Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 5: Từ điểm A ở ngoài (O;R), vẽ tiếp tuyến AM với M là tiếp điểm. Vẽ đường tròn tâm A, bán kính AO cắt đường tròn (O) tại hai điểm P và Q. Chứng minh : PQ đi qua trung điểm của OM. Cách 1: Giả sử đường thẳng OM cắt PQ tại N, cắt đường tròn (A) tại điểm thứ hai B và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai C. Xét đường tròn (O) ta có NP.NQ = NM.NC Xét đường tròn (A) ta có NP.NQ = NO.NB Do đó NM.NC = NO.NB $\Rightarrow $ $\frac{NM}{NB}=\frac{NO}{NC}$ $\Rightarrow $ $\frac{NM}{NB-NM}=\frac{NO}{NC-NO}$ $\Rightarrow $ $\frac{NM}{MB}=\frac{NO}{OC}$ (1) Vì AM là tiếp tuyến của (O), M là tiếp điểm $\Rightarrow \widehat{AMO}={{90}^{0}}$ hay AM $\bot $ OB $\Rightarrow $ MB = MO $\Rightarrow $ MB = MO = OC (2) Từ (1) và (2) $\Rightarrow $ NM = NO. Vậy PQ đi qua trung điểm N của OM. Cách 2: Gọi N là giao điểm của OM và PQ; Vẽ đường kính OB của đường tròn (A) cắt PQ tại H. Vì PQ là dây chung của hai đường tròn (O) và (A) $\Rightarrow $ OA $\bot $ PQ tại H và HP = HQ Vì AM là tiếp tuyến của đường tròn (O), M là tiếp điểm $\Rightarrow \widehat{AMO}={{90}^{0}}$ Do đó $\Delta $OHN ഗ$\Delta $OMA (g-g) $\Rightarrow $ ON.OM = OH.OA = OH.R (1) Vì OB là đường kính của đường tròn (A) $\Rightarrow \widehat{OQB}={{90}^{0}}$ Tam giác OQB vuông tại Q, đường cao QH $\Rightarrow $ OH.OB = OQ2 $\Rightarrow $ OH.2R = OM2 (2) Từ (1) và (2) $\Rightarrow $ 2.ON.OM = OM2 $\Rightarrow $ 2.ON = OM. Vậy PQ đi qua trung điểm N của OM. Bài 6: Từ điểm A ở ngoài (O;R), vẽ tiếp tuyến AM với M là tiếp điểm. Vẽ đường tròn tâm M, bán kính MO cắt đường tròn (O) tại P và Q. Chứng minh : PQ đi qua trung điểm của OA. Lưu ý : bài 5 và bài 6 tương tự giống nhau Dễ thấy OP = OQ = MP = MQ = R $\Rightarrow $ OPMQ là hình thoi $\Rightarrow $ PQ là đường trung trực của OM (1) Vì AM là tiếp tuyến của đường tròn (O), M là tiếp điểm $\Rightarrow $ $\Delta $AMO vuông tại M (2) Từ (1) và (2) suy ra đường thẳng PQ đi qua trung điểm I của OA. Bài 7: Từ điểm A ở ngoài (O;R) sao cho OA = 2R, vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là các tiếp điểm), OA cắt BC tại H và cắt đường tròn (O) tại M. Vẽ CK vuông góc với AB tại K; HK cắt BM tại I; CI cắt đường tròn (O) tại E. Vẽ đường kính CD. Chứng minh: ba điểm A, E, D thẳng hàng. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AB = AC. Ta lại có OB = OC = R $\Rightarrow $ AO là trung trực của BC $\Rightarrow $ AO $\bot $ BC tại H và HB = HC Vì AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) $\Rightarrow $ $\widehat{ABO}={{90}^{0}}$. Tam giác ABO vuông tại B ta có sin$\widehat{OAB}$ = $\frac{OB}{OA}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow $ $\widehat{OAB}={{30}^{0}}$ Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau $\Rightarrow $ $\widehat{OAB}=\widehat{OAC}={{30}^{0}}$ $\Rightarrow $ $\widehat{BAC}={{60}^{0}}$ $\Rightarrow $ $\Delta $ABC là tam giác đều Vì M thuộc trung trực AO của BC nên MB = MC $\Rightarrow $ $\overset\frown{MB}=\overset\frown{MC}$ $\Rightarrow $ $\widehat{ACM}=\widehat{MCB}$ $\Rightarrow $ CM là phân giác của $\widehat{ACB}$ Vì tam giác ABC đều nên C, M, K thẳng hàng Tứ giác MKBH nội tiếp (vì $\widehat{MKB}+\widehat{MHB}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}$) $\Rightarrow $ IM.IB = IK.IH Vì MB và CE là hai dây cung của đường tròn (O) nên IM.IB = IE.IC Do đó IK.IH = IE.IC $\Rightarrow $ tứ giác KEHC nội tiếp Vì $\widehat{AKC}=\widehat{AHC}={{90}^{0}}$ nên tứ giác AKHC nội tiếp Từ đó suy ra 5 điểm A, K, E, H, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC $\Rightarrow $ $\widehat{AEC}={{90}^{0}}$, mà $\widehat{CED}={{90}^{0}}$ nên ba điểm A, E, D thẳng hàng. Bài 8: Từ điểm A ở ngoài (O;R) sao cho OA > 2R, vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm). Vẽ dây cung CM song song với AB, AM cắt (O) tại N. Gọi I là trung điểm OA. Chứng minh : Tam giác BNI vuông tại N. Vì AB, AC là các tiếp tuyến $\Rightarrow $ $\widehat{ABO}=\widehat{ACO}={{90}^{0}}$ Dễ thấy AO $\bot $ BC tại H và HB = HC Ta có AH.AO = AN.AM (cùng bằng AB2) $\Rightarrow $ Tứ giác HOMN nội tiếp $\Rightarrow $ $\widehat{OHM}=\widehat{ONM}$; $\widehat{AHN}=\widehat{OMN}$ Mà $\widehat{ONM}=\widehat{OMN}$ nên $\widehat{OHM}=\widehat{AHN}$. Ta lại có $\widehat{MOH}=\widehat{ANH}$$\Rightarrow $ $\Delta $MOH ഗ$\Delta $ANH (g-g) $\Rightarrow $ HO.HA = HM.HN Tam giác ACO vuông tại C, đường cao CH $\Rightarrow $ HC2 = HO.HA Do đó HC2 = HM.HN Mà $\widehat{CHM}=\widehat{CHN}$$\Rightarrow $ $\Delta $HMC ഗ$\Delta $HCN (c-g-c) $\Rightarrow $ $\widehat{MCH}=\widehat{CNH}$, mà $\widehat{MCH}=\widehat{MNB}$ nên $\widehat{MNB}=\widehat{CNH}$ $\Rightarrow $ $\widehat{CNM}=\widehat{BNH}$ Vì CM // AB, mà AB là tiếp tuyến nên $\overset\frown{BC}=\overset\frown{BM}$ $\Rightarrow $ BC = BM $\Rightarrow $ $\Delta $BCM cân tại B, mà OB $\bot $ AB nên OB $\bot $ CM $\Rightarrow $ BO là phân giác của $\widehat{CBM}$ Mà $\widehat{OBH}=\widehat{BAI}$ nên $\widehat{CBM}=2.\widehat{BAI}$ Ta lại có $\widehat{BIO}=2.\widehat{BAI}$ $\Rightarrow $ $\widehat{BIO}=\widehat{CBM}$ Mặt khác $\widehat{CNM}=\widehat{CBM}$ và $\widehat{CNM}=\widehat{BNH}$ (cmt) nên $\widehat{BIO}=\widehat{BNH}$ Do đó tứ giác BHNI nội tiếp, mà $\widehat{BHI}={{90}^{0}}$nên $\widehat{BNI}={{90}^{0}}$ Vậy tam giác BNI vuông tại N.
