Những điều cần biết về giới hạn dãy số

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ​

A. LÝ THUYẾT:
I.Giới hạn hữu hạn

1. Giới hạn đặc biệt:
$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} = 0$;
$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^k}}} = 0\,\,(k \in {\mathbb{Z}^ + })$
$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = 0\,\,(\left| q \right| < 1)$;
$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } C = C$

2. Định lí :
a) Nếu lim $u_n = a$, $\lim {v_n} = b$ thì
$\lim (u_n + v_n) = a + b$
$\lim (u_n – v_n) = a – b$
$\lim (u_n.v_n) = a.b$
$\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}$ (nếu $b\ne 0$)
b) Nếu $u_n \ge 0$, $\forall n$ và $\lim u_n= a$ thì $a \ge 0$ và $\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a $
c) Nếu $\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}$, $\forall n$ và $\lim v_n = 0$ thì $\lim u_n = 0$
d) Nếu $\lim u_n = a$ thì $\lim \left| {{u_n}} \right| = \left| a \right|$

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
$S = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^n} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}$ $\left( {\left| q \right| < 1} \right)$

II.Giới hạn vô cực

1. Giới hạn đặc biệt:
$\lim \sqrt n = + \infty $
$\lim {n^k} = + \infty \,\,(k \in {\mathbb{Z}^ + })$
$\lim {q^n} = + \infty \,\,(q > 1)$

2. Định lí:
a) Nếu $\lim \left| {{u_n}} \right| = + \infty $ thì $\lim \frac{1}{{{u_n}}} = 0$
b) Nếu $\lim u_n = a$, $\lim v_n = \pm \infty$ thì $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0$
c) Nếu $\lim u_n = a \ne 0$, $\lim v_n = 0$ thì $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \pm \infty $
Cho trong bảng sau:
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\lim u_n & \lim v_n & Dấu của\,\, v_n & \lim \frac{u_n}{v_n}\\
\hline
+ &0&+&+\infty \\
\hline
+ &0&-&-\infty \\
\hline
- &0&+&-\infty \\
\hline
- &0&-&+\infty \\
\hline
\end{array}$
d) Nếu $\lim {u_n} = \pm \infty $, $\lim v_n = a$ thì $\lim {u_n}{v_n} = \pm \infty $
Cho trong bảng sau:
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\lim u_n & \lim v_n & \lim {u_n.v_n}\\
\hline
+ &+\infty&+\infty \\
\hline
+ &-\infty&-\infty \\
\hline
- &+\infty&-\infty \\
\hline
- &-\infty&+\infty \\
\hline
\end{array}$
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $\infty –\infty$, $0.\infty$ thì phải tìm cách khử dạng vô định.

B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ:

1. DẠNG 1: $\lim \frac{{P(n)}}{{Q(n)}}$ (Trong đó $P(n)$, $Q(n)$ là các đa thức có chứa biến $n$)

Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của $n$.
Chú ý: $\lim \frac{{P(n)}}{{Q(n)}} = \left\{ \begin{array}{l}
k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\text{khi}\,\,\text{bậc của}\,\, (P(n)) = \text{bậc của}\,\, (Q(n))\\
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\text{khi}\,\, \text{bậc của}\,\, (P(n)) < \text{bậc của}\,\, (Q(n))\,\\
\pm \infty \,\,\,\,\,\,\,,\text{khi}\,\,\text{bậc của}\,\, (P(n)) > \text{bậc của}\,\, (Q(n))
\end{array} \right.$
VD1:
a) $\lim \frac{{n + 1}}{{2n + 3}} = \lim \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{2 + \frac{3}{n}}} = \frac{1}{2}$
b) $\lim \frac{{n + 1}}{{2{n^2} + 3}} = \lim \frac{{\frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{2 + \frac{3}{{{n^2}}}}} = \frac{0}{2} = 0$
c) $\lim \frac{{{n^2} + 1}}{{2n + 3}} = \lim \frac{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{2}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}}} = + \infty $
Do: $\left\{\begin{array}{l}
\lim(1+\frac{1}{n^2})=1\\
\lim(\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}=0\\
\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}=0, \forall n \in {\mathbb{N}^*}
\end{array} \right.$
d) $\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + n} - 3n}}{{1 - 2n}} = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} - 3}}{{\frac{1}{n} - 2}} = 1$
e) $\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + n} - n}}{{n + \sqrt {4{n^2} + n - 2} }} = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} - 1}}{{1 + \sqrt {4 + \frac{1}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}} }} = \frac{0}{3} = 0$
f) $\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + n} - 3n}}{{1 - 2n + \sqrt {4{n^2} + n - 2} }} = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} - 3}}{{\frac{1}{n} - 2 + \sqrt {4 + \frac{1}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}} }} = - \infty $
Do: $\left\{ \begin{array}{l}
\lim (\sqrt {1 + \frac{1}{n}} - 3) = - 2 < 0\\
\lim (\frac{1}{n} - 2 + \sqrt {4 + \frac{1}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}} ) = 0\\
\frac{1}{n} - 2 + \sqrt {4 + \frac{1}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}
\end{array} \right.$
g)$\lim ({n^3} - n + 3) = \lim \frac{{1 - \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{3}{{{n^3}}}}}{{\frac{1}{n}}} = + \infty $
Do: $\left\{\begin{array}{l}
\lim(1-\frac{1}{n^2}+\frac{3}{n^3})=-2<0\\
\lim\frac{1}{n}=0\\
\frac{1}{n}>0, \forall n \in {\mathbb{N}^*}
\end{array} \right.$

2. DẠNG 2: $\lim \frac{{P({a^n})}}{{Q({b^n})}}$ (Trong đó Do: $P({a^n}),\,\,Q({b^n})$ là các đa thức chứa Do: $a^n$ và ${b^n}$)

Phương pháp giải: Chia cả tử và mẫu cho số lớn nhất có chứa mũ $n$.
Chú ý: $\lim \frac{{P({a^n})}}{{Q({b^n})}} = \left\{ \begin{array}{l}
k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\text{khi}\,\,a = b\\
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\text{khi}\,a < b\,\\
\pm \infty \,\,\,\,\,\,\,,\text{khi}\,\,a > b
\end{array} \right.$
VD2: a) $\lim \frac{{{3^n} + 1}}{{{{2.3}^n} + 3}} = \lim \frac{{1 + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}}{{2 + 3.{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}} = \frac{1}{2}$
b) $\lim \frac{{{2^n} + 1}}{{{{2.3}^n} + 3}} = \lim \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}}{{2 + 3.{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}} = \frac{0}{2} = 0$
c) $\lim \frac{{{3^n} + 1}}{{{{2.2}^n} + 3}} = \lim \frac{{1 + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}}{{2.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + 3.{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}} = + \infty $
Do: $\left\{ \begin{array}{l}
\lim (1 + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}) = 1\\
\lim (2.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} + 3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}) = 0\\
2.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} + 3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^n} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}
\end{array} \right.$

3. DẠNG 3: Nhân lượng liên hợp:
Phương pháp giải: Dùng các hằng đẳng thức
$\begin{array}{l}
\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) = a - b; & & \\
\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}} \right) = a - b\\
\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}} \right) = a + b
\end{array}$
VD3:
a) $\lim \left( {\sqrt {{n^2} - 3n} - n} \right)= \lim \frac{{\left( {\sqrt {{n^2} - 3n} - n} \right)\left( {\sqrt {{n^2} - 3n} + n} \right)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - 3n} + n} \right)}}= \lim \frac{{ - 3n}}{{\sqrt {{n^2} - 3n} + n}}= - \frac{3}{2}$
b) $\lim \frac{1}{{\sqrt {{n^2} - 3n} - n}} = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} - 3n} + n}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - 3n} - n} \right)\left( {\sqrt {{n^2} - 3n} + n} \right)}} = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} - 3n} + n}}{{ - 3n}} = - \frac{2}{3}$
c) $\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} - 3n} - 2n}}{{\sqrt {{n^2} - 3n} - n}} = \lim \frac{{ - 3n\left( {\sqrt {{n^2} - 3n} + n} \right)}}{{ - 3n\left( {\sqrt {4{n^2} - 3n} + 2n} \right)}} = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} - 3n} + n}}{{\sqrt {4{n^2} - 3n} + 2n}} = \frac{1}{2}$
d) $\lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} - 3n}} - n} \right) = \lim \frac{{\left( {\sqrt[3]{{{n^3} - 3{n^2}}} - n} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} - 3{n^2}} \right)}^2}}} + n.\sqrt[3]{{{n^3} - 3{n^2}}} + {n^2}} \right)}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} - 3{n^2}} \right)}^2}}} + n.\sqrt[3]{{{n^3} - 3{n^2}}} + {n^2}}}$
$ = \lim \frac{{ - 3{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} - 3{n^2}} \right)}^2}}} + n.\sqrt[3]{{{n^3} - 3{n^2}}} + {n^2}}}=-1$

4. DẠNG 4: Tính giới hạn của tổng hữu hạn:
Phương pháp giải: Áp dụng các công thức đã học
$\begin{array}{l}
\left( {{u_n}} \right)\,\,\csc :\,\,{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \frac{{2({u_1} + {u_n})}}{n}\\
\left( {{u_n}} \right)\,\,{\mathop{\rm cs}\nolimits} n:\,\,{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \frac{{{u_1}(1 - {q^n})}}{{1 - q}}
\end{array}$
VD4:
a)Ta có $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
$\lim \left( {\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \,\,\,...\,\, + \,\,\frac{1}{{n(n + 1)}}} \right) = \lim (1 - \frac{1}{{n + 1}}) = 1$
b) $\lim \frac{{1 + 3 + {3^2} + ... + {3^n}}}{{1 + 4 + {4^2} + ... + {4^n}}} = \lim \frac{{3\left( {1 - {3^n}} \right)}}{{2\left( {1 - {4^n}} \right)}} = 0$

5. DẠNG 5: Dùng định lí kẹp:
Phương pháp giải: Dùng định lí kẹp: Nếu $\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}$,$\forall n$ và $\lim v_n = 0$ thì $\lim u_n = 0$
VD5:
a) $\lim \frac{{\sin n}}{n}$.
Vì $0 \le \left| {\frac{{\sin n}}{n}} \right| \le \frac{1}{n}$ và $\lim \frac{1}{n} = 0$ nên $\lim \frac{{\sin n}}{n} = 0$
b) $\lim \frac{{3\sin n - 4\cos n}}{{2{n^2} + 1}}$.
Vì $\left| {3\sin n - 4\cos n} \right| \le \sqrt {({3^2} + {4^2})({{\sin }^2}n + {{\cos }^2}n)} = 5$
nên $0 \le \left| {\frac{{3\sin n - 4\cos n}}{{2{n^2} + 1}}} \right| \le \frac{5}{{2{n^2} + 1}}$.
Mà $\lim \frac{5}{{2{n^2} + 1}} = 0$ nên $\lim \frac{{3\sin n - 4\cos n}}{{2{n^2} + 1}} = 0$
c) $\lim \frac{{\sin n}}{{{4^n}}}$.
Vì $0 \le \left| {\frac{{\sin n}}{{{4^n}}}} \right| \le {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n}$ và $\lim {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n} = 0$ nên $\lim \frac{{\sin n}}{{{4^n}}} = 0$
d) $\lim \frac{n}{{{4^n}}}$.
Vì $0 \le \left| {\frac{n}{{{4^n}}}} \right| \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}$ và $\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0$ nên $\lim \frac{n}{{{4^n}}} = 0$
e) $\lim \frac{{n + \sin n}}{{{4^n}}} = \lim \frac{n}{{{4^n}}} + \lim \frac{{\sin n}}{{{4^n}}} = 0$.

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG:

BÀI 1: Tính các giới hạn sau:
a) $\lim \,\,\frac{{2{n^2} - n + 3}}{{3{n^2} + 2n + 1}}$
b) $\lim \,\frac{{2n + 1}}{{{n^3} + 4{n^2} + 3}}$
c) $\lim \frac{{3{n^3} + 2{n^2} + n}}{{{n^3} + 4}}$
d) $\lim \frac{{{n^4}}}{{(n + 1)(2 + n)({n^2} + 1)}}$
e) $\lim \,\frac{{{n^2} + 1}}{{2{n^4} + n + 1}}$
f) $\lim \frac{{2{n^4} + {n^2} - 3}}{{3{n^3} - 2{n^2} + 1}}$

BÀI 2: Tính các giới hạn sau:
a) $\lim \frac{{1 + {3^n}}}{{4 + {3^n}}}$
b) $\lim \frac{{{{4.3}^n} + {7^{n + 1}}}}{{{{2.5}^n} + {7^n}}}$
c) $\lim \frac{{{4^{n + 1}} + {6^{n + 2}}}}{{{5^n} + {8^n}}}$
d) $\lim \,\frac{{{2^n} + {5^{n + 1}}}}{{1 + {5^n}}}$
e) $\lim \frac{{1 + {{2.3}^n} - {7^n}}}{{{5^n} + {{2.7}^n}}}$
f) $\lim \frac{{1 - {{2.3}^n} + {6^n}}}{{{2^n}({3^{n + 1}} - 5)}}$

BÀI 3: Tính các giới hạn sau:
a) $\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 1} + 2n - 1}}{{\sqrt {{n^2} + 4n + 1} + n}}$
b) $\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 3} - n - 4}}{{\sqrt {{n^2} + 2} + n}}$
c) $\lim \frac{{{n^2} + \sqrt[3]{{1 - {n^6}}}}}{{\sqrt {{n^4} + 1} + {n^2}}}$
d) $\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 1} + 2n}}{{\sqrt {{n^2} + 4n + 1} + n}}$
e) $\lim \frac{{(2n\sqrt n + 1)(\sqrt n + 3)}}{{(n + 1)(n + 2)}}$
f) $\lim \frac{{\sqrt {{n^2} - 4n} - \sqrt {4{n^2} + 1} }}{{\sqrt {3{n^2} + 1} + n}}$

BÀI 4: Tính các giới hạn sau:
a) $\lim \left( {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \,\,\,...\,\,\, + \frac{1}{{(2n - 1)(2n + 1)}}} \right)$
b) $\lim \left( {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{2.4}} + \,\,\,...\,\,\, + \frac{1}{{n(n + 2)}}} \right)$
c) $\lim \,\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)\,\,\,...\,\,\,\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)$
d) $\lim \left( {\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \,\,\,...\,\, + \,\,\frac{1}{{n(n + 1)}}} \right)$
e) $\lim \frac{{1 + 2 + ... + n}}{{{n^2} + 3n}}$
f) $\lim \frac{{1 + 2 + {2^2} + ... + {2^n}}}{{1 + 3 + {3^2} + ... + {3^n}}}$

BÀI 5: Tính các giới hạn sau:
a) $\lim \,\,\left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n - 1} \right)$
b) $\lim \,\left( {\sqrt {{n^2} + n} - \sqrt {{n^2} + 2} } \right)$
c) $\lim \,\,\left( {\sqrt[3]{{2n - {n^3}}} + n - 1} \right)$
d) $\lim \left( {1 + {n^2} - \sqrt {{n^4} + 3n + 1} } \right)\,$
e) $\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n} - n} \right)$
f) $\lim \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + 2} - \sqrt {{n^2} + 4} }}$
g) $\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 1} - 2n - 1}}{{\sqrt {{n^2} + 4n + 1} - n}}$
h) $\lim \frac{{{n^2} + \sqrt[3]{{1 - {n^6}}}}}{{\sqrt {{n^4} + 1} - {n^2}}}$
i) $\lim \frac{{\sqrt {{n^2} - 4n} - \sqrt {4{n^2} + 1} }}{{\sqrt {3{n^2} + 1} - n}}$

BÀI 6: Tính các giới hạn sau:
a) $\lim \frac{{2\cos {n^2}}}{{{n^2} + 1}}$
b) $\lim \frac{{{{( - 1)}^n}\sin (3n + {n^2})}}{{3n - 1}}$
c) $\lim \frac{{2 - 2n\cos n}}{{3n + 1}}$
d) $\lim \frac{{3{{\sin }^6}n + 5{{\cos }^2}(n + 1)}}{{{n^2} + 1}}$
e) $\lim \frac{{3{{\sin }^2}({n^3} + 2) + {n^2}}}{{2 - 3{n^2}}}$
f) $\lim \frac{{3{n^2} - 2n + 2}}{{n(3\cos n + 2)}}$