Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 78: Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), đường cao AH. Xét các đường tròn (O’) tiếp xúc với BC tại H và cắt đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC tại hai điểm D, E. Chứng minh rằng trung điểm I của dây DE thuộc một đường cố định. Giải: Vì AH $\bot $BC tại H và đường tròn (O’) tiếp xúc với BC tại H nên O’ thuộc đường thẳng AH cố định. Gọi F là giao điểm của hai đường thẳng DE và BC. Ta có FH2 = FB.FC (cùng bằng FD.FE) $\Leftrightarrow $FH2 = (FH – HB).(FH + HC) $\Leftrightarrow $FH2 = FH2 + FH.HC – FH.HB – HB.HC $\Leftrightarrow $FH.(HC – HB) = HB.HC $\Leftrightarrow $$FH=\frac{HB.HC}{HC-HB}$ (vì AH $\bot $BC tại H và AB < AC nên HB < HC) Vì B, C, H cố định nên F cố định. Vì I là trung điểm dây DE của đường tròn (O) nên OI $\bot $DE tại I $\Rightarrow \widehat{FIO}={{90}^{0}}$. Vậy trung điểm I của dây DE thuộc đường tròn (J) đường kính FO cố định. Giới hạn: Trung điểm I chỉ thuộc cung MON nằm trong đường tròn (O), trừ giao điểm của cung nói trên với cạnh BC. Bài 79: Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC). Các điểm D và E lần lượt chuyển động trên các cạnh AB và AC sao cho BD = CE. Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ADE thuộc một đoạn thẳng cố định. Giải: Vì AB < AC nên trên cạnh AC tồn tại điểm F sao cho CF = AB. Gọi M, N, P, O, Q thứ tự là trung điểm của BC, DE, AF, BF, BE Vì M, O, Q thứ tự là trung điểm của BC, BF, BE nên theo tính chất đường trung bình của tam giác suy ra ba điểm M, O, Q thẳng hàng (1) Vì N, P, O, Q thứ tự là trung điểm của DE, AF, BF, BE và BD = CE; AB = CF nên theo tính chất đường trung của tam giác suy ra QM = QN và OM = OP. Do đó $\Delta $QMN và $\Delta $OMP thứ tự cân tại Q và tại O (2) Từ (1) và (2) suy ra ba điểm M, N, P thẳng hàng. Vì N là trung điểm của DE và G là trọng tâm của tam giác ADE nên $\frac{AG}{AN}=\frac{2}{3}$. Trên AM và AP lần lượt lấy các điểm I và J sao cho $\frac{AI}{AM}=\frac{2}{3}$ và $\frac{AJ}{AP}=\frac{2}{3}$. Do đó, theo định lí Ta-lét đảo suy ra ba điểm I, G, J thẳng hàng và IJ song song với MP. Dễ thấy đoạn thẳng MP cố định nên đoạn thẳng IJ cũng cố định. Vậy trọng tâm G của tam giác ADE thuộc đoạn thẳng IJ cố định (trừ điểm J). Bài 80: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 6cm cố định. Điểm C chuyển động trên nửa đường tròn đó. Trên các dây cung CA và CB lần lượt lấy các điểm D và E sao cho AD = BE = 2cm. Chứng minh rằng trung điểm F của đoạn thẳng DE thuộc một cung tròn cố định. Giải: Gọi M là trung điểm của AE. Vì F, M, O thứ tự là trung điểm của DE, AE, AB và AD = BE = 2cm nên theo tính chất đường trung bình của tam giác suy ra MF // AC, MO // BC và MF = MO = 1cm. (1) Vì điểm C thuộc nửa đường tròn (O) đường kính AB nên $\widehat{ACB}={{90}^{0}}$ (2) Từ (1) và (2) $\Rightarrow $ $\Delta $OMF vuông cân tại M $\Rightarrow $ $OF=\sqrt{2}$cm. Do đó điểm F thuộc đường tròn tâm O bán kính $\sqrt{2}$cm. Giới hạn: Khi C $\equiv $C1 với AC1 = 2cm thì F $\equiv $F1. Khi C $\equiv $C2 với AC2 = 2cm thì F $\equiv $F2. Vậy khi điểm C chuyển động trên nửa đường tròn (O) đường kính AB = 6cm thỏa mãn điều kiện bài toán thì trung điểm F của DE thuộc $\overset\frown{{{F}_{1}}F{{F}_{2}}}$của đường tròn tâm O bán kính bằng $\sqrt{2}$cm (như hình vẽ).
