Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Vẽ hai đường cao AD và CE của tam giác ABC. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại M. Từ M kẻ tiếp tuyến thứ hai đến đường tròn (O) (N là tiếp điểm). Vẽ CK vuông góc với AN tại K. Chứng minh : DK đi qua trung điểm F của đoạn thẳng BE. Ta có $\widehat{AEC}=\widehat{ADC}=\widehat{AKC}={{90}^{0}}$ $\Rightarrow $ 5 điểm A, E, D, K, C cùng nằm trên đường tròn đường kính AC. $\Rightarrow $ FE.FA = FD.FK (*) Ta có $\widehat{BDF}=\widehat{KDC}=\widehat{KAC}$; $\widehat{FBD}=\widehat{ANC}$ $\Rightarrow $ $\Delta $BDF ഗ$\Delta $NAC (g-g) $\Rightarrow $ $\frac{FB}{FD}=\frac{CN}{CA}$ (1) Ta có $\widehat{AKD}=\widehat{ACD}=\widehat{ANB}$ $\Rightarrow $ FK // BN $\Rightarrow $ \[\frac{FA}{FK}=\frac{BA}{BN}\] (2) Ta có $\Delta $MAB ഗ$\Delta $MCA (g-g) $\Rightarrow $ $\frac{MA}{MC}=\frac{AB}{CA}$ Ta có $\Delta $MNB ഗ$\Delta $MCN (g-g) $\Rightarrow $ $\frac{MN}{MC}=\frac{NB}{CN}$ Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì MA = MN $\Rightarrow $ $\frac{AB}{CA}=\frac{NB}{CN}$ $\Rightarrow $$\frac{AB}{NB}=\frac{CA}{CN}$ (3) Từ (1) (2) và (3) $\Rightarrow $ \[\frac{FA}{FK}=\frac{FD}{FB}\]$\Rightarrow $ FA.FB = FD.FK (**) Từ (*) và (**) $\Rightarrow $ FB = FE (đpcm). Bài 2: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm C sao cho AC > BC. Vẽ CH vuông góc với AB tại H, CH cắt (O) tại K. Kẻ tiếp tuyến Ax tại A của (O). Đường thẳng qua O vuông góc với OC cắt Ax tại M. Đường thẳng qua C vuông góc với BM cắt OK tại N. Chứng minh : KN = 2.ON. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BM cắt đường thẳng CH tại T. Ta có $\widehat{TOC}=\widehat{CON}=\widehat{OMB}$; $\widehat{OTC}=\widehat{OBM}$ $\Rightarrow $ $\Delta $CTO ഗ$\Delta $OBM (g-g) $\Rightarrow $ $\frac{CT}{OB}=\frac{TO}{BM}$ Dễ thấy $\Delta $ABM ഗ$\Delta $HTO (g-g) $\Rightarrow $ $\frac{HT}{AB}=\frac{TO}{BM}$ $\Rightarrow $ $\frac{CT}{OB}=\frac{HT}{AB}$$\Rightarrow $ $\frac{HT}{CT}=\frac{AB}{OB}=\frac{2R}{R}=2$$\Rightarrow $ HT = 2.CT $\Rightarrow $ HC = CT Vì đường kính AB vuông góc với dây CK tại H $\Rightarrow $ HC = HK $\Rightarrow $ HC = CT = HK $\Rightarrow $ CK = 2.CT (1) Ta có CN // TO (cùng vuông góc với BM) $\Rightarrow $ $\frac{NK}{NO}=\frac{CK}{CT}$ (2) Từ (1) và (2) $\Rightarrow $ NK = 2.NO. Bài 3: Từ điểm A ở ngoài (O;R) sao cho OA > 2R. Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm). Vẽ đường kính CD, OA cắt BC tại H, OA cắt (O) tại G (G thuộc cung nhỏ BC). Gọi I là giao điểm cùa HD và AB, M là giao điểm của BC và AD, IM cắt AH tại N. 1/Chứng minh : N là trung điểm của AH. 2*/Trên cung nhỏ CG lấy điểm E bất kỳ. Gọi K là giao điểm của AD với (O), CK cắt OA tại P. Chứng minh: EG là phân giác của góc PEN 1) AB và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau $\Rightarrow $ AB = AC Ta lại có OB = OC = R nên AO là trung trực của BC $\Rightarrow $ AO $\bot $ BC tại H và HB = HC. Vì CD là đường kính của (O) nên $\widehat{DBC}={{90}^{0}}$ hay BD$\bot $ BC $\Rightarrow $ BD // AH $\Rightarrow $ ABDH là hình thang Ta có M là giao điểm hai đường chéo AD và BH; I là giao điểm của hai đường thẳng AB và DH, theo bổ đề hình thang $\Rightarrow $ NA = NH (đpcm). 2) Ta có $\widehat{DKC}=\widehat{MHP}={{90}^{0}}$ $\Rightarrow $ tứ giác KPHM nội tiếp $\Rightarrow $ $\widehat{KMB}=\widehat{APC}$ Ta lại có $\widehat{KBM}=\widehat{ACP}$ nên $\Delta $BMK ഗ$\Delta $CPA (g-g) $\Rightarrow $ $\frac{KM}{BM}=\frac{AP}{CP}$ Dễ thấy $\Delta $AKP ഗ$\Delta $CHP (g-g) $\Rightarrow $$\frac{AP}{CP}=\frac{AK}{CH}$$\Rightarrow $$\frac{AP}{CP}=\frac{AK}{BH}$ (vì BH = CH) Do đó $\frac{KM}{BM}=\frac{AK}{BH}$ $\Rightarrow $ $\frac{BM}{BH}.\frac{KA}{KM}=1$ $\Rightarrow $ $\frac{BM}{BH}.\frac{NH}{NA}.\frac{KA}{KM}=1$ (vì NA = NH) Theo định lí Mê-nê-la-us đảo $\Rightarrow $ ba điểm B, K, N thẳng hàng. Kéo dài AO cắt đường tròn (O) tại Q $\Rightarrow \overset\frown{QB}=\overset\frown{QC}$ $\Rightarrow $ $\widehat{QKB}=\widehat{QKC}$ $\Rightarrow $ KQ là phân giác ngoài tại đỉnh K của tam giác NKP Dễ thấy $\widehat{GKQ}={{90}^{0}}$nên KG là phân giác của $\widehat{NKP}$. $\Rightarrow $ $\frac{QP}{QN}=\frac{GP}{GN}=\frac{KP}{KN}$ (*) Vì O là trung điểm của QG nên từ (*) $\Rightarrow $ OQ2 = OG2 = OP.ON Do đó OE2 = OP.ON $\Rightarrow $ $\Delta $OPE ഗ$\Delta $OEN (c-g-c) $\Rightarrow $ $\widehat{OEP}=\widehat{ONE}$ Mà $\widehat{OEG}=\widehat{OGE}$ $\Rightarrow $ $\widehat{OEP}+\widehat{PEG}=\widehat{GNE}+\widehat{GEN}$ $\Rightarrow $ $\widehat{PEG}=\widehat{GEN}$ Vậy EG là phân giác của góc PEN. Bài toán tương tự câu b): (Lớp 8) Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của AC và BD. Trên đoạn OC lấy điểm E, trên tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho BC là phân giác của góc EBF. Chứng minh rằng DC là phân giác của góc EDF. Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), AB < AC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại M và N (M thuộc cung nhỏ AB). Gọi I là trung điểm của BC, tia MI cắt đường tròn (O) tại K. Chứng minh : AK vuông góc với HN. Kéo dài AH cắt BC tại J. Gọi T và P là giao điểm của AK với NH và BC; Q là giao điểm của MN và BC. Tứ giác IEFJ nội tiếp (đường tròn Ơ le). Áp dụng phương tích của một điểm đối với đường tròn, ta có: QI.QJ = QE.QF; QB.QC = QE.QF; QB.QC = QM.QN $\Rightarrow $ QI.QJ = QM.QN $\Rightarrow $ tứ giác MNIJ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{NMI}=\widehat{NJI}$, mà $\widehat{NMK}=\widehat{NAK}$ nên $\Rightarrow \widehat{NAP}=\widehat{NJP}$ Do đó tứ giác NAJP nội tiếp, mà $\widehat{AJP}={{90}^{0}}$ nên $\widehat{ANP}={{90}^{0}}$ Dễ thấy OA vuông góc với MN $\Rightarrow $AM = AN $\Rightarrow \Delta AMN$cân tại A $\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{ANM}$ $\Rightarrow \Delta ANE$ഗ$\Delta ACN$(g-g) $\Rightarrow A{{N}^{2}}=AE.AC$ Dễ thấy AE.AC = AH.AJ nên $A{{N}^{2}}=AH.AJ$$\Rightarrow \widehat{ANH}=\widehat{AJN}$ Mà tứ giác NAJP nội tiếp $\Rightarrow \widehat{APN}=\widehat{AJN}$$\Rightarrow \widehat{ANH}=\widehat{APN}$hay$\widehat{ANT}=\widehat{APN}$ Mà tam giác ANP vuông tại N nên NT vuông góc với AP. Vậy AK vuông góc với HN tại T.
