Những bài toán Lượng giác chọn lọc hay và chất

Cho tam giác $ABC$ là một tam giác bất kì. Chứng minh rằng với mọi số $x$ ta đều có:
$$1+\frac{1}{x^2} ≥ cosA+x(cosB+cosC)$$

Spoiler: Lời giải:

Xét $f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-(cosB+cosC)x-cosA+1$
$\Delta _{x}=(cosB+cosC)^{2}+2(cosA-1)$$=4sin^{2}\frac{A}{2}cos^{2}\frac{B-C}{2}-4sin^{2}\frac{A}{2}=-4sin^{2}\frac{A}{2}sin^{2}\frac{B-C}{2}\leq 0$
Theo định lý tam thức bậc hai suy ra: $f(x)\geq 0$ với mọi x. Từ đó suy ra đpcm.

 

Cho tam giác $ABC$. Gọi $l_a, l_b, l_c$ là độ dài đường phân giác của các góc $A,B,C$. Chứng minh rằng:
a) $la=\frac{2bc}{b+c}.cos\frac{A}{2}$
b) $\frac{cos\frac{A}{2}}{la}+\frac{cos\frac{b}{2}}{lb}+\frac{cos\frac{c}{2}}{lc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
c) $\frac{1}{la}+\frac{1}{lb}+\frac{1}{lc}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Spoiler: Lời giải:

Câu a:
$S_{\bigtriangleup ABD}+S_{\bigtriangleup ACD}=S_{\bigtriangleup ABC}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}AB.AD.sin\frac{A}{2}+\frac{1}{2}AD.AC.sin\frac{A}{2}=\frac{1}{2}AB.AC.sinA$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}AD.sin\frac{A}{2}(AB+AC)=\frac{1}{2}AB.AC.2.sin\frac{A}{2}.cos\frac{A}{2}$
$\Leftrightarrow AD=\frac{2.AB.AC.cos\frac{A}{2}}{AB+AC}$ hay $la=\frac{2bc}{b+c}.cos\frac{A}{2}$

Câu b:
Áp dụng câu a, ta có: $\sum \frac{cos\frac{A}{2}}{l_{a}}=\sum \frac{b+c}{2bc}=\sum \frac{1}{a}$

Câu c:
Dựa vào câu b ta cần chứng minh: $\sum \frac{1}{l_{a}}> \sum \frac{cos\frac{A}{2}}{l_{a}}$
Ta có: $1\geq cos\frac{A}{2}\Rightarrow\frac{1}{l_{a}}\geq \frac{cos\frac{A}{2}}{l_{a}}$
Xây dựng các bất đẳng thức tương tự với $b$ và $c$ rồi cộng vế theo vế $\Rightarrow \sum \frac{1}{l_{a}}\geq \sum \frac{cos\frac{A}{2}}{l_{a}}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=4k\Pi$ $(k\in Z)$ (vô lý)
Vậy đẳng thức không xảy ra $\Rightarrow \sum \frac{1}{l_{a}}>\sum \frac{1}{a}$