Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 19: a) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình x2 – 3x + a = 0 và y1; y2 là hai nghiệm của phương trình y2 – 12y + b = 0 thỏa mãn $\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=\frac{{{x}_{2}}}{{{y}_{1}}}=\frac{{{y}_{1}}}{{{y}_{2}}}$. Tính a và b. b) Xác định m để phương trình x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện ${{x}_{1}}=x_{2}^{2}$. Giải: a) Đặt $\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=\frac{{{x}_{2}}}{{{y}_{1}}}=\frac{{{y}_{1}}}{{{y}_{2}}}=k\Rightarrow {{x}_{1}}=k{{x}_{2}};\,\,{{y}_{1}}=k{{y}_{2}};\,\,{{x}_{2}}=k{{y}_{1}}={{k}^{2}}{{y}_{2}}$$\Rightarrow {{x}_{1}}={{k}^{3}}{{y}_{2}}$. Do đó ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}={{k}^{2}}\left( k+1 \right){{y}_{2}}$; ${{y}_{1}}+{{y}_{2}}=\left( k+1 \right){{y}_{2}}$. Theo định lí Vi-ét ta có $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=a \\ \end{align} \right.$ ; $\left\{ \begin{align} & {{y}_{1}}+{{y}_{2}}=12 \\ & {{y}_{1}}{{y}_{2}}=b \\ \end{align} \right.$. Từ đó suy ra $\left\{ \begin{align} & {{k}^{2}}\left( k+1 \right){{y}_{2}}=3 \\ & \left( k+1 \right){{y}_{2}}=12 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{k}^{2}}=\frac{1}{4}\Rightarrow k=\pm \frac{1}{2}$. · Với $k=\frac{1}{2}\Rightarrow \left\{ \begin{align} · & {{y}_{2}}=8 \\ · & {{y}_{1}}=4 \\ · \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} · & {{x}_{1}}=1 \\ · & {{x}_{2}}=2 \\ · \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} · & a=2 \\ · & b=32 \\ · \end{align} \right.$. · Với $k=-\frac{1}{2}\Rightarrow \left\{ \begin{align} · & {{y}_{2}}=24 \\ · & {{y}_{1}}=-12 \\ · \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} · & {{x}_{1}}=-3 \\ · & {{x}_{2}}=6 \\ · \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} · & a=-18 \\ · & b=-288 \\ · \end{align} \right.$. b) Phương trình x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0 Có $\Delta '={{\left( m+2 \right)}^{2}}+4m+12={{m}^{2}}+8m+16={{\left( m+4 \right)}^{2}}\ge 0$ với mọi m. Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x1; x2 với mọi m. Khi đó $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=-\left( m+2 \right)+\left( m+4 \right)=2 \\ & {{x}_{2}}=-\left( m+2 \right)-\left( m+4 \right)=-2m-6 \\ \end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=-2m-6 \\ & {{x}_{2}}=2 \\ \end{align} \right.$ · $\left\{ \begin{align} · & {{x}_{1}}=2 \\ · & {{x}_{2}}=-2m-6 \\ · & {{x}_{1}}=x_{2}^{2} \\ · \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} · & {{x}_{1}}=2 \\ · & {{x}_{2}}=\sqrt{2} \\ · & m=\frac{-\sqrt{2}-6}{2} \\ · \end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align} · & {{x}_{1}}=2 \\ · & {{x}_{2}}=-\sqrt{2} \\ · & m=\frac{\sqrt{2}-6}{2} \\ · \end{align} \right.$. · $\left\{ \begin{align} · & {{x}_{1}}=-2m-6 \\ · & {{x}_{2}}=2 \\ · & {{x}_{1}}=x_{2}^{2} \\ · \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} · & {{x}_{1}}=4 \\ · & {{x}_{2}}=2 \\ · & m=-5 \\ · \end{align} \right.$. Vậy $m\in \left\{ -5;\,\,\,\frac{-\sqrt{2}-6}{2};\,\,\,\frac{\sqrt{2}-6}{2} \right\}$. Bài 20: Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0. a) Xác định m để phương trình (*) có hai nghiệm không âm. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=\left( {{x}_{1}}+1 \right){{x}_{2}}$. Giải: a) Phương trình (*) có $\Delta '=1+\left( m-1 \right)\left( m-3 \right)={{m}^{2}}-4m+4={{\left( m-2 \right)}^{2}}\ge 0$ với mọi m. Do đó phương trình (*) có hai nghiệm với mọi m. Khi đó $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=1+\left( m-2 \right)=m-1 \\ & {{x}_{2}}=1-\left( m-2 \right)=3-m \\ \end{align} \right.$. Phương trình (*) có hai nghiệm không âm khi $\left\{ \begin{align} & m-1\ge 0 \\ & 3-m\ge 0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow 1\le m\le 3$. b) Theo câu a) ta có $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=m-1 \\ & {{x}_{2}}=3-m \\ \end{align} \right.$. Do đó $A=\left( {{x}_{1}}+1 \right){{x}_{2}}=m\left( 3-m \right)=3m-{{m}^{2}}=\frac{9}{4}-{{\left( \frac{3}{2}-m \right)}^{2}}\le \frac{9}{4}$. Dấu “=” xảy ra khi ${{\left( \frac{3}{2}-m \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}$. Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là $\frac{9}{4}$, đạt được tại $m=\frac{3}{2}$. Bài 21: Cho phương trình (ẩn x): (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0 (1). 1. Giải và biện luận phương trình (1) theo m. 2. Khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2. a) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2 độc lập đối với m. b) Tìm m sao cho $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\ge 2$. Giải: 1. Ta xét hai trường hợp sau: * Trường hợp 1: Với $m-1=0\Leftrightarrow m=1$ thì (1) trở thành: $-4x+1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$. * Trường hợp 2: Với $m-1\ne 0\Leftrightarrow m\ne 1$ thì (1) là phương trình bậc hai ẩn x. Có $\Delta '={{\left( m+1 \right)}^{2}}-m\left( m-1 \right)=3m+1$. + Nếu $\Delta '=3m+1<0$ hay $m<-\frac{1}{3}$ thì (1) vô nghiệm. + Nếu $\Delta '=3m+1=0$ hay $m=-\frac{1}{3}$ thì (1) có nghiệm kép ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{m+1}{m-1}=-\frac{1}{2}$. + Nếu $\Delta '=3m+1>0$ hay $m>-\frac{1}{3}$ thì (1) có hai nghiệm phân biệt $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{m+1-\sqrt{3m+1}}{m-1} \\ & {{x}_{2}}=\frac{m+1+\sqrt{3m+1}}{m-1} \\ \end{align} \right.$. Vậy: Nếu $m=1$ thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất $x=\frac{1}{4}$. Nếu $m=-\frac{1}{3}$ thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất $x=-\frac{1}{2}$. Nếu $m>-\frac{1}{3}$ và $m\ne 1$ thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{m+1-\sqrt{3m+1}}{m-1} \\ & {{x}_{2}}=\frac{m+1+\sqrt{3m+1}}{m-1} \\ \end{align} \right.$. Nếu $m<-\frac{1}{3}$ thì phương trình (1) vô nghiệm. 2. Khi $m>-\frac{1}{3}$ và $m\ne 1$ thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1; x2. a) Theo định lí Vi-et ta có: $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{2\left( m+1 \right)}{m-1}=2+\frac{4}{m-1} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m}{m-1}=1+\frac{1}{m-1} \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2+\frac{4}{m-1} \\ & 4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m}{m-1}=4+\frac{4}{m-1} \\ \end{align} \right.\Rightarrow 4{{x}_{1}}{{x}_{2}}-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}=2$. Vậy hệ thức cần tìm là $4{{x}_{1}}{{x}_{2}}-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}=2$. b) Ta có $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\ge 2\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}\ge 4\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}\ge 4$. $ \Leftrightarrow \frac{4{{\left( m+1 \right)}^{2}}}{{{\left( m-1 \right)}^{2}}}-\frac{4m}{m-1}\ge 4 $ $ \Leftrightarrow 4{{\left( m+1 \right)}^{2}}-4m\left( m-1 \right)\ge 4{{\left( m-1 \right)}^{2}} $ $ \Leftrightarrow 12m+4\ge 4{{m}^{2}}-8m+4 $ $ \Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-20m\le 0 $ $ \Leftrightarrow 4m\left( m-5 \right)\le 0 $ $ \Leftrightarrow 0\le m\le 5 $ Kết hợp với điều kiện $m>-\frac{1}{3}$ và $m\ne 1$ ta được $0\le m\le 5$ và $m\ne 1$.
