Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 10: Cho phương trình x2−2(m−1)x+3m2+2m+1=0 (m là tham số) (1). Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình (1). a) Định m để biểu thức A=x21+x22−x1x2 đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó. b) Tìm phương trình bậc hai có hai nghiệm là y1=1x1+1,y2=1x2+1. Lời giải: a) Phương trình (1) có nghiệm khi :Δ′≥0⇔(m−1)2−(3m2+2m+1)≥0⇔m(m+2)≤0⇔−2≤m≤0. Áp dụng hệ thức Vi-et ta có {x1+x2=2(m−1)x1x2=3m2+2m+1 Do đó A=x21+x22−x1x2 A=(x1+x2)2−3x1x2 A=(2m−2)2−3(3m2+2m+1)A=4m2−8m+4−9m2−6m−3A=−5m2−14m+1A=−5(m2+145m−15)=−5[(m+75)2−5425]=545−5(m+75)2≤545 Dấu “=” xảy ra khi 5(m+75)2=0⇔m+75=0⇔m=−75 (tmđk −2≤m≤0). Vậy maxA=545 đạt được tại m=−75. b) Phương trình (1) có nghiệm khi :Δ′≥0⇔(m−1)2−(3m2+2m+1)≥0⇔m(m+2)≤0⇔−2≤m≤0. Áp dụng hệ thức Vi-et ta có {x1+x2=2(m−1)x1x2=3m2+2m+1 Ta có y1+y2=1x1+1+1x2+1=x1+x2+2(x1+1)(x2+1)=x1+x2+2x1x2+x1+x2+1 ⇒y1+y2=2m−23m2+2m+1+2m−2+1=2m−23m2+4m (*) Ta có y1y2=1x1+1.1x2+1=1(x1+1)(x2+1)=1x1x2+x1+x2+1 ⇒y1.y2=13m2+2m+1+2m−2+1=13m2+4m (**) Từ (*) và (**) suy ra y1,y2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai (ẩn y): y2−2m−23m2+4m.y+13m2+4m=0 hay (3m2+4m)y2−2(m−1)y+1=0 (m≠0,m≠−43) Bài 11: Cho phương trình (ẩn x): x2+(m−1)x−6=0 (1) a) Chứng minh rằng phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 với mọi m. b) Tìm m để biểu thức A=(x21−4)(x22−9) đạt giá trị lớn nhất. Lời giải: a) Phương trình (1) có: ac=1.(−6)=−6<0, suy ra a,c trái dấu. Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 trái dấu với mọi m. b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 trái dấu với mọi m. Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có {x1+x2=1−mx1x2=−6 Ta có A=(x21−9)(x22−4)=x21x22−4x21−9x22+36=(x1x2+6)2−(2x1+3x2)2 Do đó A=(−6+6)2−(2x1+3x2)2=−(2x1+3x2)2≤0. A=0⇔{2x1+3x2=0x1x2=−6x1+x2=1−m ⇔{x1=3x2=−2m=0 hoặc {x1=−3x2=2m=2 . Vậy maxA=0 đạt được tại m=0 hoặc m=2. Bài 12: Cho phương trình (ẩn x): x2−2(m+2)x+3m+2=0 (1). a) Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 với mọi m. b) Tìm m sao cho x2=2x1+3. c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1,x2 không phụ thuộc vào m. Lời giải: a) Phương trình (1) có: Δ′=(m+2)2−(3m+2)=m2+4m+4−3m−2=m2+m+2=(m+12)2+74>0∀m. Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 với mọi m. b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 với mọi m. Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có {x1+x2=2(m+2)x1x2=3m+2 Giải hệ {x1+x2=2(m+2)x2=2x1+3 ⇔{3x1+3=2(m+2)x2=2x1+3 ⇔{x1=2m+13x2=4m+113 Do đó x1x2=3m+2⇔2m+13.4m+113=3m+2⇔8m2−m−7=0⇔[m=1m=−78. c) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 với mọi m. Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có {x1+x2=2(m+2)x1x2=3m+2 ⇔{3(x1+x2)=6m+12(∗)2x1x2=6m+4(∗∗) Lấy (*) trừ (**) VTV ta được 3(x1+x2)−2x1x2=8 là hệ thức cần tìm.