Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 22: a) Gọi ${{x}_{1}}\,;\,\,{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình $\frac{{{x}^{2}}-4x}{1-x}=3x+m$, trong đó m là tham số. Tìm m để biểu thức $A=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. b) Gọi ${{x}_{1}}\,;\,\,{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-m\left( m-2 \right)x-{{\left( m-1 \right)}^{2}}=0$, trong đó m là tham số. Tìm các giá trị nguyên của m sao cho bất đẳng thức sau là bất đẳng thức đúng: $2\sqrt{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2\left( m-2 \right)}-3\sqrt{-{{x}_{1}}{{x}_{2}}}\ge 1$. Giải: a) ĐKXĐ: $x\ne 1$. Phương trình đã cho tương đương với $4{{x}^{2}}+\left( m-7 \right)x-m=0$ (*) Phương trình (*) có $\Delta ={{\left( m-7 \right)}^{2}}+16m={{\left( m+1 \right)}^{2}}+48>0,\,\,\,\forall m$ Do đó phương trình (*) và phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt khác 1. Theo định lí Vi-et ta có: $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{m-7}{4} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-\frac{m}{4} \\ \end{align} \right.$. Khi đó: ${{A}^{2}}={{\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{\left( \frac{m-7}{4} \right)}^{2}}+4.\frac{m}{4}={{\left( \frac{m+1}{4} \right)}^{2}}+3\ge 3$. $\Rightarrow A=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\ge \sqrt{3}$, dấu “=” xảy ra khi ${{\left( \frac{m+1}{4} \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow m=-1$. Vậy $\min \,A=\sqrt{3}$ đạt được khi $m=-1$. b) Phương trình ${{x}^{2}}-m\left( m-2 \right)x-{{\left( m-1 \right)}^{2}}=0$ (1) Có $\Delta ={{\left[ -m\left( m-2 \right) \right]}^{2}}+4{{\left( m-1 \right)}^{2}}>0\,\,\,\,\forall m$ nên (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt $\forall m$. Theo hệ thức Vi-et ta có $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m\left( m-2 \right) \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-{{\left( m-1 \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.$. Do đó $2\sqrt{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2\left( m-2 \right)}-3\sqrt{-{{x}_{1}}{{x}_{2}}}\ge 1$ $\begin{align} & \Leftrightarrow 2\sqrt{m\left( m-2 \right)-2\left( m-2 \right)}-3\sqrt{{{\left( m-1 \right)}^{2}}} \\ & \Leftrightarrow 2\sqrt{{{m}^{2}}-4m+4}-3\sqrt{{{\left( m-1 \right)}^{2}}}\ge 1 \\ & \Leftrightarrow 2\sqrt{{{\left( m-2 \right)}^{2}}}-3\sqrt{{{\left( m-1 \right)}^{2}}}\ge 1 \\ & \Leftrightarrow 2\left| m-2 \right|-3\left| m-1 \right|\ge 1\,\,\,\,\,\,\,\,(*) \\ \end{align}$ TH1: Nếu $m<1$ thì (*) $\Leftrightarrow -2\left( m-2 \right)+3\left( m-1 \right)\ge 1\Leftrightarrow m\ge 0$. TH2: Nếu $1\le m\le 2$ thì (*) $-2\left( m-2 \right)-3\left( m-1 \right)\ge 1\Leftrightarrow m\le \frac{6}{5}$. TH3: Nếu $m>2$ thì (*)$2\left( m-2 \right)-3\left( m-1 \right)\ge 1\Leftrightarrow m\le -2$. Vì m nhận giá trị nguyên nên $m\in \left\{ 0\,\,;\,\,1 \right\}$. Tóm lại bất phương trình $2\sqrt{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2\left( m-2 \right)}-3\sqrt{-{{x}_{1}}{{x}_{2}}}\ge 1$ đúng khi $m\in \left\{ 0\,\,;\,\,1 \right\}$. Bài 23: Cho phương trình ${{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+{{m}^{2}}+m-6=0$ (m là tham số) (1). a) Giải và biện luận phương trình (1) theo m. b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm đều âm. Giải: a) Phương trình ${{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+{{m}^{2}}+m-6=0$ (m là tham số) (1). Có $\Delta ={{\left[ -\left( 2m+1 \right) \right]}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}+m-6 \right)=25>0\,\,\,\forall m$ $\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{25}=5$. Do đó phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. ${{x}_{1}}=\frac{2m+1-5}{2}=m-2$ ; ${{x}_{2}}=\frac{2m+1+5}{2}=m+3$. b) Phương trình (1) có hai nghiệm đều âm $\left\{ \begin{align} & m-2<0 \\ & m+3<0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m<2 \\ & m<-3 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m<-3$. Bài 24: a) Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 ($a\ne 0$) có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn ${{x}_{1}}=x_{2}^{2}$. Chứng minh rằng b3 + a2c + ac2 = 3abc. b) Định m để phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt đều dương. Giải: a) Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\ & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right.$. Ta có b3 + a2c + ac2 = 3abc $\Leftrightarrow {{\left( \frac{b}{a} \right)}^{3}}+\frac{c}{a}+{{\left( \frac{c}{a} \right)}^{2}}=3.\frac{b}{a}.\frac{c}{a}$. $\begin{align} & \Leftrightarrow -{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{3}}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{2}}=-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right) \\ & \Leftrightarrow -x_{1}^{3}-3x_{1}^{2}{{x}_{2}}-3{{x}_{1}}x_{2}^{2}-x_{2}^{3}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{1}^{2}x_{2}^{2}=-3x_{1}^{2}{{x}_{2}}-3{{x}_{1}}x_{2}^{2} \\ & \Leftrightarrow -x_{2}^{6}-3x_{2}^{5}-3x_{2}^{4}-x_{2}^{3}+x_{2}^{3}+x_{2}^{6}=-3x_{2}^{5}-3x_{2}^{4}\,\,\,\,\,(v\grave{i}\,\,{{x}_{1}}=x_{2}^{2}) \\ \end{align}$ Đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy b3 + a2c + ac2 = 3abc luôn đúng. b) Phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt đều dương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \Delta '>0 \\ & S>0 \\ & P>0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{\left( m+1 \right)}^{2}}-{{m}^{2}}+4m-5>0 \\ & 2\left( m+1 \right)>0 \\ & {{m}^{2}}-4m+5>0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 6m-4>0 \\ & m+1>0 \\ & {{\left( m-2 \right)}^{2}}+1>0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>\frac{2}{3} \\ & m>-1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow m>\frac{2}{3}$.
