Một số dạng toán liên quan đến hệ thức Vi-et _ Kì 1

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC
    --------- ---------

    Bài 1:
    Cho phương trình ${{x}^{2}}+px+q=0$ ($p,\,\,q$ là tham số) (1).
    a) Tìm các hệ số $p,\,\,q$ để (1) có hai nghiệm ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ thỏa mãn $\left\{ \begin{align}
    & {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=5 \\
    & x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=35 \\
    \end{align} \right.$.
    b) Tìm các hệ số $p,\,\,q$ để (1) có các nghiệm ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ là số nguyên, biết rằng $p+q=11$.
    Lời giải:
    a) Phương trình (1) có hai nghiệm ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ khi và chỉ khi ${{p}^{2}}\ge 4q$ (*)

    Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{align}
    & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-p \\
    & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=q \\
    \end{align} \right.$ .

    Ta có $\left\{ \begin{align}
    & {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=5 \\
    & x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=35 \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=5 \\
    & {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{3}}+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)=35 \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=5 \\
    & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-6 \\
    \end{align} \right.$

    Ta có $\left\{ \begin{align}
    & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-p \\
    & {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=5 \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & 2{{x}_{1}}=-p+5 \\
    & 2{{x}_{2}}=-p-5 \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & {{x}_{1}}=\frac{-p+5}{2} \\
    & {{x}_{2}}=\frac{-p-5}{2} \\
    \end{align} \right.$
    Do đó ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=-6\Leftrightarrow \frac{-p+5}{2}.\frac{-p-5}{2}=-6\Leftrightarrow 25-{{p}^{2}}=24\Leftrightarrow {{p}^{2}}=1\Leftrightarrow p=\pm 1$.
    · Với $p=1$ thì ${{x}_{1}}=2$, ${{x}_{2}}=-3$ khi đó $q=-6$ (thỏa mãn điều kiện (*)).
    · Với $p=-1$ thì ${{x}_{1}}=3$, ${{x}_{2}}=-2$ khi đó $q=-6$ (thỏa mãn điều kiện (*)).
    Vậy có 2 cặp số $\left( p,\,\,q \right)$ thỏa mãn đề bài là $\left( 1;\,\,-6 \right)$, $\left( -1;\,\,-6 \right)$.

    b) Phương trình (1) có hai nghiệm ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ khi và chỉ khi ${{p}^{2}}\ge 4q$ (*)
    Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{align}
    & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-p \\
    & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=q \\
    \end{align} \right.$ .
    Vì $p+q=11$ nên ${{x}_{1}}{{x}_{2}}-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}=11\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}-1 \right)\left( {{x}_{2}}-1 \right)=12$.
    Vì ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\in \mathbb{Z}$ và vai trò của ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ như nhau nên ta có các trường hợp sau:
    · $\left\{ \begin{align}
    · & {{x}_{1}}-1=1 \\
    · & {{x}_{2}}-1=12 \\
    · \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    · & {{x}_{1}}=2 \\
    · & {{x}_{2}}=13 \\
    · \end{align} \right.$, khi đó $\left\{ \begin{align}
    · & p=-15 \\
    · & q=26 \\
    · \end{align} \right.$ (thỏa mãn điều kiện (*)).
    · $\left\{ \begin{align}
    · & {{x}_{1}}-1=-1 \\
    · & {{x}_{2}}-1=-12 \\
    · \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    · & {{x}_{1}}=0 \\
    · & {{x}_{2}}=-11 \\
    · \end{align} \right.$, khi đó \[\left\{ \begin{align}
    · & p=11 \\
    · & q=0 \\
    · \end{align} \right.\] (thỏa mãn điều kiện (*)).
    · $\left\{ \begin{align}
    · & {{x}_{1}}-1=2 \\
    · & {{x}_{2}}-1=6 \\
    · \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    · & {{x}_{1}}=3 \\
    · & {{x}_{2}}=7 \\
    · \end{align} \right.$, khi đó $\left\{ \begin{align}
    · & p=-10 \\
    · & q=21 \\
    · \end{align} \right.$ (thỏa mãn điều kiện (*)).
    · $\left\{ \begin{align}
    · & {{x}_{1}}-1=-2 \\
    · & {{x}_{2}}-1=-6 \\
    · \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    · & {{x}_{1}}=-1 \\
    · & {{x}_{2}}=-5 \\
    · \end{align} \right.$, khi đó $\left\{ \begin{align}
    · & p=6 \\
    · & q=5 \\
    · \end{align} \right.$ (thỏa mãn điều kiện (*)).
    · $\left\{ \begin{align}
    · & {{x}_{1}}-1=3 \\
    · & {{x}_{2}}-1=4 \\
    · \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    · & {{x}_{1}}=4 \\
    · & {{x}_{2}}=5 \\
    · \end{align} \right.$, khi đó $\left\{ \begin{align}
    · & p=-9 \\
    · & q=20 \\
    · \end{align} \right.$ (thỏa mãn điều kiện (*)).
    · $\left\{ \begin{align}
    · & {{x}_{1}}-1=-3 \\
    · & {{x}_{2}}-1=-4 \\
    · \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    · & {{x}_{1}}=-2 \\
    · & {{x}_{2}}=-3 \\
    · \end{align} \right.$, khi đó $\left\{ \begin{align}
    · & p=5 \\
    · & q=6 \\
    · \end{align} \right.$ (thỏa mãn điều kiện (*)).
    Vậy tìm được 6 cặp số $\left( p,\,\,q \right)$ là $\left( -15;\,\,26 \right)$, $\left( 11;\,\,0 \right)$, $\left( -10;\,\,21 \right)$, $\left( 6;\,\,5 \right)$, $\left( -9;\,\,20 \right)$, $\left( 5;\,\,6 \right)$.


    Bài 2:
    Cho phương trình ${{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x+5m-6=0$ ($m$ là tham số) (1).
    Với giá trị nào của $m$ thì phương trình (1) có hai nghiệm ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ sao cho:
    a) $4{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=1$.
    b) $A=x_{1}^{2}{{x}_{2}}+x_{2}^{2}{{x}_{1}}$ đạt giá trị lớn nhất.
    Lời giải:
    a) Phương trình (1) có nghiệm khi $\Delta \ge 0\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}-4\left( 5m-6 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-22m+25\ge 0$ (*)
    Áp dụng hệ thức Vi-et ta có $\left\{ \begin{align}
    & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1-m \\
    & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=5m-6 \\
    \end{align} \right.$
    Giải hệ $\left\{ \begin{align}
    & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1-m \\
    & 4{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=1 \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & 3{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=3-3m \\
    & 4{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=1 \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & {{x}_{1}}=3m-2 \\
    & {{x}_{2}}=3-4m \\
    \end{align} \right.$
    Do đó ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=5m-6\Leftrightarrow \left( 3m-2 \right)\left( 3-4m \right)=5m-6\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
    & m=0 \\
    & m=1 \\
    \end{align} \right.$ (tmđk (*)).
    Vậy $m=0$ hoặc $m=1$.

    b) Phương trình (1) có nghiệm khi $\Delta \ge 0\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}-4\left( 5m-6 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-22m+25\ge 0$ (*)
    Áp dụng hệ thức Vi-et ta có $\left\{ \begin{align}
    & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1-m \\
    & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=5m-6 \\
    \end{align} \right.$
    Do đó $x_{1}^{2}{{x}_{2}}+x_{2}^{2}{{x}_{1}}={{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)$
    $\begin{align}
    & =\left( 5m-6 \right)\left( 1-m \right) \\
    & =-5{{m}^{2}}+11m-6 \\
    & =-5\left( {{m}^{2}}-\frac{11}{5}m+\frac{6}{5} \right) \\
    \end{align}$
    $\begin{align}
    & =-5\left[ {{\left( m-\frac{11}{10} \right)}^{2}}-\frac{1}{100} \right] \\
    & =\frac{1}{20}-5{{\left( m-\frac{11}{10} \right)}^{2}}\le \frac{1}{20}. \\
    \end{align}$
    Dấu “=” xảy ra khi $5{{\left( m-\frac{11}{10} \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow m=\frac{11}{10}$ (thỏa mãn điều kiện (*)).
    Vậy $max\,\,A=\frac{1}{20}$ đạt được tại $m=\frac{1}{20}$.


    Bài 3:
    Cho phương trình ${{x}^{2}}-\left( m-2 \right)x-{{m}^{2}}+3m-4=0$ ($m$ là tham số) (1).
    a) Chứng minh rằng phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ với mọi $m$.
    b) Tìm $m$ để tỉ số giữa hai nghiệm của phương trình (1) có giá trị tuyệt đối bằng 2.
    c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ độc lập đối với $m$.
    Lời giải:
    a) Phương trình (1) có:
    $\Delta ={{\left[ -\left( m-2 \right) \right]}^{2}}-4.1.\left( -{{m}^{2}}+3m-4 \right)=5{{m}^{2}}-16m+20=5{{\left( m-\frac{8}{5} \right)}^{2}}+\frac{36}{5}>0,\,\,\forall m$.
    Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ với mọi $m$.

    b) Theo Vi-et ta có $\left\{ \begin{align}
    & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m-2 \\
    & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-{{m}^{2}}+3m-4 \\
    \end{align} \right.$
    Vì tỉ số giữa hai nghiệm của phương trình (1) có giá trị tuyệt đối bằng 2
    $\Rightarrow \left| \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}} \right|=2\Rightarrow \frac{x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}}=4$ $\Rightarrow x_{1}^{2}=4x_{2}^{2}$ $\Rightarrow \left[ \begin{align}
    & {{x}_{1}}=2{{x}_{2}} \\
    & {{x}_{1}}-2{{x}_{2}} \\
    \end{align} \right.$.
    Trường hợp 1:
    Giải hệ $\left\{ \begin{align}
    & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m-2 \\
    & {{x}_{1}}=2{{x}_{2}} \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & 3{{x}_{2}}=m-2 \\
    & {{x}_{1}}=2{{x}_{2}} \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & {{x}_{2}}=\frac{m-2}{3} \\
    & {{x}_{1}}=\frac{2m-4}{3} \\
    \end{align} \right.$
    Do đó ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=-{{m}^{2}}+3m-4\Leftrightarrow \frac{m-2}{3}.\frac{2m-4}{3}=-{{m}^{2}}+3m-4$
    $\Leftrightarrow 11{{m}^{2}}-35m+44=0$ có $\Delta ={{\left( -35 \right)}^{2}}-4.11.44=-711<0$, phương trình vô nghiệm.
    Trường hợp 2:
    Giải hệ $\left\{ \begin{align}
    & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m-2 \\
    & {{x}_{1}}=-2{{x}_{2}} \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & -{{x}_{2}}=m-2 \\
    & {{x}_{1}}=-2{{x}_{2}} \\
    \end{align} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & {{x}_{2}}=2-m \\
    & {{x}_{1}}=2m-4 \\
    \end{align} \right.$
    Do đó ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=-{{m}^{2}}+3m-4\Leftrightarrow \left( 2-m \right)\left( 2m-4 \right)=-{{m}^{2}}+3m-4$
    $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-5m+4=0$ có $a+b+c=1-5+4=0$, phương trình có hai nghiệm $\left[ \begin{align}
    & m=1 \\
    & m=4 \\
    \end{align} \right.$.

    c) Theo Vi-et ta có $\left\{ \begin{align}
    & S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m-2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\
    & P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=-{{m}^{2}}+3m-4\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\
    \end{align} \right.$
    Ta có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow m=S+2\,\,\,\left( 3 \right)$, thay (3) vào (2) ta được:
    $P=-{{\left( S+2 \right)}^{2}}+3\left( S+2 \right)-4\Leftrightarrow {{S}^{2}}+S+P+2=0$
    Vậy hệ thức cần tìm là ${{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2=0$.