Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 22: a) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn $0\le a,b,c\le 2$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\le 5$. b) Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn ${{x}^{2}}+4{{y}^{2}}=50$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=x+2y$. Giải: a) Vì $0\le a,b,c\le 2$ nên ta có: $\left( 2-a \right)\left( 2-b \right)\left( 2-c \right)+abc\ge 0$ $\Rightarrow 8-4\left( a+b+c \right)+2\left( ab+bc+ca \right)\ge 0$ Do $a+b+c=3$ nên ta được $2\left( ab+bc+ca \right)\ge 4$ $\Rightarrow {{\left( a+b+c \right)}^{2}}-\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\ge 4$ Do $a+b+c=3$ nên ta được ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\le 5$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 0, b = 1, c = 2 hoặc các hoán vị của nó. b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: ${{M}^{2}}={{\left( x+2y \right)}^{2}}\le \left( {{x}^{2}}+4{{y}^{2}} \right)\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)=50.2=100$ $\Rightarrow -10\le M\le 10$ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{align} & x=2y \\ & {{x}^{2}}+4{{y}^{2}}=50 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=2y \\ & 8{{y}^{2}}=50 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=2y \\ & y=\pm \frac{5}{2} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=5;\,\,y=\frac{5}{2} \\ & x=-5;\,\,y=-\frac{5}{2} \\ \end{align} \right.$ Vậy $MinM=-10$ đạt được tại $x=-5;\,\,y=-\frac{5}{2}$. $MaxM=10$ đạt được tại $x=5;\,\,y=\frac{5}{2}$. Cách khác: Ta có $M=x+2y\Leftrightarrow x=M-2y$ (*) Thay (*) vào đẳng thức ${{x}^{2}}+4{{y}^{2}}=50$ ta được: ${{\left( M-2y \right)}^{2}}+4{{y}^{2}}=50$ $\Leftrightarrow 8{{y}^{2}}-4My+{{M}^{2}}-50=0$ (**) được coi là phương trình ẩn y. Phương trình (**) có nghiệm khi: $\Delta '\ge 0\Leftrightarrow {{\left( -2M \right)}^{2}}-8\left( {{M}^{2}}-50 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{M}^{2}}\le 100\Leftrightarrow -10\le M\le 10$. Dấu “=” xảy ra khi phương trình (**) có nghiệm kép $y=\frac{M}{4}$. · Với $M=-10$ thì $y=\frac{M}{4}=\frac{-10}{4}=-\frac{5}{2}\Rightarrow x=M-2y=-10+5=-5$. · Với $M=10$ thì $y=\frac{M}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}\Rightarrow x=M-2y=10-5=5$. Vậy $MinM=-10$ đạt được tại $x=-5;\,\,y=-\frac{5}{2}$. $MaxM=10$ đạt được tại $x=5;\,\,y=\frac{5}{2}$. Bài 23: 1. Cho $x,y,z$ là các số thực bất kỳ. a) Chứng minh rằng ${{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( y-z \right)}^{2}}+{{\left( z-x \right)}^{2}}\le 3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)$. b) Gọi $m$ là giá trị nhỏ nhất trong ba số ${{\left( x-y \right)}^{2}};\,\,\,{{\left( y-z \right)}^{2}};\,\,\,{{\left( z-x \right)}^{2}}$. Chứng minh rằng $m\le \frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}{2}$. 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}$. Giải: 1. a) Ta có ${{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( y-z \right)}^{2}}+{{\left( z-x \right)}^{2}}\le 3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)$ $\begin{align} & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}+{{y}^{2}}-2yz+{{z}^{2}}+{{z}^{2}}-2zx+{{x}^{2}}\le 3{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+3{{z}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2xy+2yz+2zx\ge 0 \\ & \Leftrightarrow {{\left( x+y+z \right)}^{2}}\ge 0 \\ \end{align}$ Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi $x,y,z$. Vậy bất đẳng thức ban đầu đã được chứng minh. b) Nếu trong ba số $x,y,z$ có hai số bằng nhau thì $m=0$ nên $m\le \frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}{2}$ đúng. Nếu ba số $x,y,z$ đều khác nhau, không mất tính tổng quát, giả sử $x<y<z$. $\Rightarrow z-x>0;\,\,\,z-y>0;\,\,\,y-x>0$ Theo đề ta có ${{\left( x-y \right)}^{2}}\ge m;\,\,\,{{\left( y-z \right)}^{2}}\ge m;\,\,\,{{\left( z-x \right)}^{2}}\ge m$ $\Rightarrow {{\left( x-y \right)}^{2}}{{\left( y-z \right)}^{2}}\ge {{m}^{2}}\Rightarrow \left( y-x \right)\left( z-y \right)\ge m$ (vì $z-y>0;\,\,\,y-x>0$) Ta lại có $z-x=\left( z-y \right)+\left( y-x \right)>0$ $\Rightarrow {{\left( z-x \right)}^{2}}={{\left( z-y \right)}^{2}}+{{\left( y-x \right)}^{2}}+2\left( z-y \right)\left( y-x \right)\ge 4m$ Do đó ${{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( y-z \right)}^{2}}+{{\left( z-x \right)}^{2}}\ge 6m$. Theo câu a) ta có ${{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( y-z \right)}^{2}}+{{\left( z-x \right)}^{2}}\le 3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)$ Suy ra $6m\le 3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\Leftrightarrow m\le \frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}{2}$. 2. ĐKXĐ: $1\le x\le 5$. Áp dụng bất đẳng thức $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge \sqrt{a+b}$ với mọi $a,b\ge 0$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=0$ hoặc $b=0$. Ta có $A=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\ge \sqrt{x-1+5-x}=\sqrt{4}=2$ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x-1=0$ hoặc $5-x=0$ $\Leftrightarrow $ $x=1$ hoặc $x=5$. Vậy $MinA=2$ đạt được tại $x=1$ hoặc $x=5$. Áp dụng bất đẳng thức ${{\left( a+b \right)}^{2}}\le 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$ với mọi $a,b$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b$. Ta có ${{A}^{2}}={{\left( \sqrt{x-1}+\sqrt{5-x} \right)}^{2}}\le 2\left( x-1+5-x \right)=8\Rightarrow A\le 2\sqrt{2}$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt{x-1}=\sqrt{5-x}\Leftrightarrow x-1=5-x\Leftrightarrow x=3$. Vậy $MaxA=2\sqrt{2}$ đạt được tại $x=3$. Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta có thể làm như sau: Ta có $A=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}$ $\Rightarrow {{A}^{2}}={{\left( \sqrt{x-1}+\sqrt{5-x} \right)}^{2}}=4+2\sqrt{\left( x-1 \right)\left( 5-x \right)}$ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: $2\sqrt{\left( x-1 \right)\left( 5-x \right)}\le x-1+5-x=4$, đẳng thức xảy ra khi $x-1=5-x\Leftrightarrow x=3$. Do đó ${{A}^{2}}\le 8\Rightarrow A\le 2\sqrt{2}$, đẳng thức xảy ra khi $x=3$. Vậy $MaxA=2\sqrt{2}$ đạt được tại $x=3$. Bài 24: a) Bất đẳng thức Cô-si đối với ba số không âm. Chứng minh $a+b+c\ge \sqrt[3]{abc}$ với mọi a, b, c không âm. Dấu “=” xảy ra khi nào? b) Cho $x$ là số thực không âm. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A={{x}^{2}}-{{x}^{3}}$. Giải: a) Bất đẳng thức Cô-si đối với ba số không âm. Chứng minh $a+b+c\ge \sqrt[3]{abc}$ với mọi a, b, c không âm. Dấu “=” xảy ra khi nào? Áp dụng đẳng thức ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}-3xyz=\frac{1}{2}\left( x+y+z \right)\left[ {{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( y-z \right)}^{2}}+{{\left( z-x \right)}^{2}} \right]$. Với x, y, z không âm thì ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}-3xyz\ge 0$. Dấu “=” xảy ra khi $x=y=z$. Đặt $a={{x}^{3}};\,\,b={{y}^{3}};\,\,c={{z}^{3}}$ $\Rightarrow x=\sqrt[3]{a};\,\,y=\sqrt[3]{b};\,\,z=\sqrt[3]{c}$ và a, b, c không âm. Ta được $a+b+c-\sqrt[3]{abc}\ge 0$ hay $a+b+c\ge \sqrt[3]{abc}$. Dấu “=” xảy ra khi $a=b=c$. b) Cho $x$ là số thực không âm. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A={{x}^{2}}-{{x}^{3}}$. Ta có $A={{x}^{2}}-{{x}^{3}}={{x}^{2}}\left( 1-x \right)$. · Với $x>1$ thì $1-x<0$ nên $A={{x}^{2}}-{{x}^{3}}={{x}^{2}}\left( 1-x \right)<0$. · Với $0\le x\le 1$ thì $1-x\ge 0$ nên $A={{x}^{2}}-{{x}^{3}}={{x}^{2}}\left( 1-x \right)\ge 0$ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si đối với ba số không âm ta có: $A={{x}^{2}}-{{x}^{3}}={{x}^{2}}\left( 1-x \right)=4.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.\left( 1-x \right)\le 4.{{\left[ \frac{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\left( 1-x \right)}{3} \right]}^{3}}=\frac{4}{27}$. Dấu “=” xảy ra khi $\frac{x}{2}=1-x\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}$ (thỏa mãn điều kiện $x$ không âm). Tóm lại: $A\le \frac{4}{27}$ với mọi $x$ không âm. Dấu “=” xảy ra khi $x=\frac{2}{3}$. Vậy $max\,A=\frac{4}{27}$ đạt được tại $x=\frac{2}{3}$.
