Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 95: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Về phía ngoài tam giác ABC, vẽ các tam giác đều ABD và ACE. Tia đối của các tia AB và AC lần lượt cắt đoạn thẳng DE ở F và G. Tính số đo của góc FHG. Giải: $\Delta $HAB ഗ$\Delta $HCA (g-g) (vì $\widehat{AHB}=\widehat{CHA}={{90}^{0}}$; $\widehat{ABH}=\widehat{HAC}$, cùng phụ với $\widehat{ACB}$) $\Rightarrow \frac{BH}{BA}=\frac{AH}{AC}$ $\Rightarrow \frac{BH}{BD}=\frac{AH}{AE}$ (vì $\Delta $ABD và $\Delta $ACE đều) Ta lại có $\widehat{HBD}=\widehat{HAE}$ (vì $\widehat{ABH}=\widehat{HAC}$ và $\widehat{ABD}=\widehat{CAE}={{60}^{0}}$) Do đó $\Delta $HBD ഗ$\Delta $HAE (c-g-c) $\Rightarrow \widehat{BHD}=\widehat{AHE}$ mà $\widehat{BHD}+\widehat{DHA}={{90}^{0}}$ nên $\widehat{AHE}+\widehat{DHA}={{90}^{0}}$ hay $\widehat{DHE}={{90}^{0}}$. Vì $\Delta $HBD ഗ$\Delta $HAE (c-g-c) $\Rightarrow \frac{HD}{BD}=\frac{HE}{AE}$ $\Rightarrow \frac{HD}{AB}=\frac{HE}{AC}$ (vì $\Delta $ABD và $\Delta $ACE đều) Do đó $\Delta $DHE ഗ$\Delta $BAC (c-g-c) $\Rightarrow \widehat{HDE}=\widehat{ABC}$; $\widehat{HED}=\widehat{ACB}$ Từ đó suy ra các tứ giác BDFH và CEGH nội tiếp đường tròn. $\Rightarrow \widehat{DHF}=\widehat{DBF}={{60}^{0}}$; $\widehat{GHE}=\widehat{GCE}={{60}^{0}}$ Ta lại có $\widehat{DHE}={{90}^{0}}$, do đó $\widehat{DHG}=\widehat{EHF}={{30}^{0}}$ $\Rightarrow \widehat{GHF}={{30}^{0}}$. Bài 96: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trong tam giác ABC lấy điểm D sao cho $\widehat{ADB}={{75}^{0}}$và $\widehat{ADC}={{150}^{0}}$. Tính số đo của góc DAB. Giải: Ta có $\widehat{ADB}+\widehat{ADC}+\widehat{BDC}={{360}^{0}}$, $\widehat{ADB}={{75}^{0}}$ và $\widehat{ADC}={{150}^{0}}$ nên $\widehat{BDC}={{135}^{0}}$. Gọi H là hình chiếu của B trên CD $\Rightarrow \widehat{BDH}={{45}^{0}}$ $\Rightarrow \Delta $BHD vuông cân tại H $\Rightarrow $ HB = HD và $\widehat{DBH}={{45}^{0}}$. Tam giác ABC vuông cân tại A$\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}={{45}^{0}}$ $\Rightarrow \widehat{ABH}=\widehat{CBD}$. Tứ giác AHBC có $\widehat{BAC}=\widehat{BHC}={{90}^{0}}$ nên tứ giác AHBC nội tiếp được đường tròn. $\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{BCH}$. Do đó $\Delta $BHA ഗ$\Delta $BCD (g-g) Tam giác ABC vuông cân tại A, đặt AB = AC = a $\Rightarrow BC=a\sqrt{2}$ Do đó nếu đặt AH = b thì $CD=b\sqrt{2}$ Tứ giác AHBC nội tiếp được đường tròn nên $\widehat{AHC}=\widehat{ABC}={{45}^{0}}$. Ta lại có $\widehat{ADB}={{75}^{0}}$ và $\widehat{BDH}={{45}^{0}}\Rightarrow \widehat{ADH}={{30}^{0}}$. Kẻ AK $\bot $ HD $\Rightarrow \Delta $AKH vuông cân tại K và $\Delta $AKD là nửa tam giác đều Từ đó $\Rightarrow AK=KH=\frac{b}{\sqrt{2}}$ và $AD=b\sqrt{2}$$\Rightarrow AD=CD=b\sqrt{2}$ $\Rightarrow \Delta $ADC cân tại D, mà $\widehat{ADC}={{150}^{0}}$ nên $\widehat{DAC}={{15}^{0}}\Rightarrow \widehat{DAB}={{75}^{0}}$. Bài 97: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm M nằm trong tam giác sao cho $\widehat{MBA}=\widehat{MCB}={{15}^{0}}$. Tính số đo của góc MAC. Giải: Tam giác ABC vuông cân tại A $\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}={{45}^{0}}$ Vì $\widehat{MBA}=\widehat{MCB}={{15}^{0}}$$\Rightarrow \widehat{MBC}=\widehat{MCA}={{30}^{0}}$ Kéo dài BM cắt AC tại N Theo tính chất của góc ngoài tam giác $\Rightarrow \widehat{NMC}=\widehat{MBC}+\widehat{MCB}={{45}^{0}}$ Kẻ NH vuông góc với MC tại H Dễ thấy $\Delta $MHN vuông cân tại H và $\Delta $NHC là nửa tam giác đều. Đặt NH = x $\Rightarrow NM=x\sqrt{2}$; NC = 2x Dễ thấy $\Delta $NCM ഗ$\Delta $NBC (g-g) $\Rightarrow \frac{NC}{NB}=\frac{NM}{NC}\Rightarrow NB.NM=N{{C}^{2}}\Rightarrow NB.x\sqrt{2}=4{{x}^{2}}\Rightarrow NB=2x\sqrt{2}=2.NM$ Do đó M là trung điểm của NB. Tam giác ABN vuông tại A có AM là đường trung tuyến $\Rightarrow MA=MB=MN=\frac{BN}{2}$ Do đó tam giác AMB cân tại M $\Rightarrow \widehat{MAB}=\widehat{MBA}={{15}^{0}}$, mà $\widehat{BAC}={{90}^{0}}$ nên $\widehat{MAC}={{75}^{0}}$.
