Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 25: Cho phương trình (m + 1)x2 + 2(1 – m)x + m – 2 = 0 (m là tham số) (1) a) Định m để (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn điều kiện 3(x1 + x2) = 5x1x2. b) Định m để (1) có các nghiệm đều là số nguyên. Giải: a) Phương trình (1) có nghiệm khi: $\left\{ \begin{align} & m+1\ne 0 \\ & \Delta '\ge 0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\ne -1 \\ & {{\left( 1-m \right)}^{2}}-\left( m+1 \right)\left( m-2 \right)\ge 0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\ne -1 \\ & -m+3\ge 0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\le 3 \\ & m\ne -1 \\ \end{align} \right.$. Với $\left\{ \begin{align} & m\le 3 \\ & m\ne -1 \\ \end{align} \right.$ thì (1) có hai nghiệm x1 ; x2. Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có: $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{2\left( m-1 \right)}{m+1}=\frac{2m-2}{m+1} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m-2}{m+1} \\ \end{align} \right.$ Do đó 3(x1 + x2) = 5x1x2 $\begin{align} & \Leftrightarrow \frac{3\left( 2m-2 \right)}{m+1}=\frac{5\left( m-2 \right)}{m+1} \\ & \Leftrightarrow 6m-6=5m-10 \\ & \Leftrightarrow m=-4\,\,\,\,\,(tho\hat{u}a\,\,ma\tilde{o}n\,\,\tilde{n}ie\grave{a}u\,\,kie\ddot{a}n) \\ \end{align}$ b) Nếu $m=-1$ thì (1) trở thành 4x – 3 = 0 $\Leftrightarrow x=\frac{3}{4}\notin \mathbb{Z}$. Nếu $\left\{ \begin{align} & m\le 3 \\ & m\ne -1 \\ \end{align} \right.$ thì (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn: $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{2\left( m-1 \right)}{m+1}=\frac{2m-2}{m+1}=\frac{2\left( m+1 \right)-4}{m+1}=2-\frac{4}{m+1} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m-2}{m+1}=\frac{\left( m+1 \right)-3}{m+1}=1-\frac{3}{m+1} \\ \end{align} \right.$. Do đó $4{{x}_{1}}{{x}_{2}}-3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=-2$ $\begin{align} & \Leftrightarrow 4{{x}_{1}}{{x}_{2}}-3{{x}_{1}}-3{{x}_{2}}=-2 \\ & \Leftrightarrow 16{{x}_{1}}{{x}_{2}}-12{{x}_{1}}-12{{x}_{2}}=-8 \\ & \Leftrightarrow 4{{x}_{1}}\left( 4{{x}_{2}}-3 \right)-3\left( 4{{x}_{2}}-3 \right)=1 \\ & \Leftrightarrow \left( 4{{x}_{1}}-3 \right)\left( 4{{x}_{2}}-3 \right)=1 \\ \end{align}$ Vì x1 ; x2 là các số nguyên nên có hai khả năng sau: · $\left\{ \begin{align} · & 4{{x}_{1}}-3=1 \\ · & 4{{x}_{2}}-3=1 \\ · \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} · & 4{{x}_{1}}=4 \\ · & 4{{x}_{2}}=4 \\ · \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} · & {{x}_{1}}=1 \\ · & {{x}_{2}}=1 \\ · \end{align} \right.$. · $\left\{ \begin{align} · & 4{{x}_{1}}-3=-1 \\ · & 4{{x}_{2}}-3=-1 \\ · \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} · & 4{{x}_{1}}=2 \\ · & 4{{x}_{2}}=2 \\ · \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} · & {{x}_{1}}=\frac{1}{2}\notin \mathbb{Z} \\ · & {{x}_{2}}=\frac{1}{2}\notin \mathbb{Z} \\ · \end{align} \right.$ Với ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=1$ thì $\frac{m-2}{m+1}=1\Leftrightarrow m-2=m+1$ vô nghiệm. Tóm lại: không có giá trị nào của m để (1) có các nghiệm đều là số nguyên. Bài 26: Cho phương trình x2 + px + q = 0 (p, q là tham số) (1). a) Chứng minh rằng nếu 2p2 = 9q thì phương trình (1) có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. b) Giả sử p, q là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu phương trình (1) có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm ấy phải là số nguyên. Giải: a) Phương trình (1) có $\Delta ={{p}^{2}}-4q$. Mà 2p2 = 9q nên $q=\frac{2{{p}^{2}}}{9}$. Do đó $\Delta ={{p}^{2}}-4q={{p}^{2}}-\frac{8{{p}^{2}}}{9}=\frac{{{p}^{2}}}{9}\ge 0$. Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1 ; x2. Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-p \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=q \\ \end{align} \right.$. Mà 2p2 = 9q nên 2(x1 + x2)2 = 9x1x2 $ \Leftrightarrow 2x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=9{{x}_{1}}{{x}_{2}} $ $ \Leftrightarrow 2{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}-5{{x}_{1}}{{x}_{2}}=0 $ $ \Leftrightarrow \left( 2{{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}-2{{x}_{2}} \right)=0 $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}=0 \\ & {{x}_{1}}-2{{x}_{2}}=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{2}}=2{{x}_{1}} \\ & {{x}_{1}}=2{{x}_{2}} \\ \end{align} \right. $ Vậy phương trình (1) có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. b) Giả sử $x=\frac{a}{b}$ (với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản) là nghiệm hữu tỉ của phương trình (1), ta có: ${{\left( \frac{a}{b} \right)}^{2}}+p.\left( \frac{a}{b} \right)+q=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}+pab+q{{b}^{2}}=0$. Mà $pab$ và $q{{b}^{2}}$ đều chia hết cho b nên a2 chia hết cho b. Do a và b nguyên tố cùng nhau nên b = 1. Vậy x = a là nghiệm nguyên của phương trình (1). Bài 27: a) Chứng minh rằng nếu $a+b\ge 2$ thì ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm: ${{x}^{2}}+2ax+b=0\,\,(1);\,\,{{x}^{2}}+2bx+a=0\,\,\,(2)$. b) Chứng minh rằng phương trình (a2 – b2)x2 + 2(a3 – b3)x + a4 – b4 = 0 luôn có nghiệm với mọi a, b. Giải: a) Phương trình (1) có $\Delta _{1}^{'}={{a}^{2}}-b$; Phương trình (2) có $\Delta _{2}^{'}={{b}^{2}}-a$. Xét tổng $\Delta _{1}^{'}+\Delta _{2}^{'}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-a-b={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+\left( a+b-2 \right)$. Ta có ${{\left( a-1 \right)}^{2}}\ge 0\,\,;\,\,{{\left( b-1 \right)}^{2}}\ge 0\,\,;\,\,a+b\ge 2$ nên $\Delta _{1}^{'}+\Delta _{2}^{'}\ge 0$. Do đó trong hai số $\Delta _{1}^{'}\,\,;\,\,\Delta _{2}^{'}$ có ít nhất một số không âm. Vậy trong hai phương trình đã cho có ít nhất một phương trình có nghiệm. b) Nếu a = b thì phương trình đã cho trở thành: $0x=0\Leftrightarrow x\in \mathbb{R}$. Nếu a = – b thì phương trình đã cho trở thành: $4{{a}^{3}}x=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=0\,\,ne\acute{a}u\,\,a\ne 0 \\ & x\in \mathbb{R}\,\,ne\acute{a}u\,\,a=0 \\ \end{align} \right.$. Nếu $a\ne \pm b$ thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai ẩn x: Có $\Delta '={{\left( {{a}^{3}}-{{b}^{3}} \right)}^{2}}-\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)\left( {{a}^{4}}-{{b}^{4}} \right)=-2{{a}^{3}}{{b}^{3}}+{{a}^{2}}{{b}^{4}}+{{a}^{4}}{{b}^{2}}={{a}^{2}}{{b}^{2}}{{\left( a-b \right)}^{2}}\ge 0$. Do đó phương trình đã cho có nghiệm. Tóm lại phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi a, b.
