Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 81: Điểm A cố định thuộc đường tròn (O;R), điểm B chuyển động trên đường tròn đó. Xét các tam giác đều ABC sao cho đỉnh C không nằm ngoài đường tròn (O;R). Hỏi rằng khi điểm B chuyển động thì đỉnh C chuyển động trên đường nào? Vì sao? Giải: Dựng tam giác đều ADE nội tiếp đường tròn (O;R). Dễ dàng chứng minh được nếu điểm B thuộc cung nhỏ DE (B khác D và E) thì điểm C nằm ngoài đường tròn (O;R). Để điểm C không nằm ngoài đường tròn (O;R) thì điểm B chỉ có thể thuộc cung nhỏ AD và cung nhỏ AE. Xét điểm B thuộc cung nhỏ AD. Gọi I là điểm chính giữa cung nhỏ AE $\Rightarrow $ $\Delta $AOI đều $\Rightarrow $ AI = R. Vì tam giác ABC đều nên dễ dàng chứng minh được $\Delta $AIC = $\Delta $AOB (c-g-c) $\Rightarrow $ IC = OB $\Rightarrow $ IC = R Dễ thấy điểm I cố định nên điểm C thuộc đường tròn (I;R). Khi B $\equiv $A thì C $\equiv $A ; Khi B $\equiv $D thì C $\equiv $E Do đó khi B chuyển động trên cung nhỏ AD thì C chuyển động trên cung AOE tâm I. Tương tự khi B chuyển động trên cung nhỏ AE thì C chuyển động trên cung AOD tâm J. Tóm lại: Khi điểm B chuyển động trên đường tròn (O;R) sao cho tam giác đều ABC có đỉnh C không nằm ngoài đường tròn đó thì điểm C chuyển động trên hai cung tròn AOE và AOD có tâm lần lượt là I và J đều có bán kính bằng R (như hình vẽ). Bài 82: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Tia AO cắt cạnh BC tại D. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm E và F sao cho DE = DB và DF = DC. Chứng minh rằng EF song song với BC. Giải: Ta có OA = OB = OC = R $\Rightarrow $ Các $\Delta $AOB; $\Delta $BOC; $\Delta $COA cân tại O $\Rightarrow $ $\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{B}_{2}}}$ ; $\widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{C}_{2}}}$ ; $\widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{A}_{2}}}$ $\Delta $DBE cân tại D (DE = DB) $\Rightarrow $ $\widehat{DEB}=\widehat{DBE}$ $\Rightarrow $ $\widehat{{{A}_{1}}}+\widehat{ADE}=\widehat{{{B}_{1}}}+\widehat{{{B}_{2}}}$$\Rightarrow $ $\widehat{ADE}=\widehat{{{B}_{1}}}$ $\Delta $DCF cân tại D (DF = DC) $\Rightarrow $ $\widehat{DFC}=\widehat{DCF}$ $\Rightarrow $ $\widehat{{{A}_{2}}}+\widehat{ADF}=\widehat{{{C}_{1}}}+\widehat{{{C}_{2}}}$$\Rightarrow $ $\widehat{ADF}=\widehat{{{C}_{2}}}$ Gọi M là giao điểm của DE và OB; N là giao điểm của DF và OC. Do đó $\Delta $ODM ഗ$\Delta $OBD (g-g) $\Rightarrow $ OD2 = OM.OB (1) $\Delta $ODN ഗ$\Delta $OCD (g-g) $\Rightarrow $ OD2 = ON.OC (2) Vì OB = OC nên từ (1) và (2) $\Rightarrow $ OM = ON. Áp dụng định lý Mê-nê-la-us vào $\Delta $AOB và ba điểm D, M, E thẳng hàng Ta có $\frac{DO}{DA}.\frac{EA}{EB}.\frac{MB}{MO}=1$ (3) Áp dụng định lý Mê-nê-la-us vào $\Delta $AOC và ba điểm D, N, F thẳng hàng Ta có $\frac{DO}{DA}.\frac{FA}{FC}.\frac{NC}{NO}=1$ (4) Vì OB = OC và OM = ON nên MB = NC, do đó từ (3) và (4) $\Rightarrow $ $\frac{EA}{EB}=\frac{FA}{FC}$ Theo định lý Ta-let đảo $\Rightarrow $ EF song song với BC. Bài 83: Cho tam giác ABC cân tại A. Điểm M chuyển động trên cạnh BC. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho tứ giác ADME là hình bình hành. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua M và vuông góc với DE luôn đi qua một điểm cố định. Giải: Giả sử đường thẳng đi qua M và vuông góc với DE cắt tia phân giác của góc BAC tại K. Gọi J là giao điểm của AM và DE, vì ADME là hình bình hành $\Rightarrow $ JA = JM và JD = JE Gọi N là điểm đối xứng với M qua DE $\Rightarrow $ DE là trung trực của MN $\Rightarrow $ JM = JN Do đó tam giác ANM vuông tại N $\Rightarrow $ AN // DE (cùng vuông góc với MN) Ta lại có EN = DA (cùng bằng EM) $\Rightarrow $ ANDE là hình thang cân Gọi I là trung điểm của AN $\Rightarrow $ IJ là trục đối xứng của hình thang cân ANDE $\Rightarrow $ đường thẳng IJ đi qua trung điểm O của AK $\Rightarrow $ $\Delta $OND = $\Delta $OAE (c-c-c) $\Rightarrow $ $\widehat{OND}=\widehat{OAE}$ Tại lại có $\widehat{OAE}=\widehat{OAD}$ (vì AO là phân giác của góc BAC) Do đó $\widehat{OND}=\widehat{OAD}$ $\Rightarrow $ tứ giác OAND nội tiếp Mà tứ giác ANDE nội tiếp nên tứ giác ADOE nội tiếp $\Rightarrow $ $\widehat{ODA}=\widehat{OEC}$ Do đó $\Delta $ODB = $\Delta $OEA (c-g-c) (vì OD = OE; DB = DM= EA; $\widehat{ODB}=\widehat{OEA}$) $\Rightarrow $ OB = OA Tam giác ABC cân tại A nên AK cũng là trung trực của BC Do đó OA = OB = OC = OK = ON, mà $\widehat{ANK}={{90}^{0}}$ nên AK là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC $\Rightarrow $ K cố định.
