Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 13: Cho phương trình $2{{x}^{2}}-4mx+2{{m}^{2}}-1=0$ ($m$ là tham số) (1) a) Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ với mọi $m$. b) Tìm $m$ sao cho $2x_{1}^{2}+4m{{x}_{2}}+2{{m}^{2}}-9<0$. c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ không phụ thuộc vào $m$. Lời giải: a) Phương trình (1) có: $\Delta '={{\left( -2m \right)}^{2}}-2\left( 2{{m}^{2}}-1 \right)=4{{m}^{2}}-4{{m}^{2}}+2=2>0\,\,\,\forall m$. Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ với mọi $m$. b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ với mọi $m$. Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{2{{m}^{2}}-1}{2} \\ \end{align} \right.$ Do ${{x}_{1}}$ là nghiệm của phương trình (1) nên ta có: $2x_{1}^{2}-4m{{x}_{1}}+2{{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow 2x_{1}^{2}=4m{{x}_{1}}-2{{m}^{2}}+1$ Do đó $2x_{1}^{2}+4m{{x}_{2}}+2{{m}^{2}}-9<0$ $\begin{align} & \Leftrightarrow 4m{{x}_{1}}-2{{m}^{2}}+1+4m{{x}_{2}}+2{{m}^{2}}-9<0 \\ & \Leftrightarrow 4m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-8<0 \\ & \Leftrightarrow 4m.2m-8<0 \\ & \Leftrightarrow 8{{m}^{2}}-8<0 \\ & \Leftrightarrow 8\left( m-1 \right)\left( m+1 \right)<0 \\ & \Leftrightarrow -1<m<1. \\ \end{align}$ c) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ với mọi $m$. Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{align} & S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\ & P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{2{{m}^{2}}-1}{2} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m=\frac{S}{2} \\ & P=\frac{2.{{\left( \frac{S}{2} \right)}^{2}}-1}{2}=\frac{{{S}^{2}}-2}{4} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m=\frac{S}{2} \\ & {{S}^{2}}-4P-2=0 \\ \end{align} \right.$ Vậy hệ thức cần tìm là ${{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2=0$ hay $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\sqrt{2}$. Bài 14: Cho phương trình $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ (1). a) Chứng minh rằng nếu các hệ số $a,\,\,b,\,\,c$ thỏa mãn điều kiện $4a-5b+9c=0$, thì phương trình (1) luôn có nghiệm. b) Cho $a=2$, tìm điều kiện của $b$ và $c$ để phương trình (1) có hai nghiệm ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ cùng dấu và thỏa mãn $\left| {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\sqrt{{{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right|+\left| {{x}_{1}}+{{x}_{2}}-\sqrt{{{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right|=2010$. Lời giải: a) Trường hợp 1: $a=0$. * Nếu $b=0$ thì từ điều kiện $4a-5b+9c=0\Rightarrow c=0$, khi đó (1) trở thành $0x=0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$. * Nếu $b\ne 0$ thì (1) trở thành $bx+c=0$, có nghiệm duy nhất $x=-\frac{c}{b}$. Trường hợp 2: $a\ne 0$. Ta có $4a-5b+9c=0\Leftrightarrow b=\frac{4a+9c}{5}$. Phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn $x$ có: $\Delta ={{b}^{2}}-4ac={{\left( \frac{4a+9c}{5} \right)}^{2}}-4ac=\frac{16{{a}^{2}}-28ac+81{{c}^{2}}}{25}=\frac{{{\left( 2a-7c \right)}^{2}}+12{{a}^{2}}+32{{c}^{2}}}{25}>0$. Do đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Tóm lại: Nếu $4a-5b+9c=0$ thì phương trình (1) luôn có nghiệm. b) Với $a=2$ thì phương trình (1) trở thành $2{{x}^{2}}+bx+c=0$ (2) Phương trình (2) có hai nghiệm cùng dấu khi: $\left\{ \begin{align} & \Delta \ge 0 \\ & c>0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{b}^{2}}-8c\ge 0 \\ & c>0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{b}^{2}}\ge 8c \\ & c>0 \\ \end{align} \right.$ (*). Nhận xét: Nếu $xy\ge 0$ thì $\left| x \right|+\left| y \right|=\left| x+y \right|$ (bạn đọc tự chứng minh). Ta có $\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\sqrt{{{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}-\sqrt{{{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right)={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{\left( {{x}_{1}}+\frac{{{x}_{2}}}{2} \right)}^{2}}+\frac{3x_{2}^{2}}{4}\ge 0$. Do đó $\left| {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\sqrt{{{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right|+\left| {{x}_{1}}+{{x}_{2}}-\sqrt{{{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right|=2010$ $\begin{align} & \Leftrightarrow \left| {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\sqrt{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}-\sqrt{{{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right|=2010 \\ & \Leftrightarrow 2\left| {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right|=2010 \\ \end{align}$ Theo Vi-ét ta có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{2}$ nên $2\left| -\frac{b}{2} \right|=2010\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & b=2010 \\ & b=-2010 \\ \end{align} \right.$. Kết hợp với điều kiện (*) thì $\left[ \begin{align} & b=2010 \\ & b=-2010 \\ \end{align} \right.$ và $0<c<\frac{{{1005}^{2}}}{2}$. Bài 15: a) Chứng minh rằng phương trình $\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}=0$ có hai nghiệm phân biệt với mọi số thực $a,\,\,b,\,\,c$ đôi một khác nhau. b) Tìm tất cả các bộ số $\left( a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \right)$ là các số nguyên dương. Biết rằng phương trình bậc hai (ẩn $x$): ${{x}^{2}}-abx+a+b=0$ có hai nghiệm là $c,\,\,d$. Lời giải: a) ĐKXĐ: $x\ne a,\,\,x\ne b,\,\,x\ne c$. Ta có $\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}=0$ (1) $\Leftrightarrow \left( x-a \right)\left( x-b \right)+\left( x-b \right)\left( x-c \right)+\left( x-c \right)\left( x-a \right)=0$ $\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-2\left( a+b+c \right)x+ab+bc+ca=0$ (2) Phương trình (2) có: $\Delta '={{\left( a+b+c \right)}^{2}}-3\left( ab+bc+ca \right)=\frac{1}{2}\left[ {{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}} \right]$ Vì các số thực $a,\,\,b,\,\,c$ đôi một khác nhau nên $\Delta '>0$. Vậy phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt với mọi số thực $a,\,\,b,\,\,c$ đôi một khác nhau. Dễ thấy các số $a,\,\,b,\,\,c$ không là nghiệm của phương trình (2). Thật vậy: Chẳng hạn thay $x=a$ vào phương trình (2) ta có: $3{{a}^{2}}-2\left( a+b+c \right)a+ab+bc+ca={{a}^{2}}-ab+bc-ca=\left( a-b \right)\left( a-c \right)\ne 0$. Điều này chứng tỏ rằng hai nghiệm phân biệt của phương trình (2) cũng chính là hai nghiệm của phương trình (1). b) Phương trình bậc hai (ẩn $x$): ${{x}^{2}}-abx+a+b=0$ có nghiệm khi ${{a}^{2}}{{b}^{2}}\ge 4\left( a+b \right)$ (*). Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{align} & c+d=ab \\ & cd=a+b \\ \end{align} \right.$ $\begin{align} & \Rightarrow ab-a-b+cd-c-d=0 \\ & \Leftrightarrow \left( a-1 \right)\left( b-1 \right)+\left( c-1 \right)\left( d-1 \right)=2 \\ \end{align}$ Do $\left( a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \right)$ là các số nguyên dương nên $a-1,\,\,b-1,\,\,c-1,\,\,d-1$ là các số tự nhiên. Ta có các trường hợp sau: · $\left\{ \begin{align} · & \left( a-1 \right)\left( b-1 \right)=0 \\ · & \left( c-1 \right)\left( d-1 \right)=2 \\ · \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} · & a=1,\,\,b=6 \\ · & c=2,\,\,d=3 \\ · \end{align} \right.$; $\left\{ \begin{align} · & a=1,\,\,b=6 \\ · & c=3,\,\,d=2 \\ · \end{align} \right.$; $\left\{ \begin{align} · & a=6,\,\,b=1 \\ · & c=2,\,\,d=3 \\ · \end{align} \right.$; $\left\{ \begin{align} · & a=6,\,\,b=1 \\ · & c=3,\,\,d=2 \\ · \end{align} \right.$. · $\left\{ \begin{align} · & \left( a-1 \right)\left( b-1 \right)=2 \\ · & \left( c-1 \right)\left( d-1 \right)=0 \\ · \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} · & a=2,\,\,b=3 \\ · & c=1,\,\,d=6 \\ · \end{align} \right.$; $\left\{ \begin{align} · & a=3,\,\,b=2 \\ · & c=1,\,\,d=6 \\ · \end{align} \right.$; $\left\{ \begin{align} · & a=2,\,\,b=3 \\ · & c=6,\,\,d=1 \\ · \end{align} \right.$; $\left\{ \begin{align} · & a=3,\,\,b=2 \\ · & c=6,\,\,d=1 \\ · \end{align} \right.$. · $\left\{ \begin{align} · & \left( a-1 \right)\left( b-1 \right)=1 \\ · & \left( c-1 \right)\left( d-1 \right)=1 \\ · \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} · & a=2,\,\,b=2 \\ · & c=2,\,\,d=2 \\ · \end{align} \right.$ Vậy có tất cả 9 bộ số $\left( a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \right)$ nguyên dương thỏa mãn đề bài.
