Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 43: a) Cho a > 0, b > 0 thỏa mãn $a+b\le \frac{2}{3}$. Tìm GTNN của $A=a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$. b) Cho $x,\,\,y>0$ và $x+y=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{3}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{4}{xy}$. Giải: a) Áp dụng bất đẳng thức $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}$ với mọi x > 0, y > 0. Đẳng thức xảy ra khi x = y. Ta có $A=a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge a+b+\frac{4}{a+b}=a+b+\frac{4}{9\left( a+b \right)}+\frac{32}{9\left( a+b \right)}$. Đẳng thức xảy ra khi a = b. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: $a+b+\frac{4}{9\left( a+b \right)}\ge 2\sqrt{\left( a+b \right).\frac{4}{9\left( a+b \right)}}=\frac{4}{3}$. Đẳng thức xảy ra khi $a+b=\frac{2}{3}$. Ta lại có $0<a+b\le \frac{2}{3}\Rightarrow \frac{32}{9\left( a+b \right)}\ge \frac{32}{9}.\frac{3}{2}=\frac{16}{3}$. Đẳng thức xảy ra khi $a+b=\frac{2}{3}$. Do đó $A\ge \frac{4}{3}+\frac{16}{3}=\frac{20}{3}$. Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{align} & a=b \\ & a+b=\frac{2}{3} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{3}$ (thỏa mãn). Vậy $\min A=\frac{20}{3}$ đạt được tại $a=b=\frac{1}{3}$. b) Ta có $P=\frac{3}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{4}{xy}=\frac{3}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{3}{2xy}+\frac{5}{2xy}$. Áp dụng bất đẳng thức $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$ với mọi $a,\,\,b>0$. Đẳng thức xảy ra khi $a=b$. Ta có $\frac{3}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{3}{2xy}\ge \frac{12}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy}=\frac{12}{{{\left( x+y \right)}^{2}}}=12$ (vì $x+y=1$). Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2xy \\ & x+y=1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{\left( x-y \right)}^{2}}=0 \\ & x+y=1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$ (tmđk $x,\,\,y>0$) (1) Ta lại có $0<4xy\le {{\left( x+y \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{1}{2xy}\ge 2\Leftrightarrow \frac{5}{2xy}\ge 10$. Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{align} & x=y \\ & x+y=1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$ (tmđk $x,\,\,y>0$) (2) Từ (1) và (2) suy ra: $P=\frac{3}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{4}{xy}=\frac{3}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{3}{2xy}+\frac{5}{2xy}\ge 12+10=22$. Đẳng thức xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$. Vậy $\min \,P=22$ đạt được khi $x=y=\frac{1}{2}$. Bài 44: a) Cho $x,y,z$ là 3 số thực thỏa mãn $x+y+z+xy+yz+zx=6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\sqrt{4+{{x}^{2}}}+\sqrt{4+{{y}^{2}}}+\sqrt{4+{{z}^{2}}}$. b) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn abc = 8. Chứng minh rằng: $\frac{1}{{{a}^{2}}+2}+\frac{1}{{{b}^{2}}+2}+\frac{1}{{{c}^{2}}+2}\ge \frac{1}{2}$. Giải: Trước hết ta nhắc lại BĐT Minkowski cho 2 bộ số được phát biểu như sau: $\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}+\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}+\sqrt{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}\ge \sqrt{{{\left( {{a}_{1}}+{{b}_{1}}+{{c}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{a}_{2}}+{{b}_{2}}+{{c}_{2}} \right)}^{2}}}$. Khi đó áp dụng BĐT Minkowski, ta có $A\ge \sqrt{{{\left( 2+2+2 \right)}^{2}}+{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}}$ (*) Mặc khác ta có: · ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\ge xy+yz+zx$ · ${{x}^{2}}+1+{{y}^{2}}+1+{{z}^{2}}+1\ge 2x+2y+2z$ Suy ra $3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)+3\ge 2\left( xy+yz+zx+x+y+z \right)$ Do $x+y+z+xy+yz+zx=6$ suy ra ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\ge 3$ (**) Từ (*) và (**) ta suy ra $A\ge 3\sqrt{5}$. Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$. b) Vì abc = 8 nên a, b, c đều khác 0 Đặt $\left| a \right|=2.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\,\,;\,\,\left| b \right|=2.\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{z}}\,\,;\,\,\left| c \right|=2.\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}}$ với x, y, z > 0 và $\left| abc \right|=8$. Khi đó ta có: $\frac{1}{{{a}^{2}}+2}+\frac{1}{{{b}^{2}}+2}+\frac{1}{{{c}^{2}}+2}\ge \frac{1}{2}$ $\begin{align} & \Leftrightarrow \frac{1}{\frac{4x}{y}+2}+\frac{1}{\frac{4y}{z}+2}+\frac{1}{\frac{4z}{x}+2}\ge \frac{1}{2} \\ & \Leftrightarrow \frac{y}{4x+2y}+\frac{z}{4y+2z}+\frac{x}{4z+2x}\ge \frac{1}{2} \\ \end{align}$ $\Leftrightarrow \frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}+\frac{x}{2z+x}\ge 1$. Thật vậy áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được: $\begin{align} & \frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}+\frac{x}{2z+x}=\frac{{{y}^{2}}}{y\left( 2x+y \right)}+\frac{{{z}^{2}}}{z\left( 2y+z \right)}+\frac{{{x}^{2}}}{x\left( 2z+x \right)} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{{{y}^{2}}}{{{y}^{2}}+2xy}+\frac{{{z}^{2}}}{{{z}^{2}}+2yz}+\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+2zx} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ge \frac{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2xy+2yz+2zx}=1 \\ \end{align}$ Dấu “=” xảy ra khi x = y = z $x=y=z\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \left| a \right|=\left| b \right|=\left| c \right| \\ & abc=8 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left| a \right|=\left| b \right|=\left| c \right|=2$. Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi x, y, z > 0. Vậy bất đẳng thức đã cho đã được chứng minh xong. Dấu “=” xảy ra khi $\left| a \right|=\left| b \right|=\left| c \right|=2$. Bài 45: a) Cho biểu thức A = ${{x}^{2}}+\frac{1}{xy-{{y}^{2}}}+2020$ với x > y > 0. Tìm Min A. b) Cho a,b không âm thỏa mãn a2 + b2 = 2. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức $B=\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}$. Giải : a) Cách 1: Vì x > y > 0 nên áp dung bất đẳng thức Cô si cho hai số dương x – y và y ta được : $\left( x-y \right)+y\ge 2\sqrt{y\left( x-y \right)}$ .Dấu “ =” xảy ra khi y = x – y $\Leftrightarrow x=2y$ $\Rightarrow $$x\ge 2\sqrt{y\left( x-y \right)}\Rightarrow {{x}^{2}}\ge 4y\left( x-y \right)$ $\Rightarrow $$\frac{1}{y\left( x-y \right)}\ge \frac{4}{{{x}^{2}}}$ Dấu “ =” xảy ra khi x = 2y Do đó $A\ge {{x}^{2}}+\frac{4}{{{x}^{2}}}+2020$ Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương x2 và $\frac{4}{{{x}^{2}}}$ ta được x2 + $\frac{4}{{{x}^{2}}}$$\ge 2\sqrt{{{x}^{2}}.\frac{4}{{{x}^{2}}}}=4$ , Dấu “ =” xảy ra khi ${{x}^{2}}=\frac{4}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow x=\sqrt{2}$ (vì x >0) $\Rightarrow $A $\ge 4+2020=2024$. Dấu “ =” xảy ra $\Leftrightarrow x=2y,x=\sqrt{2}\Leftrightarrow x=\sqrt{2},y=\frac{\sqrt{2}}{2}$ Vậy Min A = 2024 khi x = $\sqrt{2},y=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Cách 2: Ta có $N={{x}^{2}}+\frac{1}{y(x-y)}+2020$. $\Rightarrow N=\left( {{x}^{2}}-2\sqrt{2}x+2 \right)+2\sqrt{2}y+2\sqrt{2}\left( x-y \right)+\frac{1}{y\left( x-y \right)}+2018$ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được: $\begin{align} & \Rightarrow N\ge {{\left( x-\sqrt{2} \right)}^{2}}+3\sqrt[3]{2\sqrt{2}y.2\sqrt{2}\left( x-y \right).\frac{1}{y\left( x-y \right)}}+2018 \\ & \Rightarrow N\ge 6+2018=2024 \\ \end{align}$ Dấu “=” xảy ra khi $x=\sqrt{2}$ và $y=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (thỏa mãn điều kiện $x>y>0$). Vậy min N = 2024 đạt được khi $x=\sqrt{2}$ và $y=\frac{\sqrt{2}}{2}$. b) * Tìm GTNN của B. Ta có a,b không âm nên $ab\ge 0\Rightarrow 2ab\ge 0$. Dấu “=” xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0. Do đó (a + b)2 $\ge $ a2 + b2, mà a2 + b2 = 2 nên (a + b)2 $\ge $ 2 $\Rightarrow a+b\ge \sqrt{2}$. Ta có $B=\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}$ $\begin{align} & \Rightarrow {{B}^{2}}=a+b+2+2\sqrt{ab+a+b+1} \\ & \Rightarrow {{B}^{2}}\ge 2+\sqrt{2}+2\sqrt{1+\sqrt{2}}={{\left( 1+\sqrt{1+\sqrt{2}} \right)}^{2}} \\ & \Rightarrow B\ge 1+\sqrt{1+\sqrt{2}} \\ \end{align}$ Dấu « = » xảy ra khi $ \left\{ \begin{align} & a=0 \vee b=0 \\ & a\ge 0;\,\,b\ge 0;\,\,{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2 \\ \end{align} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=0 \wedge b=\sqrt{2} \\ & a=\sqrt{2} \wedge b=0 \\ \end{align} \right.$. Vậy $\min B=1+\sqrt{1+\sqrt{2}}$ đạt được khi $ \left[ \begin{align} & a=0 \wedge b=\sqrt{2} \\ & a=\sqrt{2} \wedge b=0 \\ \end{align} \right.$. * Tìm GTLN của B. Cách 1 : Đặt $\left\{ \begin{align} & \sqrt{a+1}=x \\ & \sqrt{b+1}=y \\ \end{align} \right. $ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a={{x}^{2}}-1 \\ & b={{y}^{2}}-1 \\ \end{align} \right.$ , với $x\ge 1$ và $y\ge 1$. Do đó a2 + b2 = 2 $\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}^{2}}-1 \right)}^{2}}=2\Leftrightarrow {{x}^{4}}+{{y}^{4}}=2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)$. Ta lại có 2(x4 + y4) $\ge $ (x2 + y2)2 nên 4(x2 + y2) $\ge $ (x2 + y2)2 $\Leftrightarrow $ x2 + y2 $\le $ 4. Mặt khác (x + y)2 $\le $ 2(x2 + y2) nên (x + y)2 $\le $ 8 $\Rightarrow x+y\le 2\sqrt{2}$. Dấu « = » xảy ra khi x = y $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \sqrt{a+1}=\sqrt{b+1} \\ & a\ge 0;\,\,b\ge 0;\,\,{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow a=b=1$. Vậy $max\,\,B=2\sqrt{2}$ đạt được tại a = b = 1. Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: ${{B}^{2}}={{\left( 1.\sqrt{a+1}+1.\sqrt{b+1} \right)}^{2}}\le 2\left( a+b+2 \right)$. Dấu « = » xảy ra khi a = b. Ta lại có (a + b)2 $\le $ 2(a2 + b2), mà a2 + b2 = 2 nên (a + b)2 $\le $ 4 $\Rightarrow $ a + b $\le $ 2. Do đó B2 $\le $ 8 $\Rightarrow B\le 2\sqrt{2}$. Dấu « = » xảy ra khi $\left\{ \begin{align} & a=b \\ & a\ge 0;\,\,b\ge 0;\,\,{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow a=b=1$. Vậy $max\,\,B=2\sqrt{2}$ đạt được tại a = b = 1.
