{-\left( 4{{x}^{2}}+1 \right)+\left( 4{{x}^{2}}+8x+4 \right)}{4{{x}^{2}}+1}=-1+\frac{{{\left( 2x+2 \right)}^{2}}}{4{{x}^{2}}+1}\ge -1$ $\Rightarrow $ GTNN. Ta có $P=\frac{8x+3}{4{{x}^{2}}+1}=\frac{4\left( 4{{x}^{2}}+1 \right)-\left( 16{{x}^{2}}-8x+1 \right)}{4{{x}^{2}}+1}=4-\frac{{{\left( 4x-1 \right)}^{2}}}{4{{x}^{2}}+1}\le 4$ $\Rightarrow $ GTLN. b) Tìm x để biểu thức Q = 2017 – (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) đạt GTLN. Ta có Q = 2017 – (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) Q = 2017 – (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) Q = 2017 – (x2 + 5x)2 + 36 Q = 2053 – (x2 + 5x)2 $\le $ 2053 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x2 + 5x = 0 $\Leftrightarrow $ x = 0 hoặc $x=-5$. Vậy khi x = 0 hoặc $x=-5$ thì Q đạt GTLN bằng 2053.
