Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 63: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ; R). Vẽ các đường cao AD, BE, CF và H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M, N, P, Q, I, J thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB, HA, HB, HC. a) Chứng minh rằng 9 điểm D, E, F, M, N, P, Q, I, J cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm K của đường tròn đó. b) Tính bán kính của đường tròn (K) theo R. c) Chứng minh rằng K là trung điểm của OH. Giải: a) Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác ta có: PN // $=\frac{1}{2}BC$; IJ // $=\frac{1}{2}BC$; PI // $=\frac{1}{2}AH$; NJ // $=\frac{1}{2}AH$. Ta lại có AD $\bot $ BC nên PN // = IJ và PN $\bot $ PI $\Rightarrow $ Tứ giác PNJI là hình chữ nhật Gọi K là giao điểm của PJ và NI $\Rightarrow $ KP = KN = KJ = KI. Tương tự MPQJ và MNQI cũng là các hình chữ nhật nên KM = KQ. $\Delta MDQ$ vuông tại D có DK là trung tuyến $\Rightarrow $ KD = KM = KQ. $\Delta NIE$ vuông tại E có EK là trung tuyến $\Rightarrow $ KE = KN = KI. $\Delta PJF$ vuông tại F có FK là trung tuyến $\Rightarrow $ KF = KP = KJ. Do đó KD = KE = KF = KM = KN = KP = KQ = KI = KJ. Vậy 9 điểm D, E, F, M, N, P, Q, I, J cùng thuộc đường tròn (K ; KM). b) Vẽ đường kính AG của đường tròn (O ; R) $\Rightarrow $ $\widehat{ABG}=\widehat{ACG}={{90}^{0}}$. $\Rightarrow $ BG // CH (cùng vuông góc với AB) ; CG // BH (cùng vuông góc với AC) $\Rightarrow $ BHCG là hình bình hành Mà M là trung điểm của BC nên M cũng là trung điểm của HG. $\Rightarrow $ MQ là đường trung bình của tam giác AHG $\Rightarrow $ MQ //$=\frac{1}{2}AG$. Vì MQ và AG thứ tự là đường kính của hai đường tròn (K) và (O) nên bán kính của đường tròn (K) bằng $\frac{R}{2}$. c) Trong tam giác AHG có MQ song song với AG. Ta lại có K, O thứ tự là trung điểm của MQ và AG nên H, K, O thẳng hàng và KH = KO. Lưu ý: 1) Đường tròn (K ; $\frac{R}{2}$) đi qua 9 điểm đó là 3 chân đường cao, 3 trung điểm của ba cạnh và 3 trung điểm của các đoạn thẳng nối trực tâm với đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn Ơ-le của tam giác đó. 2) Đường thẳng OH gọi là đường thẳng Ơ-le của tam giác ABC, đường thẳng này còn đi qua trọng tâm của tam giác ABC. 3) Tâm đường tròn Ơ-le thuộc đường thẳng Ơ-le. Bài 64: Cho tam giác ABC (AB < AC) có AD là đường phân giác, AM là đường trung tuyến. Đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ADM cắt các cạnh AB, AC thứ tự ở E, F. a) Chứng minh rằng BE = CF. b) Gọi N là trung điểm của EF. Chứng minh rằng MN song song với AD. Giải: a) Đối với đường tròn (O), ta có: BE.BA = BD.BM và CF.CA = CM.CD Do đó $\frac{BE.BA}{CF.CA}=\frac{BD.BM}{CD.CM}$, mà BM = CM nên $\frac{BE.BA}{CF.CA}=\frac{BD}{CD}$ (1) Vì AD là phân giác của tam giác ABC nên $\frac{BA}{CA}=\frac{BD}{CD}$ (2) Từ (1) và (2) $\Rightarrow $ $\frac{BE}{CF}=1$ $\Rightarrow $ BE = CF. b) Gọi J là trung điểm của BF. Tam giác BEF có N là trung điểm của EF; J là trung điểm của BF $\Rightarrow $ NJ là đường trung bình của tam giác BEF $\Rightarrow $ NJ // EB hay NJ // AB và $NJ=\frac{BE}{2}$ (3) Tam giác BFC có M là trung điểm của BC; J là trung điểm của BF $\Rightarrow $ MJ là đường trung bình của tam giác BFC $\Rightarrow $ MJ // FC hay MJ // AC và $MJ=\frac{CF}{2}$ (4) Ta lại có BE = CF (câu a) nên từ (3) và (4) $\Rightarrow $ NJ = MJ Vậy tam giác MNJ cân tại J $\Rightarrow $ $\widehat{MJN}={{180}^{0}}-2.\widehat{JNM}$ Vì NJ // AB và MJ // AC nên $\widehat{MJN}+\widehat{BAC}={{180}^{0}}$ $\Rightarrow $ \[{{180}^{0}}-2.\widehat{JNM}+\widehat{BAC}={{180}^{0}}\] $\Rightarrow $ $2.\widehat{JNM}=\widehat{BAC}$ $\Rightarrow $ $\widehat{JNM}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\widehat{BAD}$ Ta lại có NJ // AB và $\widehat{JNM}$, $\widehat{BAD}$ cùng nhọn nên NM // AD. Bài 65: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O ; R) và ngoại tiếp đường tròn (I ; r). Tia AI cắt BC ở D và cắt đường tròn (O) ở E. a) Chứng minh rằng E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC. b) Chứng minh hệ thức AD2 = AB.AC – BD.CD. c) Chứng minh hệ thức IA.IE = IO2 – R2. d) Chứng minh hệ thức IO2 = R2 – 2Rr (Hệ thức Ơ-le). e) Chứng minh bất đẳng thức $R\ge 2r$, dấu “=” xảy ra khi nào? f) Giả sử BC cố định, A chuyển động trên cung lớn BC. Xác định vị trí điểm A để AI có độ dài lớn nhất. Giải: a) Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC $\Rightarrow $ AE là phân giác của góc BAC $\Rightarrow $ $\overset\frown{EB}=\overset\frown{EC}$ $\Rightarrow $ EB = EC (1) Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC $\Rightarrow $ $\widehat{BAE}=\widehat{CAE}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}$ ; $\widehat{IBA}=\widehat{IBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$ Ta lại có $\widehat{CAE}=\widehat{CBE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC) Từ đó suy ra $\widehat{EBI}=\widehat{EIB}$ (cùng bằng $\frac{1}{2}\widehat{BAC}+\frac{1}{2}\widehat{ABC}$) Vậy tam giác EBI cân tại E $\Rightarrow $ EB = EI (2) Từ (1) và (2) $\Rightarrow $ EB = EC = EI Vậy E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC. b) Trong đường tròn (O) ta có AD.DE = BD.CD (3) $\Delta ABD$ và $\Delta AEC$ có $\widehat{BAD}=\widehat{EAC}$ và $\widehat{ABD}=\widehat{AEC}$ $\Rightarrow $ $\Delta ABD$ ഗ$\Delta AEC$ (g-g) $\Rightarrow $ $AD.AE=AB.AC$ (4) Từ (3) và (4) $\Rightarrow $ AD.AE – AD.DE = AB.AC – BD.CD $\Rightarrow $ AD(AE – DE) = AB.AC – BD.CD $\Rightarrow $ AD2 = AB.AC – BD.CD. c) Qua I vẽ đường kính MN của đường tròn (O ; R) Trong đường tròn (O) ta có IA.IE = IM.IN = (R – IO)(R + IO) = R2 – IO2 (5) d) Vẽ đường kính BG của đường tròn (O ; R) $\Rightarrow $ $\Delta BEG$ vuông tại E Vẽ IK vuông góc với AB tại K $\Rightarrow $ IK = r. $\Delta BEG$ và $\Delta IKA$ có $\widehat{BEG}=\widehat{IKA}={{90}^{0}}$ và $\widehat{BGE}=\widehat{IAK}$ $\Rightarrow $ $\Delta BEG$ ഗ$\Delta IKA$ (g-g) $\Rightarrow $ IA.BE = BG.IK $\Rightarrow $ IA.IE = 2Rr (vì BE = IE, BG = 2R, IK = r) (6) Từ (5) và (6) $\Rightarrow $ R2 – IO2 = 2Rr $\Rightarrow $ IO2 = R2 – 2Rr. e) Theo câu d) ta có IO2 = R2 – 2Rr $\Rightarrow $ R2 – 2Rr $\ge $ 0 $\Rightarrow $ R2 $\ge $ 2Rr $\Rightarrow $ R $\ge $ 2r Dấu “=” xảy ra khi I trùng O hay tam giác ABC đều. f) Vì BC cố định nên E là điểm chính giữa cung nhỏ BC cũng cố định $\Rightarrow $ EB = EC không đổi Mà EB = EI (câu a) nên EI không đổi Ta lại có AE = AI + EI Do đó AI lớn nhất $\Leftrightarrow $ AE lớn nhất $\Leftrightarrow $ AE là đường kính của đường tròn (O).
