Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 37: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm C sao cho AC > BC. Các tiếp tuyến tại A và tại C của đường tròn (O) cắt nhau tại D, BD cắt (O) tại E. Vẽ CH vuông góc với AB tại H, I là giao điểm của DH và AE. Tiếp tuyến tại E của đường tròn (O) cắt AD tại M. Chứng minh : ba điểm M, I, C thẳng hàng. Áp dụng định lí Mê-nê-la-us vào $\Delta $DBH và ba điểm A, I, E thẳng hàng Ta có $\frac{AH}{AB}.\frac{EB}{ED}.\frac{ID}{IH}=1$ (1) Tam giác ABC vuông tại C, đường cao CH $\Rightarrow $ AH.AB = AC2 $\Rightarrow $ $\frac{AH}{AB}=\frac{A{{C}^{2}}}{A{{B}^{2}}}$ (2) Tam giác ABD vuông tại A, đường cao AE $\Rightarrow $ $\frac{A{{B}^{2}}}{A{{D}^{2}}}=\frac{BE.BD}{DE.DB}=\frac{EB}{ED}$ (3) Từ (1) (2) và (3) suy ra $\frac{ID}{IH}=\frac{A{{D}^{2}}}{A{{C}^{2}}}$ Dễ thấy $\Delta $ADC ഗ$\Delta $BOC (g-g) $\Rightarrow $ $\frac{A{{D}^{2}}}{A{{C}^{2}}}=\frac{B{{O}^{2}}}{B{{C}^{2}}}$, do đó $\frac{ID}{IH}=\frac{B{{O}^{2}}}{B{{C}^{2}}}$ (4) Giả sử MC cắt DH tại I’. Dễ dàng chứng minh MA = MD; JC = JH (J là giao điểm của BD và CH). Vì AD // CH (cùng vuông góc với AB) Áp dụng định lí Ta-lét và hệ thức lượng trong tam giác vuông $\Rightarrow $ $\frac{I'D}{I'H}=\frac{MD}{CH}=\frac{2MD}{2CH}=\frac{AD}{4JH}=\frac{AB}{4BH}=\frac{BO}{\frac{2B{{C}^{2}}}{AB}}=\frac{B{{O}^{2}}}{B{{C}^{2}}}$ (5) Từ (4) và (5) suy ra $\frac{ID}{IH}=\frac{I'D}{I'H}$ $\Rightarrow $ $\frac{ID}{DH}=\frac{I'D}{DH}$ $\Rightarrow $ ID = I’D $\Rightarrow $ I’ $\equiv $ I. Vậy ba điểm C, I, M thẳng hàng. Bài 38: Cho tam giác nhọn ABC, có các cạnh không bằng nhau. Vẽ đường tròn (O) đi qua hai điểm B, C cắt các cạnh AC, AB thứ tự ở D, E. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của BD, CE, MN. Gọi H, K thứ tự là hình chiếu của M, N lên các cạnh AB, AC. Chứng minh rằng tam giác HIK là tam giác cân. Gọi P, Q thứ tự là hình chiếu của M, N lên các cạnh AC, AB. Dễ thấy $\Delta $ABD ഗ$\Delta $ACE (g-g) Ta lại có AM, AN thứ tự là hai trung tuyến tương ứng nên $\widehat{MAB}=\widehat{NAC}$ Do đó $\Delta $AHM ഗ$\Delta $AKN (g-g) và $\Delta $APM ഗ$\Delta $AQN (g-g) $\Rightarrow $ $\frac{AH}{AK}=\frac{AP}{AQ}$ (cùng bằng $\frac{AM}{AN}$) $\Rightarrow $ AH.AQ = AK.AP $\Rightarrow $ Tứ giác HKPQ nội tiếp Dễ thấy các đường trung trực của các cạnh HQ và KP cùng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng MN. Vậy I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác HKPQ $\Rightarrow $ IH = IK $\Rightarrow $ Tam giác HIK là cân tại I. Bài 39: Cho tứ giác ABCD. Gọi M là giao điểm của hai tia AB và DC. Gọi N là giao điểm của hai tia DA và CB. Gọi I, J, K thứ tự là trung điểm của AC, BD, MN. Chứng minh rằng ba điểm I, J, K thẳng hàng. Gọi E, F, G thứ tự là trung điểm của CD, CN, ND. Vì I, J, K thứ tự là trung điểm của AC, BD, MN nên theo định lí về đường trung bình của tam giác thì các điểm E, I, F thẳng hàng; K, F, G thẳng hàng; E, J, G thẳng hàng và GK // DM; EG // MN; EF // DN. Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\frac{KF}{KG}=\frac{MC}{MD}$ ; $\frac{BN}{BC}=\frac{JG}{JE}$ ; $\frac{AD}{AN}=\frac{IE}{IF}$ (*) Áp dụng định lí Mê-nê-la-us đối với tam giác NCD và ba điểm M, B, A ta có: $\frac{MC}{MD}.\frac{AD}{AN}.\frac{BN}{BC}=1$ Do đó, từ (*) suy ra $\frac{KF}{KG}.\frac{JG}{JE}.\frac{IE}{IF}=1$ Theo định lí Mê-nê-la-us đảo suy ra ba điểm I, J, K thẳng hàng. Bài 40: Cho hình bình hành ABCD. Đường thẳng qua A và vuông góc với CD cắt tia BC tại E. Đường thẳng qua A và vuông góc với BC cắt tia DC tại F. Chứng minh rằng đường thẳng qua A và vuông góc với BD thì đi qua trung điểm G của EF. Gọi H là giao điểm của AE và CD; I là giao điểm của AF và BC; J là giao điểm của AG và BD; K là giao điểm của AC và EF; O là giao điểm của AC và BD. Dễ thấy C là trực tâm của tam giác AEF; O là trung điểm của AC và BD. Tứ giác AHCI có $\widehat{H}=\widehat{I}={{90}^{{}}}$nên $\widehat{HAI}+\widehat{HCI}={{180}^{0}}$ Vì ABCD là hình bình hành nên $\widehat{ADC}+\widehat{BCD}={{180}^{0}}$ Do đó $\widehat{HAI}=\widehat{ADC}$ hay $\widehat{EAF}=\widehat{ADC}$ (1) Ta lại có $\widehat{EAF}=\widehat{ACD}$ (cùng phụ với $\widehat{EAK}$) (2) Từ (1) và (2) suy ra $\Delta $ADC ഗ$\Delta $FAE (g-g) Vì ABCD là hình bình hành nên AD // BC, mà AF $\bot $ BC nên AF $\bot $ AD Do đó $\widehat{ADO}=\widehat{FAG}$ (cùng phụ với $\widehat{DAG}$) Vì DO là trung tuyến của $\Delta $ADC nên AG cũng là trung tuyến của $\Delta $FAE. Vậy G là trung điểm của đoạn thẳng EF.
