Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 7: Cho phương trình $m{{x}^{2}}-2\left( m+2 \right)x+m=0$ (có ẩn là $x$) (1). a) Định $m$ để phương trình (1) có nghiệm. b) Định $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt đều âm. c) Gọi ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$. Lời giải: a) Nếu $m=0$ thì (1) trở thành $-4x=0\Leftrightarrow x=0$. Nếu $m\ne 0$ thì (1) là phương trình bậc hai ẩn $x$. Phương trình (1) có nghiệm khi: $\Delta '\ge 0\Leftrightarrow {{\left[ -\left( m+2 \right) \right]}^{2}}-m.m\ge 0\Leftrightarrow 4m+4\ge 0\Leftrightarrow m\ge -1$. Tóm lại: Khi $m\ge -1$ thì phương trình (1) có nghiệm. b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt đều âm khi: $\left\{ \begin{align} & m\ne 0 \\ & \Delta '>0 \\ & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}<0 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}>0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\ne 0 \\ & m>-1 \\ & \frac{m+2}{m}<0 \\ & \frac{m}{m}>0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\ne 0 \\ & m>-1 \\ & -2<m<0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow -1<m<0$. c) Theo câu a) thì phương trình (1) có nghiệm khi $m\ge -1$ và $m\ne 0$. Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{2\left( m+2 \right)}{m}=\frac{2m+4}{m} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m}{m}=1 \\ \end{align} \right.$ Ta có $A=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\ge 2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=2$, dấu “=” xảy ra khi ${{x}_{1}}={{x}_{2}}\Leftrightarrow \Delta '=0\Leftrightarrow m=-1$. Vậy $min\,A=2$ đạt được tại $m=-1$. Bài 8: Cho phương trình $\left( m+1 \right){{x}^{2}}+2\left( 1-m \right)x+m-2=0$ ($m$ là tham số) (1). a) Định $m$ để phương trình (1) có nghiệm. b) Định $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ thỏa mãn $3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=5{{x}_{1}}{{x}_{2}}$. c) Định $m$ để phương trình (1) có nghiệm là số nguyên. Lời giải: a) Nếu $m+1=0$ hay $m=-1$ thì (1) trở thành $4x-3=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{4}$. Nếu $m+1\ne 0$ hay $m\ne -1$ thì (1) là phương trình bậc hai ẩn $x$. Phương trình (1) có nghiệm khi: $\Delta '\ge 0\Leftrightarrow {{\left( 1-m \right)}^{2}}-\left( m+1 \right)\left( m-2 \right)\ge 0\Leftrightarrow -m+3\ge 0\Leftrightarrow m\le 3$. Tóm lại: Khi $m\le 3$ thì phương trình (1) có nghiệm. b) Theo câu a) phương trình (1) có hai nghiệm ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ khi $m\le 3$ và $m\ne -1$. Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-2\left( 1-m \right)}{m+1}=\frac{2m-2}{m+1} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m-2}{m+1} \\ \end{align} \right.$ Do đó $3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=5{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ $\Leftrightarrow \frac{3\left( 2m-2 \right)}{m+1}=\frac{5\left( m-2 \right)}{m+1}$ $ \Leftrightarrow 3\left( 2m-2 \right)=5\left( m-2 \right) $ $ \Leftrightarrow 6m-6=5m-10 $ $\Leftrightarrow m=-4$ (thỏa mãn điều kiện $m\le 3$ và $m\ne -1$). c) Khi $m=-1$ thì phương trình (1) có nghiệm $x=\frac{3}{4}\notin \mathbb{Z}$. Theo câu a) phương trình (1) có hai nghiệm ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ khi $m\le 3$ và $m\ne -1$. Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-2\left( 1-m \right)}{m+1}=\frac{2m-2}{m+1}=2-\frac{4}{m+1} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m-2}{m+1}=1-\frac{3}{m+1} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=6-\frac{12}{m+1}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & 4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=4-\frac{12}{m+1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$ Lấy (2) trừ (1) VTV ta được: $4{{x}_{1}}{{x}_{2}}-3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=-2$ $\begin{align} & \Leftrightarrow 4{{x}_{1}}{{x}_{2}}-3{{x}_{1}}-3{{x}_{2}}=-2 \\ & \Leftrightarrow 16{{x}_{1}}{{x}_{2}}-12{{x}_{1}}-12{{x}_{2}}=-8 \\ & \Leftrightarrow 4{{x}_{1}}\left( 4{{x}_{2}}-3 \right)-3\left( 4{{x}_{2}}-3 \right)=1 \\ & \Leftrightarrow \left( 4{{x}_{1}}-3 \right)\left( 4{{x}_{2}}-3 \right)=1 \\ \end{align}$ Vì ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\in \mathbb{Z}$ nên ta có hai trường hợp sau: · $\left\{ \begin{align} · & 4{{x}_{1}}-3=1 \\ · & 4{{x}_{2}}-3=1 \\ · \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} · & 4{{x}_{1}}=4 \\ · & 4{{x}_{2}}=4 \\ · \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} · & {{x}_{1}}=1 \\ · & {{x}_{2}}=1 \\ · \end{align} \right.$ , không tìm được giá trị tương ứng của $m$. · $\left\{ \begin{align} · & 4{{x}_{1}}-3=-1 \\ · & 4{{x}_{2}}-3=-1 \\ · \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} · & 4{{x}_{1}}=2 \\ · & 4{{x}_{2}}=2 \\ · \end{align} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} · & {{x}_{1}}=\frac{1}{2}\notin \mathbb{Z} \\ · & {{x}_{2}}=\frac{1}{2}\notin \mathbb{Z} \\ · \end{align} \right.$ (loại). Tóm lại: Không có giá trị nào của $m$ để phương trình (1) có nghiệm nguyên. Bài 9: Cho phương trình $2{{x}^{2}}+mx+2n+8=0$ ($x$ là ẩn, $m$ và $n$ là các số nguyên) (1). a) Định $m$ và $n$ để phương trình (1) có các nghiệm đều là số nguyên, biết $m+n=11$. b) Giả sử phương trình (1) có các nghiệm đều là số nguyên. Chứng minh rằng ${{m}^{2}}+{{n}^{2}}$ là hợp số. Lời giải: a) Phương trình (1) có nghiệm khi: $\Delta \ge 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8\left( 2n+8 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-16n-64\ge 0$ (*). Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{m}{2} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{2n+8}{2}=n+4 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=-m \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=n+4 \\ \end{align} \right.$ Vì $m+n=11$ nên ${{x}_{1}}{{x}_{2}}-2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=15\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}-2 \right)\left( {{x}_{2}}-2 \right)=19$ Vì ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\in \mathbb{Z}$ và vai trò của ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ như nhau nên ta có các trường hợp sau: $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}-2=1 \\ & {{x}_{2}}-2=19 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=3 \\ & {{x}_{2}}=21 \\ \end{align} \right.$, từ đó tính được $m=-48$, $n=59$ (tmđk (*)). $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}-2=-1 \\ & {{x}_{2}}-2=-19 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=1 \\ & {{x}_{2}}=-17 \\ \end{align} \right.$, từ đó tính được $m=32$, $n=-21$ (tmđk (*)). Vậy có hai cặp số nguyên $\left( m,\,\,n \right)$ thỏa mãn đề bài là $\left( -48,\,\,59 \right)$, $\left( 32,\,\,-21 \right)$. b) Phương trình (1) có nghiệm khi: $\Delta \ge 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8\left( 2n+8 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-16n-64\ge 0$ (*). Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{m}{2} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{2n+8}{2}=n+4 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m=-2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right) \\ & n={{x}_{1}}{{x}_{2}}-4 \\ \end{align} \right.$ Do đó ${{m}^{2}}+{{n}^{2}}={{\left[ -2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right) \right]}^{2}}+{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}-4 \right)}^{2}}$ $=4x_{1}^{2}+8{{x}_{1}}{{x}_{2}}+4x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}^{2}-8{{x}_{1}}{{x}_{2}}+16$ $=4x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}^{2}+16$ $=\left( x_{1}^{2}+4 \right)\left( x_{2}^{2}+4 \right)$. Vì ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\in \mathbb{Z}$ nên $x_{1}^{2}+4$ và $x_{2}^{2}+4$ đều là số tự nhiên lớn hơn 1. Vậy ${{m}^{2}}+{{n}^{2}}$ là hợp số.
