Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 28: a) Tìm m để phương trình x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn điều kiện $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\le 10$. b) Tìm m để phương trình x4 – 2x3 + 2(m + 1)x2 – (2m + 1)x + m(m + 1) = 0 có 4 nghiệm phân biệt. Giải: a) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi: $\Delta ={{\left( 3m-1 \right)}^{2}}-4\left( 2{{m}^{2}}-m \right)={{m}^{2}}-2m+1={{\left( m-1 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow m-1\ne 0\Leftrightarrow m\ne 1$. Khi đó phương trình có hai nghiệm là: $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{3m-1+m-1}{2}=2m-1 \\ & {{x}_{2}}=\frac{3m-1-m+1}{2}=m \\ \end{align} \right.$. Do đó $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\le 10\Leftrightarrow \left| 2m-1-m \right|\le 10\Leftrightarrow \left| m-1 \right|\le 10\Leftrightarrow -10\le m-1\le 10\Leftrightarrow -9\le m\le 11$. Vậy với $-9\le m\le 11$ và $m\ne 1$ thì $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\le 10$. b) Ta có x4 – 2x3 + 2(m + 1)x2 – (2m + 1)x + m(m + 1) = 0 $\Leftrightarrow $ x4 – 2x3 + 2mx2 + 2x2 – 2mx – x + m2 + m = 0 $\Leftrightarrow $ m2 + (2x2 – 2x + 1)m + x4 – 2x3 + 2x2 – x = 0 (*) Ta coi phương trình (*) là phương trình bậc hai ẩn m. Có $\Delta $ = (2x2 – 2x + 1)2 – 4(x4 – 2x3 + 2x2 – x) = 4x4 + 4x2 + 1 – 8x3 – 4x + 4x2 – 4x4 + 8x3 – 8x2 + 4x = 1. Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là $\left[ \begin{align} & m=\frac{-2{{x}^{2}}+2x-1+1}{2}=-{{x}^{2}}+x \\ & m=\frac{-2{{x}^{2}}+2x-1-1}{2}=-{{x}^{2}}+x-1 \\ \end{align} \right.$. Do đó phương trình đã cho tương đương với: (x2 – x + m)(x2 – x + m + 1) = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}^{2}}-x+m=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ & {{x}^{2}}-x+m+1=0\,\,\,\,\,(2) \\ \end{align} \right.$. Dễ thấy hai phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung. Do đó phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi (1) và (2) đều có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{\Delta }_{1}}>0 \\ & {{\Delta }_{2}}>0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 1-4m>0 \\ & 1-4\left( m+1 \right)>0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m<\frac{1}{4} \\ & m<-\frac{3}{4} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow m<-\frac{3}{4}$. Vậy với $m<-\frac{3}{4}$ thì phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt. Bài 29: a) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì phương trình (ẩn x): c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = 0 vô nghiệm. b) Định m để phương trình (m – 2)x2 + 2(m – 1)x + m + 4 = 0 có các nghiệm là số nguyên. Giải: a) Phương trình (ẩn x): cx2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = 0 Có $\Delta ={{\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right)}^{2}}-4{{b}^{2}}{{c}^{2}}$ $\begin{align} & =\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}-2bc \right)\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}+2bc \right) \\ & =\left[ {{a}^{2}}-{{\left( b+c \right)}^{2}} \right]\left[ {{a}^{2}}-{{\left( b-c \right)}^{2}} \right] \\ & =\left( a+b+c \right)\left( a-b-c \right)\left( a+b-c \right)\left( a-b+c \right) \\ \end{align}$ Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác, ta có: $\left\{ \begin{align} & b+c>a>0 \\ & a+b>c>0 \\ & c+a>b>0 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a-b-c<0 \\ & a+b-c>0 \\ & a-b+c>0 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \Delta =\left( a+b+c \right)\left( a-b-c \right)\left( a+b-c \right)\left( a-b+c \right)>0$. Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi a, b, c. b) Với m = 2 thì phương trình đã cho trở thành $2x+6=0\Leftrightarrow x=-3\in \mathbb{Z}$. Với $m\ne 2$ thì phương trình (m – 2)x2 + 2(m – 1)x + m + 4 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có nghiệm khi \[\Delta '={{\left( m-1 \right)}^{2}}-\left( m-2 \right)\left( m+4 \right)=-4m+9\ge 0\Leftrightarrow m\le \frac{9}{4}\]. Do đó với $m\le \frac{9}{4}$ và $m\ne 2$ thì phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn: $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{2\left( 1-m \right)}{m-2}=\frac{-2\left( m-2 \right)-2}{m-2}=-2-\frac{2}{m-2} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m+4}{m-2}=\frac{\left( m-2 \right)+6}{m-2}=1+\frac{6}{m-2} \\ \end{align} \right.$ (theo hệ thức Vi-ét). Suy ra ${{x}_{1}}{{x}_{2}}+3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=-5\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}+3 \right)\left( {{x}_{2}}+3 \right)=4$ (*). Vì ${{x}_{1}}\,\,;\,\,{{x}_{2}}\in \mathbb{Z}$ và do tính đối xứng của x1 ; x2 nên từ (*) ta có các khả năng sau: $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+3=1 \\ & {{x}_{2}}+3=4 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=-2 \\ & {{x}_{2}}=1 \\ \end{align} \right.$, khi đó tính được m = 0. $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+3=-1 \\ & {{x}_{2}}+3=-4 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=-4 \\ & {{x}_{2}}=-7 \\ \end{align} \right.$, khi đó tính được $m=\frac{20}{9}$. $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+3=2 \\ & {{x}_{2}}+3=2 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=-1 \\ & {{x}_{2}}=-1 \\ \end{align} \right.$, khi đó không tồn tại giá trị của m. $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+3=-2 \\ & {{x}_{2}}+3=-2 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=-5 \\ & {{x}_{2}}=-5 \\ \end{align} \right.$, khi đó tính được $m=\frac{9}{4}$. Tóm lại với $m\in \left\{ 0\,\,;\,\,2\,\,;\,\,\frac{20}{9}\,\,;\,\,\frac{9}{4} \right\}$ thì phương trình đã cho có các nghiệm là số nguyên. Bài 30: Cho phương trình x2 – 5mx – 4m = 0 (1). Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của (1). Chứng minh $x_{1}^{2}+5m{{x}_{2}}-4m>0$. Giải: Vì x1 là nghiệm của (1) nên ta có $x_{1}^{2}-5m{{x}_{1}}-4m=0\Rightarrow x_{1}^{2}-4m=5m{{x}_{1}}$. Do đó $x_{1}^{2}+5m{{x}_{2}}-4m=5m{{x}_{1}}+5m{{x}_{2}}=5m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)$. Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=5m$. Do đó $x_{1}^{2}+5m{{x}_{2}}-4m=5m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=25{{m}^{2}}$. Vì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt nên $m\ne 0$, do đó 25m2 > 0. Vậy $x_{1}^{2}+5m{{x}_{2}}-4m>0$.
