Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 90: Cho tam giác ABC có $\widehat{B}={{60}^{0}}$, $\widehat{C}={{75}^{0}}$, BC = 2cm. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = $\sqrt{2}$cm. Tính số đo của góc BDC. Giải: Gọi E là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh AB và AC $\Rightarrow $ EA = EB = EC $\Rightarrow $ $\Delta $EAB, $\Delta $EBC, $\Delta $ECA là các tam giác cân đỉnh E $\Rightarrow $ $\widehat{EAB}=\widehat{EBA}=x$, $\widehat{EBC}=\widehat{ECB}=y$, $\widehat{ECA}=\widehat{EAC}=z$ Vì $\widehat{B}={{60}^{0}}$, $\widehat{C}={{75}^{0}}$nên x + y = 600; y + z = 750; z + x = 450 $\Rightarrow $ x = 150; y = 450; z = 300. Do đó $\Delta $EBC vuông cân tại E. Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: BC2 = EB2 + EC2 = 2.EB2 $\Rightarrow $ $E{{B}^{2}}=\frac{B{{C}^{2}}}{2}=\frac{{{2}^{2}}}{2}=2$ $\Rightarrow $ $EB=EC=\sqrt{2}$cm. Vậy: AD = EA = $EB=EC=\sqrt{2}$cm $\Rightarrow $ $\Delta $EAD cân tại A, mà $\widehat{EAC}=z={{30}^{0}}$ nên $\widehat{AED}=\widehat{ADE}={{15}^{0}}$ Tam giác CED có $\widehat{ECD}={{30}^{0}}$; $\widehat{EDC}={{15}^{0}}$ $\Rightarrow $ $\widehat{CED}={{135}^{0}}$ Ta có $\widehat{BEC}={{90}^{0}}$ ; $\widehat{CED}={{135}^{0}}$ $\Rightarrow $ $\widehat{BED}={{135}^{0}}$ $\Rightarrow $ $\Delta $BED = $\Delta $CED (c-g-c) $\Rightarrow \widehat{EDB}=\widehat{EDC}={{15}^{0}}$$\Rightarrow $ $\widehat{BDC}={{30}^{0}}$. Bài 91: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Chỉ dùng com pa, hãy dựng trực tâm của tam giác ABC. Giải: Cách dựng: - Vẽ cung tròn (A;R) cắt đường tròn (O;R) tại E. - Vẽ cung tròn (E;R) cắt đường tròn (O;R) tại F. - Vẽ cung tròn (F;R) cắt đường tròn (O;R) tại D. - Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm D, vẽ các cung tròn tâm B bán kính bằng CD và cung tròn tâm C bán kính bằng BD, chúng cắt nhau tại H. Khi đó H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh: Vì AE = EF = FD = R nên AD là đường kính của đường tròn (O;R). Do đó $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}={{90}^{0}}$ (1) Tứ giác BHCD có BH = CD và CH = BD nên BHCD là hình bình hành $\Rightarrow $ BH // DC và CH // DB (2) Từ (1) và (2) $\Rightarrow $ BH $\bot $ AC và CH $\bot $ AB Vậy H là trực tâm của tam giác ABC. Bài 92: Cho tam giác ABC cân tại A. Điểm M chuyển động trên cạnh BC. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho tứ giác ADME là hình bình hành. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua M và vuông góc với DE luôn đi qua một điểm cố định. Giải: Giả sử đường thẳng đi qua M và vuông góc với DE cắt tia phân giác của góc BAC tại K. Gọi J là giao điểm của AM và DE, vì ADME là hình bình hành $\Rightarrow $ JA = JM và JD = JE Gọi N là điểm đối xứng với M qua DE $\Rightarrow $ DE là trung trực của MN $\Rightarrow $ JM = JN Do đó tam giác ANM vuông tại N $\Rightarrow $ AN // DE (cùng vuông góc với MN) Ta lại có EN = DA (cùng bằng EM) $\Rightarrow $ ANDE là hình thang cân Gọi I là trung điểm của AN $\Rightarrow $ IJ là trục đối xứng của hình thang cân ANDE $\Rightarrow $ đường thẳng IJ đi qua trung điểm O của AK $\Rightarrow $ $\Delta $OND = $\Delta $OAE (c-c-c) $\Rightarrow $ $\widehat{OND}=\widehat{OAE}$ Tại lại có $\widehat{OAE}=\widehat{OAD}$ (vì AO là phân giác của góc BAC) Do đó $\widehat{OND}=\widehat{OAD}$ $\Rightarrow $ tứ giác OAND nội tiếp Mà tứ giác ANDE nội tiếp nên tứ giác ADOE nội tiếp $\Rightarrow $ $\widehat{ODA}=\widehat{OEC}$ Do đó $\Delta $ODB = $\Delta $OEA (c-g-c) (vì OD = OE; DB = DM= EA; $\widehat{ODB}=\widehat{OEA}$) $\Rightarrow $ OB = OA Tam giác ABC cân tại A nên AK cũng là trung trực của BC Do đó OA = OB = OC = OK = ON, mà $\widehat{ANK}={{90}^{0}}$ nên AK là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC $\Rightarrow $ K cố định.
