Công thức nào sau đây đúng với cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1\), công sai \(d\ne0\)? \(u_n=u_1+d\) \(u_n=u_1+\left(n+1\right)d\) \(u_n=u_1-\left(n+1\right)d\) \(u_n=u_1+\left(n-1\right)d\)
Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) xác định bởi \(u_1=-1\) và \(u_n=u_{n-1}.2^{n-1}\), khi đó số hạng \(u_{10}\) bằng: \(-2^{45}\) \(2^{45}\) \(2^{-45}\) \(-2^{90}\) Hướng dẫn giải: \(u_n=u_{n-1}.2^{n-1}\) \(u_2=\left(-1\right).2^{2-1}.\). \(u_3=\left(-1\right).2^{2-1}.2^{3-1}\). ..... \(u_n=\left(-1\right).2^{2-1}.2^{3-1}...2^{n-1}=\left(-1\right).2.2^2...2^{n-1}=\)\(-2^{\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}}\) Vậy \(u_{10}=-2^{\dfrac{10\left(10-1\right)}{2}}=-2^{45}\)
Cho cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) có : \(u_2=-2\) và \(u_5=54\). Hãy tính tổng của 1000 số hạng đầu tiên. \(\dfrac{1-3^{1000}}{6}\) \(\dfrac{3^{1000}+1}{6}\) \(\dfrac{1-3^{1000}}{24}\) \(\dfrac{1-3^{1000}}{12}\) Hướng dẫn giải: Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là \(u_1\) và công bội của cấp số nhân là q. \(\dfrac{u_5}{u_2}=\dfrac{u_1.q^4}{u_1.q}=q^3=\dfrac{54}{-2}=-27\Leftrightarrow q=-3\). \(u_1=\dfrac{u_2}{q}=\dfrac{2}{3}\). Tổng của 1000 số hạng đầu tiên là: \(S_{1000}=\dfrac{\dfrac{2}{3}\left(1-3^{1000}\right)}{1-\left(-3\right)}=\dfrac{1-3^{1000}}{6}\).
Biết \(2\left(1-x\right),x^2,1+x\) là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Giá trị của x là: \(x=\sqrt{-1+\sqrt{3}}\) hoặc \(x=-\sqrt{-1+\sqrt{3}}\). \(x=-1+\sqrt{3}\) hoặc \(x=-1-\sqrt{3}\) \(x=\sqrt{-1+\sqrt{3}}\) \(x=-1-\sqrt{3}\) hoặc \(x=-1-\sqrt{3}\) Hướng dẫn giải: Ta có \(\left(x^2\right)^2=2\left(1-x\right)\left(1+x\right)=2-2x^2\Leftrightarrow x^4+2x^2-2=0\) \(\Leftrightarrow x^2=-1+\sqrt{3}\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{-1+\sqrt{3}}\\x=-\sqrt{-1+\sqrt{3}}\end{matrix}\right.\).
Cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}u_9=5u_2\\u_{13}=2u_6+5\end{matrix}\right.\), số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó là: \(u_1=3,d=4\). \(u_1=6,d=5\). \(u_1=7,d=10\). \(u_1=8,d=10\). Hướng dẫn giải: Gọi số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó lần lượt là:\(u_1\) và \(d\). \(\left\{{}\begin{matrix}u_9=5u_2\\u_{13}=2u_6+5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+8d=5\left(u_1+d\right)\\u_1+12d=2\left(u_1+5d\right)+5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4u_1-3d=0\\u_1-2d+5=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=3\\d=4\end{matrix}\right.\).
Các số \(1+3x,x^2-5,1-x\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, giá trị của x là: \(x=-2\) hoặc \(x=3\). \(x=1\) hoặc \(x=3\). \(x=2\) hoặc \(x=-2\). \(x=3\) hoặc \(x=-3\). Hướng dẫn giải: Ta có \(2\left(x^2-5\right)=1+3x+1-x\) \(\Leftrightarrow2x^2-2x-12=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-2\end{matrix}\right.\).
Cho cấp số cộng có \(u_{10}=8\) và tổng 1000 số hạng đầu tiên bằng 8900. Số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó là: \(u_1=-10,d=2\) \(u_1=-9,d=12\) \(u_1=-11,d=3\) \(u_1=-12,d=15\) Hướng dẫn giải: Gọi số hạng đầu và công sai của cấp số cộng là: \(u_1\) và \(q\), ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1+9d=8\\\dfrac{\left[2u_1+\left(100-1\right)d\right].100}{2}=8900\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+9d=8\\2u_1+99d=178\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=-10\\d=2\end{matrix}\right.\).
Cho cấp số cộng có \(\left(u_n\right)\)có \(u_2+u_{22}=60\). Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. 690 710 750 850 Hướng dẫn giải: \(u_1+u_2+u_3+........+u_{23}=\left(u_1+u_{23}\right)+\left(u_2+u_{22}\right)+.....\) \(=\dfrac{23}{2}\left(u_2+u_{22}\right)\) \(=\dfrac{23}{2}.60=690.\)
Các số \(2x+3y,4x-2y,8x+6y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số \(3x+4;5x-10;8x+y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Giá trị của x và y là? \(\left(x,y\right)=\left(\dfrac{88}{3};-\dfrac{16}{3}\right)\) \(\left(x,y\right)=\left(\dfrac{77}{3};-\dfrac{15}{3}\right)\) \(\left(x,y\right)=\left(1,2\right)\) \(\left(x,y\right)=\left(3;3\right)\) Hướng dẫn giải: Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2x+3y+8x+6y=2\left(4x-2y\right)\\3x+4+8x+y=2\left(5x-10\right)\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+15y=0\\x+y=24\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{88}{3}\\y=-\dfrac{16}{3}\end{matrix}\right.\).
