1-TẬP HỢP SỐI. TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN 1. Phân tích tiêu chuẩn một số tự nhiên Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đề có thể viết được một cách duy nhất (không kể thứ tự các nhân tử) dưới dạng $n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_m^{k_m}$ với $m, k_i$ là các số tự nhiên và $p_i$ ($i=1,2,...,k$) là các số nguyên tố khác nhau. 2. Hệ đếm cơ số b Cho b là một số tự nhiên lớn hơn 1. Khi đó mọi số tự nhiên $n$ đều có thể viết duy nhất dưới dạng $n=b^ka_k+b^{k-1}a_{k-1}+...+ba_1+a_0,a_i \in {0,1,2,...,b-1},a_k \neq 0$. Khi đó có thể viết $n= \overline {(a_ka_{k-1}...a_1a_0)_b}$ Chú ý: Hệ đếm cơ số 2 gọi là hệ nhị phân. Hệ đếm cơ số 3 gọi là hệ tam phân. 3. Một số kết quả về hệ nhị phân Giả sử $n= \overline {(a_ka_{k-1}...a_1a_0)_2}$ biểu diễn trong hệ nhị phân ta có: $2n= \overline {(a_ka_{k-1}...a_1a_00)_2}$ , $2n+1= \overline {(a_ka_{k-1}...a_1a_01)_2}$ , $4n+1= \overline {(a_ka_{k-1}...a_1a_001)_2}$ , $4n+3= \overline {(a_ka_{k-1}...a_1a_011)_2}$. Số chữ số $1$ trong biểu diễn nhị phân của $n$ và $2n$ là như nhau. Số chữ số $1$ trong biểu diễn nhị phân của $2n+1$ bằng số chữ số $1$ trong biểu diễn nhị phân của $2n$ cộng thêm $1$. II. TẬP HỢP CÁC SỐ THỰC 1. Nguyên lí Archimede Với mọi $ \varepsilon >0$ và với mọi $x>0$ luôn tồn tại $k \in \mathbb{N^*}$ sao cho $ k \varepsilon > x$. Chú ý: Từ nguyên lí trên ta thấy rằng với mọi số thực $x$ luôn tồn tại duy nhất $k \in \mathbb{Z}$ sao cho $k \leq x \leq k+1$. Số $k$ được gọi là phân nguyên của $x$, kí hiệu là $[x]$. 2. Tính trù mật Tập hợp $A \subset \mathbb{R}$ được gọi là trù mật trong $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi với mọi $x,y \in \mathbb{R};x<y$ đều tồn tại $a \in A$ sao cho $x<a<y$. 3. Một số kết quả a) $\mathbb{Q}$ là trù mật trong $\mathbb{R}$. Chứng minh: Xét $x,y \in \mathbb{R},x<y$. Đặt $d=y-x>0$. Theo nguyên lí Archimede có $n \in \mathbb{N^*}$ sao cho $nd>1 \Rightarrow \dfrac{1}{n} < d$. Gọi $m=[nx]+1 \Rightarrow m-1 \leq nx <m \Rightarrow nx<m \leq nx+1$. Do đó $x< \dfrac{m}{n} \leq x+ \dfrac{1}{n}<x+d=y$. Chú ý: Kết quả này có thể hiểu như sau: Giữa hai số thực tùy ý luôn có ít nhất một số hữu tỉ. Áp dụng: Với mỗi $x \in \mathbb{R}$ luôn tồn tại dãy số hữu tỉ $\left(x_n \right)$ hội tụ về $x$. b) Tập hợp $A= \left\{ { \dfrac{m}{2^n} \Bigg| m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}} \right\}$ là trù mật trong $\mathbb{R}$. Chứng minh: Với mọi $x<y$, chọn $d=y-x>0$. Theo nguyên lí Archimede có $n \in \mathbb{N^*}$ sao cho $nd>1$. Chọn $m=\left[ 2^nx \right]+1 \Rightarrow m-1=\left[ 2^nx \right] \Rightarrow m-1 \leq 2^nx<m$. Như thế $ \dfrac{m}{2^n}-\dfrac{1}{2^n} \leq x< \dfrac{m}{2^n}\Rightarrow x< \dfrac{m}{2^n}<x+ \dfrac{1}{2^n}<x+\dfrac{1}{n}<x+d=y$. Vậy $A$ trù mật trong $\mathbb{R}$. Áp dụng: Với mỗi $x \in \mathbb{R}$ luôn tồn tại dãy số hữu tỉ $\left( x_n \right)$ với $x_n=\dfrac{m}{2^n}$ hội tụ về $x$.III. CẬN TRÊN, CẬN DƯƠI 1. Định nghĩa Cho tập $A \subset \mathbb{R}$. Số $x$ được gọi là một cận trên của tập $A$ nếu như $\forall a \in A$ thì $a \leq x$. Số $x$ được gọi là một cận dưới của tập $A$ nếu như $\forall a \in A$ thì $a \geq x$. Cận trên bé nhất (nếu có) của tập $A$ được gọi là cận trên đúng của tập $A$ và kí hiệu là $SupA$. Cận dưới lớn nhất (nếu có) của tập $A$ được gọi là cận dưới đúng của tập $A$ và kí hiệu là $InfA$. Chú ý: $SupA$ có thể không thuộc $A$. Nếu $SupA$ thuộc $A$ thì đó chính là giá trị lớn nhất của $A$ kí hiệu là $maxA$. $InfA$ có thể không thuộc $A$. Nếu $InfA$ thuộc $A$ thì đó chính là giá trị nhỏ nhất của $A$ kí hiệu là $minA$. 2. Tính chất a) Mọi tập hợp khác rỗng và bị chặn đều tồn tại cận trên đúng và cận dưới đúng. b) Đặc trưng của cận trên đúng và cận dưới đúng là: $\alpha = SupA \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \le \alpha , \forall a \in A\\ \forall \varepsilon > 0,\exists a \in A,a > \alpha - \varepsilon \end{array} \right.$ $\beta = InfA \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ge \beta , \forall a \in A\\ \forall \varepsilon > 0,\exists a \in A,a < \beta + \varepsilon \end{array} \right.$
2. ÁNH XẠI. ĐỊNH NGHĨA 1) Cho tập hợp $A$ và $B$. Ta gọi là ánh xạ $f$ từ $A$ đến $B$ một quy tắc sao cho mỗi phần tử $a \in A$ ứng với một phần tử duy nhất $b \in B$. Kí hiệu $f: A \to B$. $b$ được gọi là ảnh của phần tử $a$ và được kí hiệu là $f(a)$. 2) Ta quan tâm đến hai tập hợp sau đây: $f(A)= \left\{ f(a)| a \in A \right\}$ được gọi là ảnh của tập $A$ và $f^{-1}(b)=\left\{ a \in A | f(a)=b \right\}$.II. ĐƠN ÁNH, TOÀN ÁNH, SONG ÁNH, ÁNH XẠ NGƯỢC VÀ TÍCH CÁC ÁNH XẠ 1. Đơn ánh Ánh xạ $f: A \to B$ được gọi là đơn ánh nếu như với mọi $a_1, a_2 \in A$ mà $a_1 \neq a_2$ thì $f(a_1) \neq f(a_2)$. Chú ý: $f$ đơn ánh $\Leftrightarrow f(a_1)=f(a_2) \Rightarrow a_1=a_2$. $f$ là đơn ánh nếu như với mọi $b \in B$ thì tập $ f^{-1} (b)$ có nhiều nhất là một phần tử. 2. Toán ánh Ánh xạ $ f: A \to B$ được gọi là toán ánh nếu như với mọi phân tử $b \in B$ đều tồn tại phần tử $a \in A$ sao cho $f(a)=b$. Chú ý: $f$ là toàn ánh $\Leftrightarrow f(A)=B$. 3. Song ánh Ánh xạ $f: A \to B$ được gọi là song ánh nếu như nó vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh. Chú ý: Một song ánh của tập hợp $ \{1,2,...,n\}$ được gọi là một hoán vị của tập hợp đó. 4. Ánh xạ ngược Giả sử $f:A \to B$ là một song ánh từ tập $A$ đến tập $B$. Khi đó với mọi $b \in B$ đều có duy nhất $a \in A$ sao cho $f(a)=b$. Ta xây dựng một ánh xạ $g$ từ $B$ đến $A$ như sau: Với mọi $b \in B$ ta đặt tương ứng với $a \in A$ mà $f(a)=b$. Ánh xạ $g: B \to A$ như vậy được là ánh xạ ngược của ánh xạ $f$ và được kí hiệu là $f^{-1}$. 5. Tích các ánh xạ Cho 2 ánh xạ $f: A \to B; g: B \to C$. Tích của hai ánh xạ $f$ và $g$ là ánh xạ $h: A \to C$ được xác định: $h(x)=g \left( f(x) \right)$ và kí hiệu là $h=g \circ f$.III. TÍNH CHẤT $f:A \to B$ là một song ánh khi và chỉ khi với mọi $b \in B$ có duy nhất $a \in A$ sao cho $ f(a)=b$. Nếu $A,B$ là 2 tập hợp hữu hạn và tồn tại đơn ánh $f: A \to B$ thì số phần tử của $A$ không vượt quá số phần tử của $B$. Nếu $A,B$ là 2 tập hợp hữu hạn và tồn tại toàn ánh $f: A \to B$ thì số phần tử của $B$ không vượt quá số phần tử của $A$. Nếu $A,B$ là 2 tập hợp hữu hạn và tốn tại song ánh $f:A \to B$ thì $A$ và $B$ có cùng số phần tử. Giả sử tập $A$ cí $n$ phần tử. Khi đó số các song ánh $f:A \to A$ là $n!$.
3 - HÀM SỐI. ĐỊNH NGHĨA 1) Cho $X,Y \subset \mathbb{R}$. Một ánh xạ $f: X \to Y$ được gọi là một hàm số từ tập $X$ đến tập $Y$ và kí hiệu là $f: X \to Y$ hoặc $y=f(x)$. $X$ được gọi là tập xác định của hàm số và thường được kí hiệu là $D$. Ta còn viết $f: D \to \mathbb{R}$. $f(x_0)$ là giá trị của hàm số tại điểm $x_0 \in D$. Tập hợp $T=\left\{ f(x)|x \in D \right\}$ được gọi là tập giá trị của hàm số $f$. Chú ý: $t \in T \Leftrightarrow$ phương trình $ f(x)=t$ có nghiệm $x \in D$. $t \in T \Rightarrow t$ có thể viết được dưới dạng $t=f(x)$ với $x \in D$. Điểm $x_0$ được gọi là điểm bất động của hàm $f$ nếu như $f(x_0)=x_0$. 2) Hàm số sơ cấp cơ bản là các hàm lũy thừa, hàm mũ, hàm logarit, hàm lượng giác, hàm lượng giác ngược. 3) Hàm số sơ cấp là những hàm được tạo thành bởi hữu hạn các phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia), phép toán lấy hàm hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản.II. HÀM SỐ CỘNG TÍNH, NHÂN TÍNH TRÊN TẬP HỢP 1) Hàm $f(x)$ được gọi là cộng tính trên tập xác định $D$ nếu như với mọi $x,y \in D$ thì $x+y \in D$ và $$f(x+y)=f(x)+f(y)$. Chú ý: Nếu hàm $f$ xác định trên $D$ thỏa mãn $f(x-y)=f(x)-f(y)$ với mọi $x,y \in D$ mà $x \pm y \in D$ thì $f$ cũng cộng tính trên $D$. Thật vậy, ta có: $f(x)=f(x+y-y)=f(x+y)-f(y) \Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)$. 2) Hàm $f(x)$ được gọi là nhân tính trên tập xác định $D$ nếu như với mọi $x,y \in D$ thì $xy \in D$ và $f(xy)=f(x)f(y)$.III. HÀM SỐ BỊ CHẶN 1) Hàm số $f$ có tập xác định $D$ được gọi là bị chặn trên nếu như tồn tại một số $M$ sao cho $f(x) \leq M ,\forall x \in D$. 2) Hàm số $f$ có tập xác định $D$ được gọi là bị chặn dưới nếu như tồn tại một số $m$ sao cho $f(x) \geq m, \forall x \in D$. 3) Hàm số $f(x)$ được gọi là bị chặn nếu nó đồng thời bị chặn trên và bị chặn dưới.IV. HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU 1) Hàm số $f(x)$ được gọi là tăng trên khoảng $(a;b)$ nếu như với $x_1,x_2 \in (a;b)$ mà $ x_1 \leq x_2$ thì $f(x_1) \leq f(x_2)$. Hàm số $f(x)$ được gọi là giảm trên khoảng $(a;b)$ nếu như với $x_1,x_2 \in (a;b)$ mà $ x_1 \leq x_2$ thì $f(x_1) \geq f(x_2)$. Hàm số tăng hoặc giảm trên một khoảng được gọi là hàm số đơn điệu trên khoảng đó. 2) Hàm số $f(x)$ được gọi là tăng thực sự trên khoảng $(a;b)$ nếu như với $x_1,x_2 \in (a;b)$ mà $ x_1 < x_2$ thì $f(x_1) < f(x_2)$. Hàm số $f(x)$ được gọi là giảm trên khoảng $(a;b)$ nếu như với $x_1,x_2 \in (a;b)$ mà $ x_1 < x_2$ thì $f(x_1) > f(x_2)$. Hàm số tăng hoặc giảm thực sự trên một khoảng được gọi là hàm số đơn điệu thực sự trên khoảng đó.V. TÍNH CHẤT LIÊN QUAN ĐẾN ĐƠN ĐIỆU 1) Mọi hàm đơn điệu thực sự trên một khoảng đều là đơn ánh trên khoảng đó. 2) Nếu $f: D \to \mathbb{R};g: D \to \mathbb{R}$ là hai hàm tăng thì $f+g$ tăng. 3) Nếu $f: D \to \mathbb{R};g: D \to \mathbb{R}$ là hai hàm tăng và không âm thì $f(x).g(x)$ là hàm tăng. 4) Nếu hàm $f$ đơn điệu trên khoảng $(a;b)$ thì phương trình $f(x) =m$ có nhiều nhất là một nghiệm trên khoảng đó. 5) Nếu $f: D_f \to \mathbb{R}$ và $g: D_g \to \mathbb{R}$ tăng và $T_f \subset D_g$ thì hàm số hợp $g \circ f$ tăng. Chú ý: Từ kết quả trên suy ra Nếu hàm $f$ tăng thì hàm số hợp $f \left( f(x) \right)$ (nếu được xác đinh) cũng tăng. 6) Nếu hàm $f$ giảm thì hàm số hợp $f \left( f(x) \right)$ (nếu được xác đinh) cũng giảm.VI. HÀM CỘNG TÍNH, NHÂN TÍNH VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU 1) Cho $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ là hàm cộng tính và thỏa mãn với $x \geq 0$ thì $f(x) \geq 0$. Khi đó $f$ là hàm tăng. Chứng minh: Xét $x \leq y \Rightarrow y-x \geq 0 \Rightarrow f(y-x) \geq0$. Ta có: $f (y)=f(y-x+x)=f(y-x)+f(x) \geq f(x)$. Vậy $f$ là hàm tăng trên $\mathbb{R}$. Chú ý: Nếu với $x \geq 0$ mà $f(x) \leq 0$ thì $f$ giảm. 2) Nếu hàm số $f(x)$ đơn điệu và cộng tính trên $\mathbb{R}$ thì nó có dạng $f(x)=kx$. 3) Nếu $f: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R^+}$ đơn điệu và nhân tính, thì $f$ có dạng lũy thừa, nghĩa là $f(x)=x^{\alpha}, \alpha \in \mathbb{R}$.VII. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC 1) Nếu hàm số $f(x)$ là đơn ánh, liên tục trên một khoảng nào đó thì nó đơn điệu thực sự trên khoảng đó. 2) Nếu hàm $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ liên tục và cộng tính thì $f(x) =kx$ với $k \in \mathbb{R}$ tùy ý. 3) Nếu hàm $f: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R^+}$ liên tục và nhân tính thì $f(x) =x^{\alpha}$ với $\alpha \in \mathbb{R}$ tùy ý.
