Cho tam giác $ABC$ là một tam giác bất kì. Chứng minh rằng với mọi số $x$ ta đều có: $$1+\frac{1}{x^2} ≥ cosA+x(cosB+cosC)$$ Spoiler: Lời giải: Xét $f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-(cosB+cosC)x-cosA+1$ $\Delta _{x}=(cosB+cosC)^{2}+2(cosA-1)$$=4sin^{2}\frac{A}{2}cos^{2}\frac{B-C}{2}-4sin^{2}\frac{A}{2}=-4sin^{2}\frac{A}{2}sin^{2}\frac{B-C}{2}\leq 0$ Theo định lý tam thức bậc hai suy ra: $f(x)\geq 0$ với mọi x. Từ đó suy ra đpcm.
Cho tam giác $ABC$. Gọi $l_a, l_b, l_c$ là độ dài đường phân giác của các góc $A,B,C$. Chứng minh rằng: a) $la=\frac{2bc}{b+c}.cos\frac{A}{2}$ b) $\frac{cos\frac{A}{2}}{la}+\frac{cos\frac{b}{2}}{lb}+\frac{cos\frac{c}{2}}{lc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ c) $\frac{1}{la}+\frac{1}{lb}+\frac{1}{lc}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ Spoiler: Lời giải: Câu a: $S_{\bigtriangleup ABD}+S_{\bigtriangleup ACD}=S_{\bigtriangleup ABC}$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{2}AB.AD.sin\frac{A}{2}+\frac{1}{2}AD.AC.sin\frac{A}{2}=\frac{1}{2}AB.AC.sinA$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{2}AD.sin\frac{A}{2}(AB+AC)=\frac{1}{2}AB.AC.2.sin\frac{A}{2}.cos\frac{A}{2}$ $ \Leftrightarrow AD=\frac{2.AB.AC.cos\frac{A}{2}}{AB+AC}$ hay $la=\frac{2bc}{b+c}.cos\frac{A}{2}$ Câu b: Áp dụng câu a, ta có: $\sum \frac{cos\frac{A}{2}}{l_{a}}=\sum \frac{b+c}{2bc}=\sum \frac{1}{a}$ Câu c: Dựa vào câu b ta cần chứng minh: $\sum \frac{1}{l_{a}}> \sum \frac{cos\frac{A}{2}}{l_{a}}$ Ta có: $1\geq cos\frac{A}{2}\Rightarrow\frac{1}{l_{a}}\geq \frac{cos\frac{A}{2}}{l_{a}}$ Xây dựng các bất đẳng thức tương tự với $b$ và $c$ rồi cộng vế theo vế $\Rightarrow \sum \frac{1}{l_{a}}\geq \sum \frac{cos\frac{A}{2}}{l_{a}}$ Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=4k\Pi$ $(k\in Z)$ (vô lý) Vậy đẳng thức không xảy ra $\Rightarrow \sum \frac{1}{l_{a}}>\sum \frac{1}{a}$
Cho $a,x,y,z$ là các số thực thỏa mãn: $\frac{cos(x)+cos(y)+cos(z)}{cos(x+y+z)}=\frac{sin(x)+sin(y)+sin(z)}{sin(x+y+z)}=a$. Chứng minh rằng: $cos(y+z)+cos(z+x)+cos(x+y)=a$. Spoiler: Lời giải Đặt $w=x+y+z$ Khi đó theo giả thiết ta có: $\sum cos(x)=a.cos(w);\sum sin(x)=a.sin(w)$. Khi đó: $\sum cos(y+z)=\sum cos(w-x)=\sum(cos(w).cos(x)+sin(w).sin(x))$. $=(cos(w)).\sum(cos(x))+(sin(w)).\sum(sin(x))=a.cos^2(w)+a.sin^2(w)=a$. Vậy ta có điều phải chứng minh.
