Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 25: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại H. Trên AD lấy điểm M sao cho AM = 2.DM và N là trung điểm của BH. Chứng minh : MH vuông góc với NC. (Trích Đề thi TS lớp 10 chuyên TPHCM năm học 2012-2013) Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AN cắt BD tại K. Tam giác ACK có AN $\bot $ CK và KN $\bot $ AC nên N là trực tâm của $\Delta $ACK $\Rightarrow $ CN là đường cao thứ ba hay CN $\bot $ AK (1) Dễ thấy $\Delta $AHN ഗ$\Delta $KHC (g-g) $\Rightarrow $ HA.HC = HK.HN Vì AC và BD là hai dây cung của (O) cắt nhau tại H $\Rightarrow $HA.HC = HB.HD Do đó HK.HN = HB.HD Mà HB = 2.HN nên HK.HN = 2.HN.HD $\Rightarrow $ HK = 2.HD Ta lại có AM = 2.DM nên $\frac{AM}{MD}=\frac{KH}{HD}$ (cùng bằng 2) Theo định lí Ta-lét đảo $\Rightarrow $ MH // AK (2) Từ (1) và (2) suy ra: MH vuông góc với NC. Bài 26: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), một đường thẳng vuông góc với OA cắt AB và AC lần lượt tại M và N (AM < AB, AN < AC). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác AMN và E là trực tâm của tam giác BIC. Chứng minh : ba điểm A, I , E thẳng hàng. Kéo dài AI cắt BC tại D. Vẽ tia tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại A $\Rightarrow $ OA $\bot $ Ax và $\widehat{BAx}=\widehat{ACB}$ (cùng bằng $\frac{1}{2}$sđ$\overset\frown{AB}$) Ta lại có MN $\bot $ OA nên MN // Ax $\Rightarrow $ $\widehat{AMN}=\widehat{BAx}$ (so le trong) Do đó $\widehat{AMN}=\widehat{ACB}$ Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta $AMN nên $\widehat{AIN}=2.\widehat{AMN}$ Do đó $\widehat{AIN}=2.\widehat{ACB}$ Dễ thấy $\Delta $AIN cân tại I (IA = IN) $\Rightarrow $ $\widehat{IAN}=\widehat{INA}$ Ta có $\widehat{AIN}+\widehat{IAN}+\widehat{INA}={{180}^{0}}$ $\Leftrightarrow $ $2.\widehat{ACB}+2.\widehat{IAN}={{180}^{0}}$ $\Leftrightarrow $ $\widehat{ACB}+\widehat{IAN}={{90}^{0}}$ hay $\widehat{ACD}+\widehat{DAC}={{90}^{0}}$ Vậy tam giác ADC vuông tại D hay AI $\bot $ BC tại D (1) Ta lại có E là trực tâm của tam giác BIC nên EI $\bot $ BC (2) Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A, E, I thẳng hàng. Bài 27: Cho đường tròn (O;R), dây cung AB < 2R. Trên AB lấy điểm C bất kỳ. Vẽ đường tròn tâm C bán kính CA và đường tròn tâm C bán kính CB. Hai đường tròn này cắt đường tròn (O) lần lượt tại D và E. Chứng minh: ba điểm C, D, E thẳng hàng. Đường tròn (O;R) và đường tròn (C;CA) cắt nhau tại A và D $\Rightarrow $ OC là đường trung trực của AD (1) Đường tròn (O;R) và đường tròn (C;CB) cắt nhau tại B và E $\Rightarrow $ OC là đường trung trực của BE (2) Từ (1) và (2) suy ra AD // BE $\Rightarrow $ $\widehat{BAD}=\widehat{ABE}$ (so le trong) hay $\widehat{CAD}=\widehat{CBE}$ Ta có $\Delta $ACD và $\Delta $BCE là các tam giác cân tại C, mà $\widehat{CAD}=\widehat{CBE}$ nên $\widehat{ACD}=\widehat{BCE}$. Vì ba điểm A, C, B thẳng hàng nên ba điểm C, D, E thẳng hàng. Bài 28: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm C sao cho AC > BC. Các tiếp tuyến tại A và tại C cắt nhau tại D. Vẽ CH vuông góc với AB tại H và I là trung điểm của AH. Chứng minh: BD vuông góc với IC Gọi E là giao điểm của hai tia AD và BC Ta có $\widehat{ACB}={{90}^{0}}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Ta lại có DA = DC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Tam giác ACE vuông tại C có DA = DC $\Rightarrow $ DA = DE Dễ thấy CH // EA (cùng vuông góc với AB) Áp dụng định lí Ta-lét ta có $\frac{JH}{DA}=\frac{JC}{DE}$ (cùng bằng $\frac{BJ}{BD}$) Mà DA = DE nên JH = JC $\Delta $AHC có IH = IA và JH = JC nên IJ là đường trung bình của $\Delta $AHC $\Rightarrow $ IJ // AC, mà AC $\bot $ BC nên IJ $\bot $ BC. Tam giác ICB có CH $\bot $ IB và IJ $\bot $ BC nên J là trực tâm của $\Delta $ICB, do đó BJ là đường cao thứ ba hay BD vuông góc với CI.
