Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 16: a) Tìm $m$ để phương trình ${{\left( {{x}^{2}}-2x \right)}^{2}}-3{{x}^{2}}+6x+m=0$ có 4 nghiệm phân biệt. b) Gọi ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ là 2 nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-2x-m+3=0$ (1). Tìm giá trị của $m$ để $2x_{1}^{3}+\left( m+1 \right)x_{2}^{2}=16$. Lời giải: a) Ta có ${{\left( {{x}^{2}}-2x \right)}^{2}}-3{{x}^{2}}+6x+m=0\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-2x \right)}^{2}}-3\left( {{x}^{2}}-2x \right)+m=0$ (*) Đặt ${{x}^{2}}-2x+1=y$ ($y\ge 0$) $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x=y-1$. Khi đó (*) trở thành ${{\left( y-1 \right)}^{2}}-3\left( y-1 \right)+m=0\Leftrightarrow {{y}^{2}}-5y+m+4=0$ (**) Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ Phương trình (**) có 2 nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \Delta >0 \\ & S>0 \\ & P>0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 9-4m>0 \\ & 5>0 \\ & m+4>0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m<\frac{9}{4} \\ & m>-4 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow -4<m<\frac{9}{4}$. Vậy với $-4<m<\frac{9}{4}$ thì phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt. b) Phương trình ${{x}^{2}}-2x-m+3=0$ (1) có nghiệm khi $\Delta '\ge 0\Leftrightarrow m-2\ge 0\Leftrightarrow m\ge 2$. Trường hợp 1: $m=3$ thì (1) trở thành ${{x}^{2}}-2x=0\Leftrightarrow x\left( x-2 \right)=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}=0,\,\,{{x}_{2}}=2$. Khi đó $2x_{1}^{3}+\left( m+1 \right)x_{2}^{2}={{2.0}^{3}}+\left( 3+1 \right){{.2}^{2}}=16$ đúng. Trường hợp 2: $m\ne 3$ thì (1) có nghiệm khác 0. Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{align} & S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ & P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=-m+3\,\,\,\,\,(2) \\ \end{align} \right.$ Vì ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ là 2 nghiệm của phương trình (1) nên ta cũng có $\left\{ \begin{align} & x_{1}^{2}-2{{x}_{1}}-m+3=0 \\ & x_{2}^{2}-2{{x}_{2}}-m+3=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x_{1}^{2}=2{{x}_{1}}+m-3\,\,\,\,\,\,(3) \\ & x_{2}^{2}=2{{x}_{2}}+m-3\,\,\,\,\,\,(4) \\ \end{align} \right.$ Từ (3) suy ra $2x_{1}^{3}=4x_{1}^{2}+2\left( m-3 \right){{x}_{1}}=8{{x}_{1}}+4m-12+2m{{x}_{1}}-6{{x}_{1}}=2\left( m+1 \right){{x}_{1}}+4m-12$ Từ (4) suy ra $\left( m+1 \right)x_{2}^{2}=\left( m+1 \right)\left( 2{{x}_{2}}+m-3 \right)=2\left( m+1 \right){{x}_{2}}+\left( m+1 \right)\left( m-3 \right)$ Do đó $2x_{1}^{3}+\left( m+1 \right)x_{2}^{2}=16$ $ \Leftrightarrow 2\left( m+1 \right){{x}_{1}}+4m-12+2\left( m+1 \right){{x}_{2}}+\left( m+1 \right)\left( m-3 \right)=16 $ $ \Leftrightarrow 2\left( m+1 \right)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+{{m}^{2}}+2m-15=16 $ $ \Leftrightarrow {{m}^{2}}+6m-27=0\,\,\,\,\,\,(v\grave{i}\,\,{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2) $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=3\,\,\,\,\,\,\,\,(loa\ddot{i}i\text{)} \\ & m=-9\,\,\,\,(loa\ddot{i}i) \\ \end{align} \right. $ Tóm lại: khi $m=3$ thỏa mãn điều kiện của đề bài. Bài 17: a) Gọi ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ là 2 nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}+bx+c=0$ (1). Gọi ${{x}_{3}},\,\,{{x}_{4}}$ là 2 nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-{{b}^{2}}x+bc=0$ (2). Xác định $b,\,\,c$ biết rằng ${{x}_{3}}-{{x}_{1}}={{x}_{4}}-{{x}_{2}}=1$. b) Gọi ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ là 2 nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-mx-m-1=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\frac{{{m}^{2}}+2m}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2}$. Lời giải: a) Ta có ${{x}_{3}}-{{x}_{1}}={{x}_{4}}-{{x}_{2}}=1\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{3}}={{x}_{1}}+1 \\ & {{x}_{4}}={{x}_{2}}+1 \\ \end{align} \right.$. Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\ & \left( {{x}_{1}}+1 \right)+\left( {{x}_{2}}+1 \right)={{b}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \\ & \left( {{x}_{1}}+1 \right)\left( {{x}_{2}}+1 \right)=bc\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4) \\ \end{align} \right.$ Từ (1) và (3) suy ra ${{b}^{2}}+b-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & b=1 \\ & b=-2 \\ \end{align} \right.$ Ta có $\left( 4 \right)\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+1=bc\Leftrightarrow c-b+1=bc\,\,\,\,\,(5)$ · Với $b=1$ thì (5) luôn luôn đúng với mọi $c$. Khi đó phương trình (1) trở thành ${{x}^{2}}+x+c=0$ và phương trình (2) trở thành ${{x}^{2}}-x+c=0$. Cả hai phương trình này có nghiệm khi $1-4c\ge 0\Leftrightarrow c\le \frac{1}{4}$. · Với $b=-2$ thì (5) trở thành $c+3=-2c\Leftrightarrow c=-1$. Khi đó phương trình (1) trở thành ${{x}^{2}}-2x-1=0$ có 2 nghiệm là ${{x}_{1,2}}=1\pm \sqrt{2}$ và phương trình (2) trở thành ${{x}^{2}}-4x+2=0$ có 2 nghiệm ${{x}_{3,4}}=2\pm \sqrt{2}$ thỏa mãn đề bài. Vậy $b=1\,\,va\,\,\,c\le \frac{1}{4}\,\,\,hoa\ddot{e}c\,\,b=-2\,\,va\,\,c=-1$. b) Phương trình ${{x}^{2}}-mx-m-1=0$ có $a-b+c-1+m-m-1=0$. Vậy phương trình ${{x}^{2}}-mx-m-1=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}}=1$ và ${{x}_{2}}=m+1$. Do đó $T=\frac{{{m}^{2}}+2m}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2}=\frac{{{m}^{2}}+2m}{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2}=\frac{{{m}^{2}}+2m}{{{m}^{2}}+2\left( m+1 \right)+2}=\frac{{{m}^{2}}+2m}{{{m}^{2}}+2m+4}$ $T=1-\frac{4}{{{\left( m+1 \right)}^{2}}+3}\ge 1-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$, dấu “=” xảy ra khi ${{\left( m+1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow m=-1$. Vậy $min\,T=-\frac{1}{3}$ đạt được khi $m=-1$. Bài 18: a) Gọi ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ là 2 nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-2mx+5{{m}^{2}}-16=0$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{x}_{1}}\left( 5{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}-17 \right)+{{x}_{2}}\left( 5{{x}_{2}}+3{{x}_{1}}-17 \right)$. b) Cho phương trình ${{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2m-1=0$ ($m$ là tham số). Tìm $m$ để phương trình có 4 nghiệm ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}},\,\,{{x}_{3}},\,\,{{x}_{4}}$ sao cho ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}<{{x}_{4}}$ và ${{x}_{4}}-{{x}_{1}}=3\left( {{x}_{3}}-{{x}_{2}} \right)$. Lời giải: a) Phương trình ${{x}^{2}}-2mx+5{{m}^{2}}-16=0$ có 2 nghiệm ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ khi: $\Delta '\ge 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+16-5{{m}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}\le 4\Leftrightarrow -2\le m\le 2$. Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=5{{m}^{2}}-16 \\ \end{align} \right.$ Ta có $\begin{align} & P={{x}_{1}}\left( 5{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}-17 \right)+{{x}_{2}}\left( 5{{x}_{2}}+3{{x}_{1}}-17 \right) \\ & P=5\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)+6{{x}_{1}}{{x}_{2}}-17\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right) \\ \end{align}$ $\begin{align} & P=5{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}-17\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right) \\ & P=5{{\left( 2m \right)}^{2}}-4\left( 5{{m}^{2}}-16 \right)-17.2m \\ \end{align}$ $P=64-34m$ Vì $-2\le m\le 2$ nên $-68\le -34m\le 68\Leftrightarrow -4\le 64-34m\le 132\Leftrightarrow -4\le P\le 132$. Vậy $min\,P=-4$ đạt được khi $m=2$; $max\,P=132$ đạt được khi $m=-2$. b) Đặt ${{x}^{2}}=y\,\,\,\left( y\ge 0 \right)$. Khi đó phương trình ${{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2m-1=0$ (1) trở thành ${{y}^{2}}-2my+2m-1=0$ (2). Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}},\,\,{{x}_{3}},\,\,{{x}_{4}}$ $\Leftrightarrow $ phương trình (2) có 2 nghiệm dương ${{y}_{1}},\,\,{{y}_{2}}$ phân biệt. $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \Delta '>0 \\ & S>0 \\ & P>0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{m}^{2}}-2m+1>0 \\ & 2m>0 \\ & 2m-1>0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{\left( m-1 \right)}^{2}}>0 \\ & m>0 \\ & m>\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>\frac{1}{2} \\ & m\ne 1 \\ \end{align} \right.$. Phương trình (2) có $a+b+c=1-2m+2m-1=0$ Vậy phương trình (2) có hai nghiệm ${{y}_{1}}=1$ và ${{y}_{2}}=2m-1$. · Với $\frac{1}{2}<m<1$ thì $0<2m-1<1$, suy ra $0<{{y}_{2}}<{{y}_{1}}$ Vì ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}<{{x}_{4}}$ nên ${{x}_{1}}=-1$, ${{x}_{2}}=-\sqrt{2m-1}$, ${{x}_{3}}=\sqrt{2m-1}$, ${{x}_{4}}=1$ Do đó ${{x}_{4}}-{{x}_{1}}=3\left( {{x}_{3}}-{{x}_{2}} \right)\Leftrightarrow 2=6\sqrt{2m-1}\Leftrightarrow m=\frac{5}{9}$ (tmđk $\frac{1}{2}<m<1$). · Với $m>1$ thì $2m-1>1$, suy ra ${{y}_{2}}>{{y}_{1}}>0$ Vì ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}<{{x}_{4}}$ nên ${{x}_{1}}=-\sqrt{2m-1}$, ${{x}_{2}}=-1$, ${{x}_{3}}=1$, ${{x}_{4}}=\sqrt{2m-1}$ Do đó ${{x}_{4}}-{{x}_{1}}=3\left( {{x}_{3}}-{{x}_{2}} \right)\Leftrightarrow 2\sqrt{2m-1}=6\Leftrightarrow m=5$ (tmđk $m>1$). Vậy $m=\frac{5}{9}$ hoặc $m=5$ thỏa mãn yêu cầu của đề bài.
