Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 4: Cho phương trình $\left( m-1 \right){{x}^{2}}-2mx+m-4=0$ ($m$ là tham số) (1). a) Với giá trị nào của $m$ thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất? b) Gọi ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình (1). Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ không phụ thuộc vào $m$. Lời giải: a) Nếu $m-1=0$ hay $m=1$ thì (1) trở thành $-2x-3=0\Leftrightarrow x=-\frac{3}{2}$. Nếu $m-1\ne 0$ hay $m\ne 1$ thì (1) là phương trình bậc hai ẩn $x$. Do đó (1) có nghiệm duy nhất khi $\Delta '=0\Leftrightarrow {{\left( -m \right)}^{2}}-\left( m-1 \right)\left( m-4 \right)=0\Leftrightarrow 5m-4=0\Leftrightarrow m=\frac{4}{5}$ (thỏa mãn $m\ne 1$). Vậy $m=1$ hoặc $m=\frac{4}{5}$ thì (1) có nghiệm duy nhất. b) Vì ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình (1) Theo Vi-et ta có $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{2m}{m-1}=2+\frac{2}{m-1} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m-4}{m-1}=1-\frac{3}{m-1} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=6+\frac{6}{m-1}\,\,\,\,\left( * \right) \\ & 2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=2-\frac{6}{m-1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( ** \right) \\ \end{align} \right.$. Cộng (*) và (**) VTV ta được $3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=8$ là hệ thức cần tìm. Bài 5: Cho phương trình $\left( m-2 \right){{x}^{2}}+2\left( m-4 \right)x+\left( m-4 \right)\left( m+2 \right)=0$ ($m$ là tham số) (1). a) Với giá trị nào của $m$ thì (1) có nghiệm kép? b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ của (1) không phụ thuộc vào $m$. c) Tính theo $m$ giá trị biểu thức $A=\frac{1}{{{x}_{1}}+1}+\frac{1}{{{x}_{2}}+1}$ với ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của (1). Lời giải: a) Phương trình (1) có nghiệm kép khi: $\left\{ \begin{align} & m-2\ne 0 \\ & \Delta '=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\ne 2 \\ & {{\left( m-4 \right)}^{2}}-\left( m-2 \right)\left( m-4 \right)\left( m+2 \right)=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\ne 2 \\ & \left( m-4 \right)\left( m-{{m}^{2}} \right)=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=4 \\ & m=0 \\ & m=1 \\ \end{align} \right.$ b) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{align} & S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-2\left( m-4 \right)}{m-2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right) \\ & P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{\left( m-4 \right)\left( m+2 \right)}{m-2}\,\,\,\,\left( ** \right) \\ \end{align} \right.$ Ta có $\left( * \right)\Leftrightarrow S\left( m-2 \right)=-2\left( m-4 \right)\Leftrightarrow Sm-2S=-2m+8\Leftrightarrow m=\frac{2S+8}{S+2}\,\,\,\left( *** \right)$. Thay (***) vào (**) ta được: $P=\frac{\left( \frac{2S+8}{S+2}-4 \right)\left( \frac{2S+8}{S+2}+2 \right)}{\frac{2S+8}{S+2}-2}=\frac{{{\left( \frac{2S+8}{S+2} \right)}^{2}}-\frac{4S+16}{S+2}-8}{\frac{2S+8}{S+2}-2}=\frac{2{{S}^{2}}+6S}{2-S}$ $\Leftrightarrow 2{{S}^{2}}+SP+6S-2P=0\Leftrightarrow 2{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+6\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=0$. c) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{align} & S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-2\left( m-4 \right)}{m-2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right) \\ & P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{\left( m-4 \right)\left( m+2 \right)}{m-2}\,\,\,\,\left( ** \right) \\ \end{align} \right.$ Do đó:$A=\frac{1}{{{x}_{1}}+1}+\frac{1}{{{x}_{2}}+1}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+1}=\frac{\frac{-2\left( m-4 \right)}{m-2}+2}{\frac{\left( m-4 \right)\left( m+2 \right)}{m-2}-\frac{2\left( m-4 \right)}{m-2}+1}=\frac{4}{{{m}^{2}}-3m-2}$. Bài 6: Cho phương trình ${{x}^{2}}-2\left( m+2 \right)x+2m+3=0$ ($m$ là tham số) (1). a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi $m$. b) Gọi ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ là 2 nghiệm của phương trình (1). Chứng minh ${{x}_{1}}\left( 2-{{x}_{2}} \right)+{{x}_{2}}\left( 2-{{x}_{1}} \right)=2$. c) Tìm $m$ sao cho $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=50$. Lời giải: a) Phương trình (1) có: $a+b+c=1-2\left( m+2 \right)+2m+3=1-2m-4+2m+3=0$. Vậy phương trình (1) có hai nghiệm ${{x}_{1}}=1$, ${{x}_{2}}=2m+3$ với mọi $m$. Nhận xét: Ta có thể chứng minh phương trình (1) có $\Delta '\ge 0$ với mọi $m$. b) Ta có: $\begin{align} & \,\,\,\,\,{{x}_{1}}\left( 2-{{x}_{2}} \right)+{{x}_{2}}\left( 2-{{x}_{1}} \right) \\ & =2{{x}_{1}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2{{x}_{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}} \\ & =2{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \\ & =2.1+2\left( 2m+3 \right)-2.1.\left( 2m+3 \right)=2. \\ \end{align}$ Vậy ${{x}_{1}}\left( 2-{{x}_{2}} \right)+{{x}_{2}}\left( 2-{{x}_{1}} \right)=2$. Nhận xét: Ta có thể áp dụng hệ thức Vi-ét để giải câu b). c) Ta có $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=50$ $ \Leftrightarrow {{1}^{2}}+{{\left( 2m+3 \right)}^{2}}=50 $ $ \Leftrightarrow {{\left( 2m+3 \right)}^{2}}=49 $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2m+3=7 \\ & 2m+3=-7 \\ \end{align} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=2 \\ & m=-5 \\ \end{align} \right. $ Nhận xét: Ta có thể áp dụng hệ thức Vi-ét để giải câu c).
